2.2 一元二次方程的解法 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，以“基础巩固-方法深化-综合应用”分层设计，通过阶梯式题型培养运算能力与模型意识，适配新授课前预习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|直接开平方法、配方法基础步骤|单选题1-3直接考查解法，填空题11-12强化配方与公式法规范| |方法应用|换元法、十字相乘法及错误辨析|单选题7-9训练方程转化能力，解答题16分题型巩固不同解法| |综合拓展|根与系数关系、几何与实际应用|单选题10结合菱形性质，解答题20构建分式方程模型，发展推理与应用意识|

2.2 一元二次方程的解法 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 4．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（   ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A．① B．② C．③ D．④ 9．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 10．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m为（　　）    A．﹣4 B．2 C．2或﹣4 D．﹣2或4 二、填空题 11．把方程化成的形式，则m的值是________． 12．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 13．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 14．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 _____． 15．若，当________时，的最大值是________． 三、解答题 16．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 17．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 18．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 19．观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照你发现的规律，写出第5个等式： ． (2)若为正整数，，求的值． 20．为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时． (1)求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数； (2)若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A型无人配送车多少辆？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D A C C A C A 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 2．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 3．【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 4．【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．【答案】A 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接根据十字相乘法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，关键是在方程两边同时除以同一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时除以2时，右边的也应除以2， 正确的步骤①应为， 而题目中步骤①写成了， 因此计算开始出现错误的步骤为①． 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】由题意设OA＝α，OB＝β，根据根与系数的关系得到α+β＝﹣（2m﹣1）＞0，αβ＝m2﹣4，利用判别式的意义得到m≤，再根据菱形的性质和勾股定理得到α2+β2＝52，则[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m﹣16＝0，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：设OA＝α，OB＝β，则α+β＝﹣（2m+1）＞0，即,αβ＝m2﹣4， Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）≥0，解得m≥﹣， ∴m的范围为m≥﹣， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOB中：OA2+OB2＝AB2， 即α2+β2＝52， ∴（α+β）2﹣2αβ＝25， ∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m﹣16＝0， （m+4）（m﹣2）＝0，解得m1＝﹣4，m2＝2(舍去)， ∴m的值为﹣4. 故选：A． 【点睛】本题考查二次方程根的判别式和菱形的性质以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 11．【答案】3 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 12．【答案】一 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【详解】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 13．【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 14．【答案】， 【知识点】无理方程、换元法解一元二次方程 【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 15．【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 16．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 17．【答案】 ；；；；；；；；； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，再开平方即可求解． 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 18．【答案】 （1）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）m=2或m=3 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可； （2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值． 【详解】解：（1）略 （2）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0， ∴x=， ∴，， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m＞1， ∴是正整数， ∴m=2或m=3． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 19．【答案】(1) (2)10 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据题干规律即可解答； （2）根据题干规律，列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得第n个等式为， 所以第5个等式：； （2）解：， ， 解得或（舍去）． 20．【答案】(1)A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件 (2) 至少购入A型无人配送车10辆 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）根据“时间工作总量工作效率”列式，根据两种型号车的时间关系列等式求解即可； （2）根据“工作总量总工作效率总工作时间”列不等式． 【详解】（1）解：设A型号无人配送车每小时运送快递的件数为件，则B型号无人配送车每小时运送快递的件数为件， 由题意得， 解得， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的解， ∴， ∴A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件． （2）解：设A型无人配送车有辆，则B型号无人配送车有辆， 则， 解得， ∴至少购入A型无人配送车10辆． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $