4.3 用一元一次方程解决问题 解答题专题训练 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按销售、工程、行程分类设计18道解答题，通过基础到综合的梯度训练，培养模型意识与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|单一等量关系建立方程|如销售问题第5题，通过折扣盈利直接建方程，强化概念理解| |综合提升层|多步骤情境与跨知识点应用|如工程问题第12题，结合工作效率与时间限制，培养推理意识| |拓展挑战层|含参数或复杂情境问题|如行程问题第16题，多次相遇构建动态等量关系，发展创新意识|

4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 一、销售盈亏问题 1．某超市第一次用元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品件，乙种商品件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵元．甲种商品售价为元/件，乙种商品售价为元/件． (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少元，那么的值是多少？ 2．某商场销售A、两种商品，售出1件A种商品所得利润为200元，售出3件种商品和5件种商品所得利润为1100元． (1)求每件种商品售出后所得利润； (2)由于需求量大，A、两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么该商场至少需购进多少件种商品？ 3．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 4．某花店在售两种花束，郁金香和牡丹的进货成本分别为每束30元和40元，已知郁金香每束的售价是牡丹每束的售价的，已知用600元购买郁金香的束数比用1080元购买牡丹的束数少6束． (1)求郁金香和牡丹每束的售价分别为多少元？ (2)随着春季花卉市场的火热，该花店在4月份对郁金香和牡丹的售价进行了调整，每束郁金香的售价上调了，每束牡丹的售价上调了，月底经统计4月郁金香的销售总量为400束，牡丹的销售总量为300束，若要保证4月的总利润为23000元，求a的值． 5．某服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现其中一件衣服的标价被污渍遮盖了，已知这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱，求这件衣服的标价是多少元？ 6．某单位购买了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购买的数量（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)购买了A型号冰箱多少台？ (2)如果每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，那么每台C型号冰箱的销售价是多少元？ (3)如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是3：5，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则在（2）的条件下，每台C型号冰箱的利润率是多少？（百分号前保留一位小数） 二、工程问题 7．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两个工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米，已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进2米． （1）求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？ （2）若甲、乙两个工程队按此施工速度进行隧道贯穿工程，剩余工程由这两个工程队联合施工，求完成这项隧道贯穿工程一共需要多少天？ 8．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务． （1）按原计划完成总任务的时，已修建道路多少米？ （2）求原计划每小时修建道路多少米？ 9．工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用小时，丙车床需用小时． (1)单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间； (2)加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由． 10．现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704 000立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？ 11．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍. （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若租用甲、乙两车各运12趟需支付运费4800元，且乙车每趟运费比甲车少200元.求单独租用一台车，租用哪台车合算？ 12．报社需要在40分钟内将一篇紧急宣传文稿输入电脑．已知独立完成此项任务，小王需要50分钟，小李只需要30分钟．小王独自输入了30分钟后，因为急于完成任务，请求小李帮助他(求助时间忽略不计)，他们能在要求的时间内完成任务吗？请说明理由． 三、行程问题 13．如图，折线A—C—B是一条公路的示意图，．甲骑摩托车从A地沿这条公路到B地，速度为40km/h，乙骑自行车从C地到B地，速度为10km/h，两人同时出发，结果甲比乙早到6min． (1)求这条公路的长． (2)设甲、乙所行的时间为t h，求甲没有超过乙时t的取值范围． 14．甲、乙两地相距360千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达乙地． (1)求货车的速度．（列方程求解） (2)到达乙地后两车继续以原速度同向前行，至少还需几小时两车距离不低于千米？（列不等式求解） 15．一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了千米时一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距部队6千米处追上队伍．