25.2.2 公式法 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，通过复习配方法解具体方程导入，引导学生从特殊方程过渡到一般形式ax²+bx+c=0的推导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于推导求根公式时渗透转化思想，分类讨论判别式培养推理能力，规范解题步骤强化符号意识。例题涵盖Δ>0、=0、<0三种情况，结合实际问题应用，助力学生发展数学思维，教师使用可提升教学效率与学生运算严谨性。

第25章 一元二次方程 25.2.2公式法 人教版（2024）九年级上册 01 02 03 理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟记求根公式及根的判别 式公式。掌握根的判别式与一元二次方程实数根的三种对应关系，能 准确判断方程根的情况。熟练运用公式法规范解一元二次方程，掌握 解题标准步骤，规避常见运算错误。 经历“配方法解一般式方程→推导求根公式→归纳解题步骤→应用 解题”的完整过程，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想。通 过分类讨论判别式的取值情况，培养分类探究、归纳总结的学习能 力，提升代数推理和运算能力. 在公式推导的探究过程中，感受数学公式的严谨性、简洁性，体会 数学的逻辑美感.养成规范解题、细致运算、严谨思考的良好学习习 惯，增强学习数学的自信心。 教学目标 用配方法解 一元二次方程 将常数项移到方程的右边 二次项系数化为1 利用平方根的意义直接开平方 解两个一元一次方程 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 一移 二化 三配 四开 五解 新知导入 用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x－5＝0. 解：(1)x1＝－1，x2＝－2； (2)x1＝－1，x2＝. 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题. 移项，得 二次项系数化为 1，得 新知讲解 探究 配方，得 即 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 探究 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （1）当 b2–4ac>0 时，>0，由①得 x + =± . 方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = . 探究 （2）当 b2–4ac=0 时，=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – . （3）当 b2–4ac<0 时，<0，由①可知(x + )2 <0，而 x取任何实数都不能使 (x + )2 <0 成立，因此方程无实数根. 判别式的情况 一元二次方程根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 Δ≥0 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac． ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 试一试 一元二次方程 Δ的值 根的情况 按要求填表： 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 例3 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 解：(1)因为a=1，b=﹣4，c=-7， 所以△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0， 方程有两个不相等的实数根x===2. 即 例3 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 解：(2) 因为 ， 所以， 方程有两个相等的实数根 例3 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 解：(3) 方程化为 ，此时 ， 所以 = (-4)2-4×5×(-1) =36>0. 方程有两个不相等的实数根x===. 即 例3 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 解：(4) 方程化为 ， 此时a=1，b=-8，c=17， 所以 (-8)2-4×1×17=-4＜0. 方程无实数根. 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0). 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 用公式法解一元二次方程的步骤 公式法求解一元二次方程的两点注意 （1）必须先将方程化成一般形式，再确定a，b，c的值． （2）当b2－4ac≥0时，方程有实数根； 当b2－4ac＜0时，求根公式不成立，此时方程无实数根． 2．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　） A A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 　D．有两个实数根 1. 利用求根公式求5x2+=6x的根时，a，b，c的值分别是（ ）   C 课堂练习 3．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则 (　 ) A．k＝－4　　　　B．k＝4　　　C．k≥－4　　　　D．k≥4 B 4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______． 13 5．用公式法解下列一元二次方程． （1）x2－3x－2＝0； （2）－x2－2x＝2x＋1． 解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0． ∴x＝＝． ∴． 5．用公式法解下列一元二次方程． （1）x2－3x－2＝0； （2）－x2－2x＝2x＋1． 解：（2）方程化为x2＋4x＋1＝0． ∵a＝1，b＝4，c＝1， ∴b2－4ac＝42－4×1×1＝12＞0， ∴x＝＝． ∴x1＝，x2＝． 6．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值． 解：把x＝0代入原方程，得m2－3m＋2＝0． 这里a＝1，b＝－3，c＝2， ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0， ∴m＝＝，即m1＝2，m2＝1． 又原方程为关于x的一元二次方程， ∴m－1≠0，即m≠1，∴m＝2． 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三算（Δ值）； 四求（求根公式计算） 课堂小结 $