2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦一元二次函数、方程与不等式的联系这一核心知识点，系统梳理从定义到解法（含参分类讨论）、恒成立问题及根分布的学习脉络，构建“概念-方法-应用”的学习支架，明确三者关系及解题步骤。 该资料以数形结合为核心方法，通过例题与随学随练培养数学思维（如含参不等式分类讨论的逻辑性），结合实际应用题（如利润问题）提升数学语言表达能力，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第 二 章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课标要点 1、理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系（函数零点对应方程的根，不等式解集对应函数图像在x轴上方或下方的部分）。 2、掌握利用二次函数图像解一元二次不等式的方法（数形结合）。 3、能根据一元二次方程的根的情况（判别式）判断对应不等式的解集形式。 4、掌握含参数的一元二次不等式的分类讨论思路（按二次项系数、判别式、根的大小分类）。 5、能解决简单的分式不等式及一元二次不等式恒成立问题（转化为最值或判别式）。 学习重难点 重点： 1、二次函数图像与x轴的位置关系与不等式解集的对应（大于0取两边，小于0取中间）；2、判别式对解集的影响（Δ大于0、等于0、小于0时解集不同）； 3、含参不等式中对二次项系数是否为零的讨论；恒成立问题转化为判别式小于0或最值条件。 难点： 1、含参一元二次不等式的分类讨论中，参数对根的大小和开口方向的影响，讨论的完整性与端点值的取舍； 2、分式不等式化为整式不等式时，分母不能为零以及不等号方向是否需要改变（需考虑分母符号）； 3、“二次项系数含参且为零”时，不等式退化为一次不等式，容易遗漏该情形。 知识点 一元二次不等式及其解法 1、一元二次不等式的定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一般形式，，，（其中均为常数）． 2、一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式或，其中的实数组成的集合叫一元二次不等式的解集。 3、一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）； ②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若可以因式分解，则能求出两根来； ③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况． ④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论 特别提醒 解一元二次不等式，先化为标准形式 （或 <），确保 a>0，再求对应方程的根，最后大于取两边，小于取中间。若判别式小于0，则看 的符号判断解集为全体实数或空集。注意若二次项系数为负，先变号，重根时解集需排除该点（若为严格不等号）。 随学随练 1．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）把代入，解二次不等式可求； （2）由二次不等式的解集与二次方程的根的关系可先求出，然后解分式不等式即可求解． 【详解】（1）若，， 方程的根为， 所以，解得或， 故或； （2）因为不等式的解集， 所以的一个解为， 所以，解得， 此时的解集为，满足题意. 不等式即， 等价于，解得， 故不等式的解集为． 知识点 三个二次的关系 1、三个“二次”：①二次函数，②一元二次方程，③一元二次不等式. 2、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 3、三个“二次”之间的关系 二次函数 （） 二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 二次不等式 二次不等式 随学随练 1．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 【答案】BCD 【分析】根据三个“二次”的关系逐项判断A、B、C，代入消元求解判断D. 【详解】对于A：因为不等式的解集为， 所以对应函数开口向上，所以，A错误； 对于B：由已知可知的两根为， 由韦达定理可得，所以，B正确； 对于C：因为不等式的解集为， 所以的解集为， 即的解集为，C正确； 对于D：由得， 所以， 当时，取得最大值，D正确； 故选：BCD. 知识点 一元二次不等式恒成立问题 （1）在R上恒成立（讨论） ①在上恒成立恒成立 ②在上恒成立 （2）在区间上恒成立（参变分离或讨论） ①若能参变分离，推荐参变分类，建立明确的参数和变量的关系，并利用函数最值求解。 ②若在参变分离时要谈论参数，就不用参变分离，直接在区间内讨论 ：开口，对称轴，区间端点的值，可以利用数形结合来讨论。 随学随练 1．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 知识点 一元二次函数根的分布 1、二次函数的根与定值的位置关系（讨论开口向上的情况 ） 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 2、二次函数的根与区间的位置关系（讨论开口向上的情况） 两根都在外 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 3、只有一根在之间 （1）当时，分两种情况，方程有两相同的根，且根在， 或方程有两个不相同的根，有一个根在 （2）当时, 方程有两不同的根，有一个根正好在或处，另一个根在则 或 随学随练 1．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 题型 解一元二次不等式 ▌例1 （25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为． （2）将不等式， 化简为，即， 解得或， 所以解集为． ▌例2（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 解题贴士 解一元二次不等式，不含参时直接求根，大于取两边、小于取中间；含参时需先讨论二次项系数（是否为零、正负），再根据判别式讨论根的大小关系（若两根含参需比较大小），最后结合开口方向写解集。 ▌对点练1-1 （25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． ▌对点练1-2（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 题型 三个“二次”关系的应用 ▌例1（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． ▌例2（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 解题贴士 三个“二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）关系核心是根与图象：方程的根是对应函数与x轴交点的横坐标，不等式的解集由函数图象在x轴上方或下方决定。解题时先求根，再结合开口方向写解集；若含参则需讨论根的大小及判别式。二次函数的最值或恒成立问题常转化为判别式或顶点位置条件。 ▌对点练1-1（25-26高一上·湖南常德·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据一元二次不等式的解集，可判断的符号和关系，再逐项进行判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，抛物线开口向下，故函数有最大值，选项A正确； 不在解集内，，选项B正确； 已知，方程的两根分别为，故， 所以；，所以，故，选项C正确； 易知，不等式化为，可得， 即，解得，故选项D错误. 故选：ABC ▌对点练1-2（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】A 【分析】先根据不等式的解集判断的符号和与的关系式，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，A正确； 且-3和4是方程的两个解，则. 所以，所以不等式可化简为， 解得或，所以不等式的解集为，B错误； ，所以C错误； 不等式化简为，即，解得， 所以不等式的解集为，D错误； 故选：A. 题型 一元二次不等式在R上恒成立 ▌例1 （2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. ▌例2（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 解题贴士 若二次项系数含参，必须先讨论 a=0 的特殊情况（此时退化为一次不等式，判断是否恒成立），再讨论的情形。 ▌对点练1-1（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. ▌对点练1-2（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 题型 一元二次不等式在区间上恒成立 ▌例1若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. ▌例2若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 解题贴士 在区间上恒成立，常用分离参数法（将参数与变量分离，转化为求函数最值）或数形结合（画二次函数图象，按对称轴与区间位置分类讨论端点与顶点值）。注意区间端点是否包含会影响最值的取等条件。 ▌对点练1-1（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． ▌对点练1-2 （2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 题型 一元二次不等式有解问题 ▌例1 （2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. ▌例2 （25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 解题贴士 一元二次不等式有解，分R上有解或者在区间上有解。在R上有解则可以通过图像结合来判断。若在区间上有解，常分离参数转化为最值问题。注意“有解”与“恒成立”方向相反（有解是存在性，恒成立是任意性）。 ▌对点练1-1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. ▌对点练1-2（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 题型 一元二次方程根的分布问题 ▌例1（25-26高一上·辽宁大连·期中）若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. ▌例2（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 解题贴士 一元二次方程根的分布，核心是结合二次函数图象的开口、对称轴、判别式及区间端点函数值列不等式组。常见类型（如两正根、一正一负、在区间内）需根据根的相对位置分类讨论，优先考虑判别式、韦达定理及对称轴位置。注意端点是否为根需单独检验，且含参时需讨论二次项系数是否为零。若根与区间关系复杂，可用分离参数或数形结合直观判断。 ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 ▌对点练1-2（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 题型 一元二次不等式的应用 ▌例1（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. ▌例2（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 解题贴士 应用题先设未知数，用代数式表示相关量，根据题意（如面积限制、利润范围）列出一元二次不等式。解不等式后，结合实际问题背景（如数量为整数、长度为正）筛选解集，最终写出符合题意的答案。注意隐含条件（如非负、整数）及单位统一，若解集为区间，需说明范围内所有值均满足条件。 ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. ▌对点练1-2（25-26高一上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可. （2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 基础通关 1．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先明确的关系，再根据集合的包含关系求的取值范围. 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件， 由，因为，所以； 由. 因为是的充分不必要条件，所以⫋. 所以. 即实数的取值范围是. 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）（1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 【答案】（1）①；②或；③或 （2）7 （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法求解； （2）根据均值定理求和的最小值； （3）含参一元二次不等式讨论的范围解不等式. 【详解】（1）①，所以， 则解得， 得到此不等式的解集为； ②，则， 得到的解为， 所以的解集为或； ③，则或， 所以或， 所以的解集为或． （2）因为，由题． 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7． （3）原不等式可化为， 方程的两根为． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 3．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 4．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 6．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，对参数进行分类讨论求出充要条件，然后分析即可得出结论. 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. 7．（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 8．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 9．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）对，不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式，再由不等式恒成立确定的范围，最后结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】整理得， 当时，解得；当时，解得； 当时，解得. 又，不等式恒成立，，即， 因为⫋，故 “”是“”的充分不必要条件， 故选：D． 10．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 素养提升 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 2．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 3．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 4．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 5．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 课时目标 1、理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系（函数零点对应方程 的根，不等式解集对应函数图像在x轴上方或下方的部分)。 2、掌握利用二次函数图像解一元二次不等式的方法（数形结合）。 课标要点 3、能根据一元二次方程的根的情况（判别式）判断对应不等式的解集形式。 4、掌握含参数的一元二次不等式的分类讨论思路（按二次项系数、判别式、根的大小分 类)。 5、 能解决简单的分式不等式及一元二次不等式恒成立问题（转化为最值或判别式）。 重点： 1、二次函数图像与x轴的位置关系与不等式解集的对应（大于0取两边，小于0取中 间)；2、判别式对解集的影响（△大于0、等于0、小于0时解集不同）； 3、含参不等式中对二次项系数是否为零的讨论：恒成立问题转化为判别式小于0或最值 条件。 学习重难点 难点： 1、含参一元二次不等式的分类讨论中，参数对根的大小和开口方向的影响，讨论的完整 性与端点值的取舍； 2、分式不等式化为整式不等式时，分母不能为零以及不等号方向是否需要改变（需考虑 分母符号)： 3、“二次项系数含参且为零”时，不等式退化为一次不等式，容易遗漏该情形。 清主线 课时内容导图 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：只含一个未知数且最高次数为2的不等式 知识点一：一元二次 解不含参不等式：求对应方程的根，大于取两边，小于取 不等式及其解法 中间 解含参不等式：先讨论二次项系数（是否为零、正负）， 再讨论判别式，最后比较根的大小 二次函数图像与X轴交点横坐标是对应方程的根 知识点二：三个二次 不等式解集由图像在x轴上方或下方决定 的关系 判别式决定根的情况和不等式解集形式 二次函数与一 在R上恒成立：a结合判别式讨论 元二次方程、 知识点三：一元二次 不等式恒成立问题 在区间上恒成立：常用分离参数转化为最值，或数形结合 不等式 讨论端点与顶点 结合图像，根据开口方向、对称轴、判别式、端点函数值 列不等式组 知识点四：一元二次 常见类型：两正根、一正一负、两根在区间内等 方程根的分布 注意端点是否为根需单独检验 分式不等式：化为整式不等式，注意分母不为零 综合要点 有解问题：分离参数转化为最值，注意与恒成立方向相反 应用题：设变量列式，结合实际背景筛选解集 理新知 教材全盘梳理 知识点 7 一元二次不等式及其解法 1、一元二次不等式的定义 般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 般形式，ax2+bx+c>0(≥0)，ax2+bx+c<0(≤0)，（其中a≠0，a,b,c均为常数）. 2、一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式ax2+bx+c>0(≥0)或ax+bx+c<0(≤0)，其中a≠0的实数x组成的集合叫一元二 次不等式的解集。 3、一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）： ②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论： ②若可以因式分解，则能求出两根来： ③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况. ④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论 特别提醒 解一元二次不等式，先化为标准形式ax+bx+c>0(或<)，确保a0,再求对应方程的根，最后 大于取两边，小于取中间。若判别式小于0，则看a的符号判断解集为全体实数或空集。注意若二次项 系数为负，先变号，重根时解集需排除该点（若为严格不等号）。 随学随练 1.(25-26高一下·湖南长沙开学考试)已知关于x的不等式ax2+5x-2>0的解集是M (1)若a=1,求解集M, (2)若M=x 1<x<2Y 解关于1的不等式2 ->1. 知识点 2 三个二次的关系 1、三个“二次”：①二次函数，②一元二次方程，③一元二次不等式 2、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y=ax2+bx十c,我们把使ax2+bx十c=0的实数x叫做二次函数的零点. 3、三个“二次”之间的关系 △=b2-4ac 4>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0) 茶士 二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2+bx+c=0 b 无实根 (a>0的根 X1,X2（x1<x2) X1=X2=- 20 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次不等式 ax2+bx+c>0 分 (a>0)的解集 二次不等式 乙 0 0 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 随学随练 1.(25-26高一上重庆期中)（多选）已知关于x的不等式am+(b-l)x+c<0的解集为 {<x<3},则下列说法正确的是(） A.a<0 B.4a+b=1 C.ex2+(b-1)x+a<0 的解集为 o D.(a-1(b-1)的最大值为1 知识点 一元二次不等式恒成立问题 (1)在R上恒成立（讨论△） ①ax2+bx+c>0(a≠0)在x∈R上恒成立~乙恒成立 ②ax+bx+c<0(a≠0)在x∈R上恒成立~乙 (2)在区间上恒成立（参变分离或讨论） ①若能参变分离，推荐参变分类，建立明确的参数和变量x的关系，并利用函数最值求解。 b ②若在参变分离时要谈论参数，就不用参变分离，直接在区间内讨论：开口a,对称轴~2 ,区间端点的 值，可以利用数形结合来讨论。 7随学随练 1.下列说法不正确的有() A.当x∈R时，不等式2-：+1>0恒成立，则k的取值范围是[0,4) 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.x2-c+k-1<0在(L,2)上恒成立，则实数k的取值范围是[3，+∞） C.当x>0时，不等式x2-ax+16>0恒成立，则实数a的取值范围是(-∞，8) D.若不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[L,3]恒成立，则实数a的取值范围(-0,5] 知识点 4 一元二次函数根的分布 1、二次函数的根与定值k的位置关系（讨论开口向上的情况a>0) 两根都小于k, 两根都大于k, 一根小于k,一根大于k,即 即X1<k,X2<k 即X1>k,X2>k x<k<x : k X1 △>0 △>0 b∠k 2 b-k 2a f(k)<0 flk)>o flk]>0 ,二次函数的根与区间的位置关系（讨论开口向上的情况a>0) 两根有且仅有一根在 根(m,n)内， 两根都在(m,n)外 两根都在(m,n)内 m,n)内 另一根在(p,q内 m X2 f(m>0 △>0 f(n]<0 [f(m]<o f(m>0 f(p<o (fin)<o f(n>0 f(mlf(n)<o flal>o 名n or f(mlf(n)<o f p f(q<o 3、只有一根在(m,n之间 5/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △= (1)当fmfn)≠0时，分两种情况，方程有两相同的根，且根在m,n之间， b∠n 或方程 2 有两个不相同的根，有一个根在m,n之间，一根在m,n之外，fmfn<0 (2)当fm小fn=0时，方程有两不同的根，有一个根正好在m或n处，另一个根在m,n之间则 △>0 △>0 f(m=0 f(n)=0 m<- <n或m<b<n b 2a 2a f(n)>0 fm>0 7随学随练 1.(25-26高一下浙江宁波强基计划)关于x的一元二次方程x+(2a+1)x+2a=0有一个大于0小于4 的根，则a的取值范围为 通题型 解题能力构建 题型 解一元二次不等式 ■例1(25-26高一上安徽合肥期末)求下列不等式的解集 (1)x2-3x+2<0 (2)x(x+2)>x(3-x)+1 ■例2(25-26高一上河北唐山期中)解关于x的不等式ar2-(a+1)x+1≥0，a∈R 解题贴士 解一元二次不等式，不含参时直接求根，大于取两边、小于取中间；含参时需先讨论二次项系数（是 否为零、正负)，再根据判别式讨论根的大小关系（若两根含参需比较大小），最后结合开口方向写 解集。 I对点练1-1(25-26高一上广东肇庆阶段检测)(1)求不等式-x+3x+4>0的解集： (2)解关于x的不等式：ar2-(3a+1)x+3<0(a>0). 对点练1-2(25-26高一下山东潍坊期中)设函数f(x)=(2a+1)x2-2ax-1(aeR)】 f似≥2 若。=0解关于x的不等式(-可 6/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求不等式f(x)<0的解集 题型 2 三个“二次”关系的应用 Ⅱ例1(25-26高二下湖南长沙期中)已知关于x的不等式ar2+bx+c<0的解集为(0，-4U(1,+∞)，则不 等式bx2-cx+a<0的解集为() A.(-03+ c.（mut,+o) ■例2(25-26高一下~四川成都期中)（多选）已知关于x的不等式ax'+bx+c<0的解集为{l<x<6}, 则() A.a<0 B.不等式ar+c>0的解集是{x>6 C. a+2b-c<0 D.不等式c-br-a< 的解架是6<x<引 解题贴士 三个“二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）关系核心是根与图象：方程的根是对应 函数与x轴交点的横坐标，不等式的解集由函数图象在x轴上方或下方决定。解题时先求根，再结合开 口方向写解集；若含参则需讨论根的大小及判别式。二次函数的最值或恒成立问题常转化为判别式或 顶点位置条件。 ■对点练1-1(25-26高一上湖南常德期末)（多选）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2) 则下列说法正确的是() A.函数f(x)=ar+br+c有最大值 B.4a-2b+c<0 C.abc<0 D.br2+a+c>0的解集为(-2,2) ■对点练1-2(25-26高一上浙江宁波阶段检测)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 {xx(-3减x4),则下列说法正确的是() A.a>0 7/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.不等式4-+<0的解突为号或rj3 C.a+b+c>0 D.不等式bx+c>0的解集为{x<-4} 题型 元二次不等式在R上恒成立 0例1(2026高二下浙江学业考试)若不等式2+：<0对一切实数.都成立，则实数的取值泥 围为() A.-3<k<0B.-3≤k≤0 C.-3<k≤0 D.k<-3或k>0 ■例2(25-26高一上福建泉州阶段检测)己知命题“xeR,x+(a-l)x+4≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是() A.-3<a<5 B.a<-3或a>5 C.-3≤a≤5 D.a≤-3或a≥5 解题贴士 若二次项系数含参，必须先讨论=0的特殊情况（此时退化为一次不等式，判断是否恒成立），再讨 论a与△的情形。 ■对点练1-1(25-26高一下·上海宝山期末)若对任意x∈R,不等式x2-c+4>0都成立，则实数k的取 值范围是 I对点练1-2(25-26高一上福建厦门阶段检测)若关于x的不等式ar2-x-1<0对x∈R恒成立，则实 数a的取值范围为 题型 一元二次不等式在区间上恒成立 例1若命题“1≤x≤4，x-4x-m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是 1例2若对于x∈，3]，mx2-mx-6+m<0恒成立，求实数m的取值范围， 8/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 在区间上恒成立，常用分离参数法（将参数与变量分离，转化为求函数最值）或数形结合（画二次函 数图象，按对称轴与区间位置分类讨论端点与顶点值)。注意区间端点是否包含会影响最值的取等条 件。 Ⅱ对点练11(25-26高一下云南普洱期中)不等式x2+mx+15≥0对任意x∈[B,]恒成立，则m的最小值 是() A.-√5 B.-2√15 C.15 D.215 ■对点练12(2026天津河东二模)已知二次函数f(x)=m2-2x+a,若对于任意x∈[a,2d,都有 f(x)≥0成立， 则实数a的取值范围是 题型 元二次不等式有解问题 1例1 (2026商一全国专题练习)已知命思p:xER,使得2+x+令<0则命题p为真命题的一个充 8 要条件是 ■例2(25-26高二下·河北沧州阶段检测)若x∈R,mr+2(m-3)x+4>0的否定为真命题，则实数m 的取值范围为() A.(1,9) B.（-00,0) C.(-o,1U(9,+o）D.(-o,小U[9,+∞) 解题贴士 元二次不等式有解，分R上有解或者在区间上有解。在R上有解则可以通过图像结合△来判断。若 在区间上有解，常分离参数转化为最值问题。注意“有解”与“恒成立”方向相反（有解是存在性， 恒成立是任意性)。 1对点练1-1(25-26高二下黑龙江哈尔滨阶段检测)命题“x∈[-1，，x2-2x-a>0”为假命题的一个 充分不必要条件是() A.a>-2 B.a>-1 C.a≥-2 D.a≥-1 I对点练1-2(25-26高一上黑龙江大庆·期末)若存在0≤x≤3，使不等式x2-ax-a+1≥0成立，则a的 取值范围是 题型 一元二次方程根的分布问题 9/14 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■例1(25-26高一上辽宁大连期中)若方程3x+(3a+1)x+b=0(a,b∈R)在-2≤x≤2上有实根， 则b-a的最大值为 1例2(25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测)已知方程x+2r-m+12=0的两根都大于2，则实数m 的取值范围是， 解题贴士 一元二次方程根的分布，核心是结合二次函数图象的开口、对称轴、判别式及区间端点函数值列不等 式组。常见类型（如两正根、一正一负、在区间内）需根据根的相对位置分类讨论，优先考虑判别式 韦达定理及对称轴位置。注意端点是否为根需单独检验，且含参时需讨论二次项系数是否为零。若根 与区间关系复杂，可用分离参数或数形结合直观判断。 ■对点练1-1(25-26高一上江苏无锡阶段检测)己知关于x方程x+2(m-1)x+2m+6=0 (1)若方程有两个根且都大于1，求实数m的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围 【对点练1-2(25-26高二下·江苏南京阶段检测)若x2+2mx+m+1=0在x∈(1,3)上有两个不相等的实数 根，则实数的取值范围为 题型 元二次不等式的应用 ■例1(25-26高一上·北京顺义·期末)某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知 该产品年利润W(:)(单位：万元)与年产量x(单位：台)的函数关系为 -4x2+240x-2000,0<x≤40 w(x) 3600 +180,40<x≤100假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台. (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润： (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ ■例2(25-26高一上广东期末)某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入x(0<x<10)万 14 5 元，则该材料的销售量可增加p= 、吨，每吨的销售价格为 2 x+ 万元，另外生产吨该材料还需要 P 投入其他成本4万元 10/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()求出该公司本季度增加的利润少（单位：万元）与x之间的函数关系式 (2)若要追加的总成本不超过3万元，求x的取值范围。 (3)当x为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 解题贴士 应用题先设未知数，用代数式表示相关量，根据题意（如面积限制、利润范围）列出一元二次不等式， 解不等式后，结合实际问题背景（如数量为整数、长度为正）筛选解集，最终写出符合题意的答案。 注意隐含条件（如非负、整数）及单位统一，若解集为区间，需说明范围内所有值均满足条件。 ■对点练1-1(25-26高一上·江苏南通阶段检测)为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加 大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入(a>0)万元，现把研发 部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有x名(x∈N,且45≤x≤75)，调整后研发人员的 2x 年人均投入增加4%，技术人员的年人均投入为“m 25万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少 人？ (2)是否存在实数m,同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总 投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值：若不存在，说明理由 ■对点练1-2(25-26高一上·上海静安·阶段检测)甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该 高速公路后匀速行驶到乙地，车速y[70,120](千米时)·己知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由 可变部分和固定部分组成：可变部分为0.02v2,固定部分为220元. (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 刷好题 课时巩固精炼 基础通关 1.(25-26高二下·宁夏石嘴山阶段检测)设p实数x满足x2-4ax+3a<0(a<0),9:实数x满足 x2-x-6≤0，且P是9的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 2.(25-26高二下·河南南阳·阶段检测)(1)求下列不等式的解集， ①2x2+5x-3<0:②-3x2+6x-2≤0；③2x-1>2 11/14 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 (2)若x>3,求x+3的最小值， (3)解关于x的不等式：x+(1-a)x-a<0 3.(25-26高二下宁夏石嘴山阶段检测)已知关于x的不等式(a-1)x2-2brx-2<0的解集为 {x|-1<x<2} (1)求实数a,b的值： (2)若m≤0，求关于x的不等式amr2+(m-a)x-l≥0的解集； (3)若对任意实数xe[l,2],amr2+(m-a)x-12mr恒成立，求实数m的取值范围。 4.(25-26高一下浙江阶段检测)已知关于x的不等式a2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确 的是() A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式ax+b<0的解集为(1，+∞) D.不等式x+e-+2>0的解头为[2 5.(25-26高一上·浙江杭州期中)不等式a2-bx+c>0的解集是x-2<x<1,则下列选项正确的有 () A.a<0 B.a+b+c>0 C.不等式ar2+bx+c>0的解集是{dx<-2或x>1 D.不等式bx-c>0的解集是{xx>2 6.(25-26高二下·重庆期末)使命题“3x∈R,mx2-mx+3≤0”是假命题的一个充分不必要条件是 () A.m∈[0,12)B.m∈[0,12] C.m∈(L,12) D.m∈[l,12] 7.(25-26高二下湖南长沙期末)（多选）下列说法正确的是( ) 93 A.x∈R,-x+9r+a+3<0,则实数，的取值范围为-D,-4) 9 B.1xR,-2+9x+a+3<-2r2+5x+3则实数。的取值范围为- C.3aeR,x∈R,-2r2-(4-b)x+3<-x+bx+a+3<10,则实数b的取值范围为(-2V5,23) 12/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D. 3x∈(-o,0): 使得不等式0<-2+9x+a+3<-2+5x+3成立，则实数。的取值范围为-3) 8.(25-26高一上湖南湘西期末)若关于x的不等式x2-(m-2)x+4≥0在区间1,3]上恒成立，则实数 m的最大值为() A.6 B.25 C.2+25 D.8 9.(25-26高一上云南昆明阶段检测)对x∈1,2]，不等式r-(a+)x+a≤0恒成立的一个充分不必要 条件为() A.a<2 B.a≥2 C.a<3 D.a≥3 10.(25-26高一上山西晋城期末)（多选）存在x使得不等式mx2-2mx+3≤0成立，则实数m的取值 可以是() A.0 B.-4 C.2 D.4 ®素养提升 1.(25-26高一上·浙江杭州期中)关于x的不等式x2+bx+3>0的解集有下列说法，其中正确的是 () A.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R B.不等式ar2+bx+3>0的解集可以是{x<3} C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是☑ D.不等式ar2+br+3>0的解集可以是{-1<x<3} 2.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0一个根小于2，一个根大于4，求m的取值范围. 3.已知关于x的方程ar-2(a+)x+a-1=0,方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数a的取值范 围. 4.(2025高一上安徽竞赛)某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元(a>0).现加大对某芯 片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且 40≤x≤80).调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了(2x)%,技术人员的年人均工资为 x a m-i 10万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人 员最少有多少人？ 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个 条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资： ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资， 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围：若不存在，说明理由. 5.(25-26高一上·内蒙古包头阶段检测)完成下列各题： x■ 图(1) 图(2) (1)如图(1)，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面 积为96m,要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最 小值； (2)如图(2)，某学校要在长为8m,宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽 度相同，均为m,中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式： ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 14/14