（报信时间忽略不计）请问 (1)通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了多长时间？ (2)学校到部队的距离是多少千米？ 16．甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？ 17．杭州到衢州的杭金衢高速全长290千米，甲、乙两辆汽车分别从杭州和衢州同时出发相向而行，甲车每小时行105千米，经过1.4小时两车还未相遇，此时两车相距17千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解） 18．甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车先行3小时后，客车出发，又经过4小时两车相遇．已知客车的速度是货车的倍，问：货车每小时行驶多少千米？（列一元一次方程解应用题） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元； (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得元的利润； (3)． 【分析】本题考查了一元一次方程的销售问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据利润公式求出总利润即可； （3）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元． 由题意得：， 解得：， ， 答：该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元； （2） （元） 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得元的利润； （3）由题意： 答：的值是． 2．(1)售出每件种商品所得利润为100元 (2)该商场至少需购进6件种商品 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出一元一次方程和不等式成为解题的关键． （1）设售出每件种商品所得利润为元，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设购进件A种商品，则购进件种商品，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设售出每件种商品所得利润为元， 依题意得： 解得：． 答：售出每件种商品所得利润为100元． （2）解：设购进件A种商品，则购进件种商品， 依题意，得：．解得：． 为整数． 的最小值为6． 答：该商场至少需购进6件种商品． 3．(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 4．(1)郁金香每束售价为 50 元，牡丹每束售价为 60 元 (2)的值为 50 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程的实际运用，理解数量关系，正确列分式方程，一元一次方程是解题的关键． （1）设牡丹每束售价为元，则郁金香每束售价为元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）表示出调整后郁金香和牡丹每束售价，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设牡丹每束售价为元，则郁金香每束售价为元． 根据题意，， 解得：． 经检验，是原方程的解． 元， 因此，郁金香售价为 50 元，牡丹售价为 60 元． （2）解：调整后售价：郁金香：元， 牡丹：元， 则， 解得：． 5．这件衣服的标价是100元 【分析】本题考查了一元方程的实际应用，正确理解题意，建立方程是解题的关键． 设这件衣服的标价是元，由这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱即可建立方程． 【详解】解：设这件衣服的标价是元， 由题意得，， 解得：， 答：这件衣服的标价是100元． 6．(1)6台 (2)2500元 (3)每台C的利润率 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及百分数的应用，理解题意是解题关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）设C型冰箱销售价为x元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可； （3）设A、B两种型号冰箱的成本价分别为、（元），则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用的售价减去成本再除以成本得到盈利率． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 答：购买了A型号冰箱6台； （2）设C型冰箱销售价为x元， 因为每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜， 所以， 解得元． 答：每台C型号冰箱的销售价是2500元； （3）设A、B两种型号冰箱的成本价分别为、（元），则C型号冷冻箱的成本价为元， 由题意，得：， 解得， 所以元， 所以得每台C型号冰箱的成本价是1500元， 因此在（2）条件下，每台C型冰箱的盈利率为：． 答：在（2）的条件下，每台C型号冰箱的盈利率是． 7．（１）甲、乙两个工程队平均每天分别掘进7米，5米；（2）完成这项隧道贯穿工程一共需13天． 【分析】(1)设乙工程队平均每天掘进米，则甲米，根据题意列出方程即可求解； （2）设完成这项隧道贯穿工程还需天，根据题意列出方程即可求解. 【详解】(1) 设乙工程队平均每天掘进米，则甲米， 根据题意得 解得： 米 ∴甲、乙两个工程队平均每天分别掘进7米，5米； （2）设完成这项隧道贯穿工程还需天， 根据题意得 一共需：10+3=13天 答：完成这项隧道贯穿工程一共需13天． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程. 8．（1）已修建道路600米；（2）原计划每小时抢修道路140米． 【分析】（1）全长1800，原计划已经完成，单位“1”已知用乘法，已修道路==600米 （2）本题可以采用直接设，设原计划每小时修路为x米，加快后每小时变为1.5x米，等量关系为：原计划修路时间+提高后修路时间=总时间，列方程即可解出． 【详解】解：（1）已修建道路600米； （2）设原计划每小时抢修道路x米， 根据题意得：＝10 解得：x＝140， 经检验：x＝140是原方程的解． 答：原计划每小时抢修道路140米． 【点睛】方程的应用题是中考常考的类型题，设未知数一般有直接设和间接设两种，做题时找好等量关系尤为重要，分式方程解出后要检验增根的情况，排除不合适的解． 9．(1)15小时 (2) 不相同， 理由：∵乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得， ∴， ∴， ∴． 经检验，x＝1不是原方程的解， ∴ 原方程无解． 答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不能相同． 【分析】（1）若甲车床需要x小时，丙车床需用小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的，即可列出方程求解． （2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得． ∴ (小时)． 答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时． （2）略 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键． 10．大型挖掘机70台，小型挖掘机50台 【分析】设大型挖掘机x台，则小型挖掘机(120－x)台，根据“20小时共挖掘土方704 000立方米”列出方程求解即可． 【详解】设大型挖掘机x台，则小型挖掘机(120－x)台．根据题意得： 20［360x＋200(120－x)］＝704 000 解得x＝70，120－x＝50 答：大型挖掘机70台，小型挖掘机50台． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 11．（1）甲18趟，乙36趟；（2）乙 【分析】（1）设甲需要x趟，则乙需要2x趟，设总工作量为单位1，利用等量关系式：甲完成的工作+乙完成的工作=1列方程解答； （2）设甲每趟y元，则乙每趟(y－200)元，利用等量关系式：甲的费用+乙的费用=总费用，列方程可求得甲、乙一趟的费用，然后分别算出甲、乙的总费用，比较即可. 【详解】（1）设甲单独运需要x趟，则乙需要2x趟 则方程为：12 解得：x=18 故甲需要18趟，乙需要36趟 （2）设甲每趟y元，则乙每趟(y－200)元 则方程为：12(y+y－200)=4800 解得：y=300 故甲一趟300元，乙一趟100元 故甲的总费用为：300×18=5400元 乙的总费用为：100×36=3600元 ∵5400＜3600 故乙划算，租乙车 【点睛】本题考查一元一次方程的工程问题和方案为题，解题关键是根据题干找出等量关系式，列写合适的方程. 12． 他们能在要求的时间内完成任务，理由如下： 设小李加入后输入了分钟完成任务， 根据题意得：， 解这个方程得：， (分钟) 所以从小王开始输入到任务完成共用时37.5分钟， 37.5分钟40分钟， 他们能在要求的时间内完成任务． 答：他们能在要求的时间内完成任务 【分析】设还需x分钟完成任务，设任务量为单位1，根据题干，等量关系式为：小王前30分钟和后x分钟完成的工作量+小李x分钟完成的工作量=1，根据等量关系式列写方程. 【详解】略 【点睛】本题考查一元一次方程中的工程问题，此类题型，我们通常设工作总量为“单位1” 13．(1)12km (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系或不等关系，列出方程或不等式． （1）设这条公路的长为，则，由题意可得等量关系：乙从地到地所用的时间甲从地沿这条公路到地所用的时间分钟，根据等量关系列出方程即可； （2）根据题意得出不等关系：甲小时的路程乙小时的路程，根据不等关系列出不等式即可． 【详解】（1）解：设这条公路的长为． 由题意，得， 解得． 答：这条公路的长为． （2）解：由题意，得， 解得． ∵， ∴． ∴当时，甲没有超过乙． 14．(1)货车的速度为千米/小时 (2)至少还需小时 【分析】（1）设货车的速度为千米/小时，则轿车的速度为千米/小时，根据轿车比货车晚出发小时且同时到达乙地这一条件，结合路程、速度和时间的关系列出方程求解即可； （2）设还需小时两车距离超过千米，根据两车的速度差和行驶时间列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设货车的速度为千米/小时，则轿车的速度为千米/小时， 由题意，列方程得， 解得或， 经检验，是原方程的解，且符合题意，不符合题意，舍去， 答：货车的速度为千米/小时； （2）设还需小时两车距离超过千米， 由题意，列不等式得， 解得， 答：至少还需小时两车距离不低于千米． 15．(1)1小时 (2)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，用到的知识点是路程速度时间，根据等量关系“队伍距学校的距离通讯员距学校的距离”列出方程，是解题的关键． （1）设通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了x小时，根据等量关系“队伍距学校的距离通讯员距学校的距离”列出方程，求出x的值即可得出答案； （2）根据解析（1）求出的时间，列式计算即可． 【详解】（1）解：设通讯员从离开队伍到追上队伍用一共用了x小时，由题意得： ， 解得：． 答：通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了1小时； （2）解：（千米）， 答：学校到部队的距离为千米． 16．600米 【分析】设甲、乙两站距离为米，由乙到甲、丙距离相等得乙丙也为米，甲丙距离为米．先求出第一次相遇两人各自走的路程，再求出第一次相遇到第二次追上两人走的路程，根据速度不变，相同时间内路程成正比例，列方程求解得到，即可算出甲丙两站的距离． 【详解】解：设甲、乙两站的距离为米，则乙、丙两站的距离也为米，甲、丙两站的距离为米． 第一次相遇时，小军走的路程为米．小明走的路程为米． 从第一次相遇到第二次追上时，小军走的路程为米， 可知这段路程是第一次相遇时小军路程的2倍．两人速度保持不变，因此这段时间小明走的路程也为第一次相遇时小明路程的2倍． 小明从第一次相遇到被追上，实际走了（米）． 列方程得： 解得 则甲、丙两站的距离为（米） 答：甲、丙两站的距离是600米． 17．乙车每小时行90千米 【分析】根据剩余的路程加上甲乙行驶的路程和等于总路程建立方程求解即可． 【详解】解：设乙车每小时行千米， 答：乙车每小时行90千米． 18．货车每小时行驶80千米． 【分析】设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米．甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米． 则 解得 答：货车每小时行驶80千米 答案第1页（共2页） 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