4.3.2 用一元一次方程解决问题 提优练习 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦几何与古代/工程问题，通过基础巩固、思维提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|几何图形计算、古代问题建模|选择填空为主，如圆柱体积计算、"二果问价"方程建立，巩固方程应用基础| |提升层|规律探究、工程合作|规律题（剪绳子、分割正方形）、工程效率问题，培养推理与运算能力| |综合层|复杂情境应用|劳动基地通道设计、阶梯收费分段计算，融合实际场景，发展模型意识与应用能力|

4.3.2 用一元一次方程解决问题（2） 几何问题与规律问题 1.如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为的草坪，若草坪总面积为，设雕塑的底面边长为，则有（ ） A B. C. D. 2.一个底面半径为、高为的圆柱形大杯中装满了水，把水倒入底面半径为的圆柱形小杯中，刚好倒满8杯，则小杯的高为________cm. 3.将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，...，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪________刀. 4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?” 5.在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动.计划在校园内一块长方形的空地上开垦两块完全相同的长方形菜园，如图所示，已知空地长10m，宽4.5m，长方形菜园的长与宽的比为6：1，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和长方形菜园的宽分别是多少米? 6.如图，将图①正方形作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图②，得到5个正方形；第2次：将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形……以此类推，根据以上操作，正方形的个数不可能为（ ） A. 2021 B. 2025 C. 2027 D. 2029 7.有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为，高，现内装溶液若干.如图②放置时，测得液面高10cm，如图③放置时，测得液面高16cm，则该玻璃密封器皿总容量为(结果保留)（ ） A. C. 8.(1) 如图①，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为________. (2)如图②，甲、乙两个长方形有一部分重叠在一起，甲长方形不重叠的部分是甲长方形面积的，乙长方形不重叠的部分是乙长方形面积的，且甲、乙两个长方形面积之和为，则重叠部分面积是________. 9.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①，小红看见了，说：“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，求每个小长方形的面积. 10.对联是中华传统文化的瑰宝.如图①所示，对联装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的边宽相等，且为天头长与地头长的和的，设左、右边的边宽为. (1) 用含的代数式分别表示天头长和地头长. (2) 现要装裱一副五言联，该五言联的长为92cm，宽为25cm，如图②所示，装裱五言联用的卷轴的长是宽的4倍.求五言联装裱预留的天头长. (3) 如图③，徐老师裁出两张长方形纸张准备写一副七言联，每张正好划出7个正方形方格，正方形方格的边长为.若装裱用的卷轴长为，正方形方格的边长比装裱后的边宽大，且两者长度均为整数，求徐老师裁剪的长方形纸张的长. 古代问题与工程问题 1.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，试问买甜果苦果各几个?若设买甜果个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“，…”表示的缺失的条件应为（ ） A. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 2.某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要10天、15天完成.如果两个工程队同时施工2天，然后由乙工程队单独施工，还需多少天完成?若设由乙工程队单独施工，还需天完成，则可列方程为（ ） A. C. 3.某停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，该停车场的收费标准如下： 若设中型汽车有辆，请你根据题意完善表格中的信息，并列方程为________. 4.整理一批图书，如果由一个人单独整理要用，现在先安排一部分人用整理，随后又增加6人和他们一起又整理了，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有________人. 5.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品.每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱.问人数、物品价格各是多少. 小明与小刚分别用两种设未知数的解法都解决了上述问题，请你将两种解法都详细地写出来. 解法一： 解法二： 6.程大位《算法统宗》中有这样一个问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完.试问大、小和尚各多少人.设大和尚有人，依题意列方程得（ ） A. C. 7.甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示.若乙单独完成这项工作，则需（ ） A. 35天 B. 30天 C. 15天 D. 10天 8.学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完.已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地上割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加劳动实践活动的人数为________. 9.为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 例如：某用户2月份用水9立方米，则应缴水费：(元). (1) 某用户3月份用水15立方米，应缴水费多少元? (2) 已知某用户4月份缴水费20元，求该用户4月份的用水量. (3) 如果某用户5，6月份共用水20立方米(6月份用水量超过5月份用水量)，共缴水费64元，那么该用户5，6月份各用水多少立方米? 10.甲、乙两个工程队第一次合作完成6000米的公路修建工程，两队的修建速度及每天所需工程费的情况如表所示，最终甲工程队的工作天数比乙工程队的工作天数的2倍少20天. (1) 甲、乙两工程队分别工作了多少天？完成该项工程甲、乙两工程队所需工程费各多少元? (2) 甲、乙两个工程队第二次又合作完成某项公路修建工程，其中乙工程队分到的工作量是它第一次的2倍，同时由于乙工程队减少了人员和设备，修建速度比它第一次减少了25%，每天所需工程费也因此而打折.完成该项任务后，乙工程队所需工程费比它第一次多了38000元，求乙工程队第二次每天所需工程费是它第一次的几折. 答案 几何问题与规律问题 1.B 2. 10 3. 506 4.设原来有斗酒，根据题意，得，解得0.875.答：原来有0.875斗酒. 5.设长方形菜园的宽为，则长为，根据题意，得，解得. 所以预留通道的宽度. 答：预留通道的宽度是，长方形菜园的宽是. 6.C 解析：题图①有1个正方形，题图②有(个)正方形，题图③有(个)正方形……以此类推，图⑦有1+个正方形.当正方形的个数是2021时，解得506，当正方形的个数是2025时，解得，当正方形的个数是2027时，解得，当正方形的个数是2029时，解得，因为是正整数，所以正方形的个数不可能为2027.故选C. 7.D 解析：设该玻璃密封器皿总容量为，根据题意，得，解得.故选D. 8.(1) 80 解析：设原来正方形纸片的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，则，解得.故每一个长条的面积为. (2) 8 解析：设甲长方形的面积为，则乙长方形的面积为，由题意，得，解得，所以重叠部分面积是. 9.由题图②得中间小正方形的边长为，设每个小长方形的宽为，由题图②可知每个小长方形的长为，根据题图①列方程，解得，所以，所以每个小长方形的面积为. 答：每个小长方形的面积为. 10.(1) 因为左、右边的边宽为，且为天头长与地头长的和的，所以天头长与地头长的和为.因为天头长与地头长的比是，所以天头长为，地头长为.(2) 根据题意，装裱五言联用的卷轴的长为，宽为. 因为卷轴的长是宽的4倍，所以，解得，所以，所以五言联装裱预留的天头长.(3) 因为装裱用的卷轴长为，所以，所以.因为与都是正整数，所以，所以，所以徐老师裁剪的长方形纸张的长为. 古代问题与工程问题 1.A 2.A 3.30－x 15x 8(30－x) 15x＋8(30－x)=324 4. 6 解析：设先安排整理的人员有人，根据题意，得，解得，即先安排整理的人员有6人. 5.解法一：设人数为人，由题意得，解得.所以物品价格是(钱).答：有7人，物品价格是53钱. 解法二：设物品价格为钱，则可列方程为，解得，所以人数是(人).答：有7人，物品价格是53钱. 6.C 解析：当大和尚有人时，小和尚有人，根据题意有，故选C. 7. 解析：甲单独完成这项工作需(天)，所以甲的工作效率为.设乙的工作效率为，根据题意，得，解得.所以乙的工作效率为，所以若乙单独完成这项工作，则需30天.故选B. 8. 8 解析：设此次参加劳动实践活动的有人，一个人一天的工作量为1，由题意可得，解得，所以此次参加劳动实践活动的人数为8. 9.(1) 应缴水费(元). 答：应缴水费68元. (2) 因为该用户4月份缴水费20元，， 所以设该用户4月份用水立方米， 根据题意得，解得. 答：该用户4月份的用水量为8立方米. (3) 设5月份用水立方米，则6月份用水(20－y)立方米. ①当5月份用水不超过6立方米时， 根据题意得， 解得，不符合题意，舍去； ②当5月份用水超过6立方米但不超过10立方米时， 则， 解得，符合题意，(立方米)； ③当5月份用水超过10立方米时，因为6月份用水量超过5月份用水量，所以不符合题意. 所以该用户5月份用水8立方米，6月份用水12立方米. 10.(1) 设乙工程队工作了天，则甲工程队工作了天，根据题意得，解得，所以甲工程队所需工程费为(元)，乙工程队所需工程费为(元). 答：甲工程队工作了40天，乙工程队工作了30天，完成该项工程甲工程队所需工程费为48000元，乙工程队所需工程费为30000元. (2) 设乙工程队第二次每天所需工程费是它第一次的折，根据题意得，解得. 答：乙工程队第二次每天所需工程费是它第一次的八五折. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $