26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第26章   二次函数

26.3  二次函数与一元二次方程

第1课时  二次函数与一元二次方程

【学习目标】

1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.

2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.

学习重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.

学习难点：会用待定系数法求二次函数的解析式.

【复习导入】

二次函数与一元二次方程有什么关系呢？

 

 

                      

【合作探究】

探究点：二次函数与一元二次方程

如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？

(1) y = x² + x－2；(2) y = x²－8x + 16；(3) y = x²－x + 1.

由此，你能说说方程x² + x－2 = 0，x²－8x + 16 = 0，x²－x + 1 = 0 的根的情况吗？

 

 

                      

 

                      

 

      

由上述问题，你可以得到什么结论呢？

 

  

想一想：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？

 

 

 

 

 

 

思考：当 a＜0 时，是否同样存在公共点？动手画一画！

归纳总结：

二次函数 y = ax2 + bx + c  的图象与 x 轴的公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点	一元二次方程ax2+bx+c=0的根	b2－4ac
有两个公共点	有两个不相等的实数根	b2－4ac＞0
有一个公共点	有两个相等的实数根	b2－4ac=0
没有公共点	没有实数根	b2－4ac＜0

 

典例精析

例1  已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．

(1)求证：此抛物线与x轴总有两个公共点；

(2)若此抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

链接中考

1.  若二次函数 y = ax2－2x－1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为_______________.

 

 

典例精析

例2 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)的关系近似为  h=20t－5t2.小球的飞行高度能否达到 20 m?如果能，需要多长时间？

 

 

 

 

 

 

 

关于例1，回答下列问题：

(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？

(2)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？

(3) 小球从飞出到落地要用多少时间？