26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数与一元二次方程”核心内容，通过“知识链接”模块回顾一元二次方程解法、判别式及二次函数与x轴交点旧知，搭建新旧知识桥梁，为新知探究提供学习支架。 资料以“自主探究+合作交流”为主线，设计例与变式题分层训练，从求交点到用判别式判断个数再到反求系数范围，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识，帮助学生用数学思维思考关系，用数学语言表达规律，提升学习效率。

第二十六章　二次函数　26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时） 【学习目标】 ① 理解二次函数 y＝a＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0） 的解； ② 会用判别式 Δ＝－4ac 判断抛物线与 x 轴交点个数，理解 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 与交点个数的对应关系； ③ 能由抛物线与 x 轴交点个数，反求函数中字母系数的取值范围。 【学习重难点】 重点：二次函数与一元二次方程的关系；用判别式判断抛物线与 x 轴交点个数。 难点：由交点个数反求字母系数（含二次项系数不为 0、判别式非负等条件）的取值范围。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0） 的求根方法主要有________法和________法；求根公式为 ________。 2. 判别式 Δ＝－4ac：当 Δ＞0 时方程有________；当 Δ＝0 时方程有________；当 Δ＜0 时方程________。 3. 二次函数 y＝a＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标，就是对应方程 a＋bx＋c＝0 的________。 【自主探究】 探究1　求抛物线与 x 轴的交点坐标 【例1】求下列抛物线与 x 轴的交点坐标： (1) y＝－2x－3：令 y＝0，得 －2x－3＝0，解得 x₁＝________，x₂＝________，故交点为（________，0）和（________，0）； (2) y＝－6x＋9：可化为 （x－3＝0，解得 x＝________（重根），故交点为（________，0）。 【变式1】求下列抛物线与 x 轴的交点坐标： (1) y＝－8x＋7：解得 x₁＝________，x₂＝________，交点为（________，0）和（________，0）； (2) y＝＋x＋1：Δ＝________，________ 0，方程无实根，故与 x 轴________。 探究2　抛物线与一元二次方程的解 【例2】抛物线 y＝－bx＋c 与 x 轴交于 A(1,0)、B(－3,0)，则方程 －bx＋c＝0 的解为（　　）。A.x＝1　B.x＝－3　C.x₁＝1，x₂＝－3　D.无解 【变式2】(1) 方程 －5x＋4＝0 的解为 x＝________，x＝________，则对应抛物线与 x 轴交点为（________，0）和（________，0）； 　　(2) 由图象可知，方程 －2x－3＝0 的解约为 x＝________ 或 x＝________。 探究3　用判别式判断交点个数 【例3】抛物线 y＝＋2x－3 与 x 轴交点个数为（　　）。A.0 个　B.1 个　C.2 个　D.无法确定 【变式3】抛物线 y＝2－3x＋5 与 x 轴交点个数为（　　）。A.0 个　B.1 个　C.2 个　D.无法确定 探究4　由交点个数求字母系数范围 【例4】抛物线 y＝－2x＋m－1 与 x 轴有交点，则 Δ＝4－4（m－1）________0，解得 m________2。 【变式4】(1) 抛物线 y＝（m－1）－2x＋1 与 x 轴有交点，则 m－1________0 且 Δ＝4－4（m－1）________0，解得 m________且 m________； 　　(2) 抛物线 y＝－4＋2x＋m 与 x 轴无交点，则 Δ＝4＋16m________0，解得 m________。 【合作交流】（课堂小结填表） 请填写二次函数 y＝a＋bx＋c 与一元二次方程 a＋bx＋c＝0 的关系表： 判别式 Δ＞0：方程有________，抛物线与 x 轴有________； 判别式 Δ＝0：方程有________，抛物线与 x 轴有________； 判别式 Δ＜0：方程________，抛物线与 x 轴有________； 判别式 Δ≥0：方程________，抛物线与 x 轴________； 抛物线与 x 轴交点为（m,0）、（n,0）⇔ 方程的解为 x₁＝________，x₂＝________； 抛物线与 y 轴的交点________（填“唯一”或“不唯一”），坐标为（0，________）。 【当堂检测】 1. 抛物线 y＝a＋bx＋16 与 x 轴只有一个公共点（－4,0），则方程 a＋bx＝－16 的根为 x₁＝x₂＝________。 2. 抛物线 y＝－＋6x－4 与坐标轴共有________个公共点（其中与 x 轴________个，与 y 轴________个）。 3. 若抛物线 y＝（m－1）－6x＋m 与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为（　　）。A.1 或 3　B.－2 或 3　C.1 或 －2 或 3　D.1 或 －2 4. (1) 求证：抛物线 y＝－2mx＋＋1 与 x 轴恒无交点； 　　(2) 将其向下平移 a 个单位后得 y＝（x－m＋1－a，若平移后图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a＝________。 【学习小结】 1. 二次函数 y＝a＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标，就是对应方程 a＋bx＋c＝0 的________。 2. 判别式 Δ＝－4ac 的符号决定交点个数：Δ＞0⇔________个交点，Δ＝0⇔________个交点，Δ＜0⇔________个交点。 【拓展延伸】 思考：已知抛物线与 x 轴的交点（或顶点）信息，能否反推出函数解析式？它与________法（待定系数法）有什么联系？试举一个例子说明。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. 因式分解；公式；x＝。 2. Δ＞0：两个不相等的实数根；Δ＝0：两个相等的实数根；Δ＜0：无实数根。 3. 根（或解）。 二、自主探究 探究1 例1：(1) x₁＝－1，x₂＝3，交点（－1,0）、（3,0）；(2) x＝3，交点（3,0）。 　　 变式1：(1) x₁＝1，x₂＝7，交点（1,0）、（7,0）；(2) Δ＝1－4＝－3＜0，无交点。 探究2 例2：选 C（x₁＝1，x₂＝－3）。 　　 变式2：(1) x＝4，x＝1，交点（4,0）、（1,0）；(2) x＝－1 或 x＝3。 探究3 例3：Δ＝4＋12＝16＞0，有 2 个交点，选 C。 　　 变式3：Δ＝9－40＝－31＜0，有 0 个交点，选 A。 探究4 例4：Δ＝4－4（m－1）≥0，解得 m≤2。 　　 变式4：(1) m－1≠0 且 Δ＝4－4（m－1）≥0，解得 m≤2且 m≠1；(2) Δ＝4＋16m＜0，解得 m＜－。 三、合作交流 Δ＞0⇔两个不相等实根⇔2 个交点；Δ＝0⇔两个相等实根⇔1 个交点；Δ＜0⇔无实根⇔0 个交点；Δ≥0⇔有实根⇔有交点。 抛物线与 x 轴交点（m,0）（n,0）⇔方程解 x₁=m，x₂=n；与 y 轴交点唯一，坐标为（0,c）。 四、当堂检测 1. 方程 a＋bx＝－16 的根为 x₁＝x₂＝－4。 2. 与 x 轴 2 个、与 y 轴 1 个，共 3 个公共点。 3. 选 C（m＝1 或 m＝－2 或 m＝3）。 4. (1) Δ＝（2m－4（＋1）＝－4＜0，故恒无交点； 　　(2) 下移 a 个单位后 y＝（x－m＋1－a，唯一交点即顶点在 x 轴上，1－a＝0，得 a＝1。 五、学习小结 1. 二次函数 y＝a＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 a＋bx＋c＝0 的解。 2. Δ＝－4ac 的符号决定交点个数：Δ＞0→2 个，Δ＝0→1 个，Δ＜0→0 个。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $