26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程第2课时，核心知识点为利用图象解不等式及求抛物线与直线交点。课堂导入通过“知识链接”回顾函数交点与方程组的关系、y值正负对应图象位置等旧知，搭建学习支架衔接前后知识。 资料以“自主探究—合作交流—当堂检测”闭环设计为特色，通过“找交点、划线分区”培养几何直观，联立方程组求交点强化模型观念，例题变式训练发展推理能力，助力学生掌握数形结合思想，提升解决问题的能力。

第二十六章　二次函数　26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时）——利用图象解不等式、求抛物线与直线的交点 【学习目标】 ① 理解两个函数图象交点即联立方程组的解，能用图象法解不等式（如 y₁>y₂ 的解集由两图象交点划分）； ② 掌握利用交点坐标解 y₁＝y₂、y₁>y₂ 等不等式的方法——“找交点、划线分区”； ③ 能熟练用联立方程组求抛物线与直线的交点坐标，体会数形结合思想。 【学习重难点】 重点：利用两图象交点解不等式；用联立方程组求抛物线与直线的交点坐标。 难点：根据图象“划线分区”确定不等式解集；抛物线与直线交点问题的代数转化。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 两个函数图象的交点，其坐标同时满足两个解析式，也就是这两个解析式联立所得__________的解。 2. 对于函数的图象：y>0 表示图象在 x 轴____（填“上”/“下”）方，y<0 表示图象在 x 轴____方。 3. 求两条曲线的交点坐标，可把两个解析式联立组成方程组，方程组的解就是交点的__________。 【自主探究】 探究1　利用图象解两个函数的不等式（找交点、划线分区） 【例2】已知 y₁＝＋2x 与 y₂＝x＋2 的图象交于点（－2，0）和（1，3）。 　　(1) 当 y₁＝y₂ 时，即 ＋2x＝x＋2，解得 x＝________ 或 x＝________； 　　(2) 观察图象，当抛物线在直线上方（y₁>y₂）时，x 的取值范围是__________。 【变式2】已知 y₁＝x＋1 与 y₂＝－＋3 的图象交于 A(1,2)、B(－2,－1)。 　　(1) 方程 y₁＝y₂ 的解为 x＝________ 或 x＝________； 　　(2) 当 y₁<y₂ 时，x 的取值范围是__________； 　　(3) 不等式 x＋1≥－＋3 的解集为__________。 探究2　求抛物线与直线的交点坐标（联立方程组） 【例3】求抛物线 y＝－2x 与直线 y＝－3x＋2 的交点坐标。 　　联立得 －2x＝－3x＋2，整理得 ＋x－2＝0，解得 x＝________ 或 x＝________； 　　代入 y＝－3x＋2，得交点坐标为（________）和（________）。 【变式3】求抛物线 y＝－＋4x＋5 与直线 y＝x＋1 的交点坐标。 　　联立得 －＋4x＋5＝x＋1，整理得 －3x－4＝0，解得 x＝________ 或 x＝________； 　　对应 y 值分别为 5、0，故交点坐标为（________）和（________）。 【合作交流】（方法归纳，师生共研） 请用“找点—划线—分区（两线三区）”的方法填空归纳： ① y＝0 对应图象与 ____ 轴的交点；y>0 对应图象在 x 轴____方；y<0 对应图象在 x 轴____方。 ② y₁＝y₂ 对应两图象的____（即临界值）；y₁>y₂ 对应 ____ 的图象更高（在上方）。 ③ 抛物线与 x 轴两交点（x₁,0）、（x₂,0）的对称轴是直线 x＝__________。 ④ 求两图象交点坐标，就是将两个解析式__________组成方程组并求解。 【当堂检测】 1. 若抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于（－1，0）、（5，0）两点，则其对称轴为（　　）。A.x＝－1　B.x＝1　C.x＝3　D.x＝2 2. 二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a<0）与 x 轴交于（1，0），且对称轴为 x＝－1。则当 y<0 时，x 的取值范围是（　　）。A.x<1　B.x>1　C.－3<x<1　D.x<－3 或 x>1 3. 已知函数 y₁＝mx²＋nx 与 y₂＝ax＋b 的图象交于 A、B 两点。观察图象： 　　(1) 方程 y₁＝y₂ 的解为 x＝________ 或 x＝________； 　　(2) 不等式 y₁≥y₂ 的解集为________________； 　　(3) 当 y₁>0 时，x 的取值范围是________________。 4. 已知抛物线 y＝－4x＋m。 　　(1) 该抛物线的对称轴是直线__________； 　　(2) 若图象过点 A(－3,0)，则 m＝________；由对称轴可知另一交点 B 坐标为（7,0），则 AB 的长度为__________。 5. 直线 y＝kx＋1 与抛物线 y＝－4x。 　　(1) 联立两解析式得 －（4＋k）x－1＝0，其判别式 Δ＝________。判断两图象是否总有两个交点，并说明理由； 　　(2) 当 k＝－2 时，联立得 －2x－1＝0，解得 x＝________； 　　　　交点 A、B 坐标分别为 A（________）、B（________），△OAB 的面积为__________。 【学习小结】 1. 利用图象解不等式的核心步骤：先求交点（得临界值），再划线分区（两线分三区），最后结合图象写出解集。 2. 求抛物线与直线的交点，方法是把两个解析式__________组成方程组，解出 x、y 即得交点坐标。 【拓展延伸】 二次函数与一次函数的交点问题，本质上是把“交点”转化为对应一元二次方程的根来研究——用判别式 Δ 判断交点个数，用根的分布确定交点区间。请结合本课例3、例5，说明 Δ 与交点个数的对应关系。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. 方程组。 2. 上；下。 3. 坐标（横坐标、纵坐标）。 二、自主探究 探究1 例2：(1) x＝－2 或 x＝1；(2) x>1 或 x<－2。 变式2：(1) x＝－2 或 x＝1；(2) －2<x<1；(3) x≥1 或 x≤－2。 探究2 例3：x＝1 或 x＝－2；交点（1,－1）、（－2,8）。 变式3：x＝4 或 x＝－1；交点（4,5）、（－1,0）。 三、合作交流 ① x；上；下。　② 交点；y₁。　③ x＝(x₁＋x₂)/2。　④ 联立。 四、当堂检测 1. D（对称轴 x＝(－1＋5)/2＝2）。 2. D（对称轴 x＝－1，另一交点为(－3,0)，开口向下，y<0 时 x<－3 或 x>1）。 3. (1) x＝－2 或 x＝2；(2) x≤－2 或 x≥2；(3) x<－2 或 x>0。 4. (1) 对称轴直线 x＝2；(2) m＝－21，AB＝10。 5. (1) Δ＝(4＋k)²＋4>0 恒成立，故两图象总有两个交点； 　　(2) x＝1±；A(1－,2－1)、B(1＋,－1－2)，△OAB 面积 S＝2。 五、学习小结 1. 找交点、划线分区、写解集。　2. 联立。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $