18.5 分式方程 讲义 2026-2027学年人教版数学 八年级 上册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理概念识别（分母含未知数）、解法步骤（去分母化整式方程等）、增根与无解情形（最简公分母为0或整式方程无解）及实际应用（行程、工程等问题），构建从概念到解法再到建模的学习支架。 资料通过表格对比分式方程与整式方程助抽象理解（数学眼光），典例分类讨论增根与参数培养推理能力（数学思维），分层作业与易错诊断强化应用，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺，发展模型观念（数学语言）。

人教版八年级上册 18.5 分式方程 课时作业 18.5 分式方程 人教版八年级上册 第十八章《分式》 课时作业（含答案与解析） 班级：____________ 姓名：____________ 完成时间：45 分钟 满分：100 分 一、学习目标 1．理解分式方程的概念，能识别分式方程与整式方程。 2．掌握解分式方程的一般步骤，会用去分母的方法把分式方程转化为整式方程。 3．理解增根产生的原因，知道解分式方程必须检验，并会判断方程是否有解。 4．能列分式方程解决行程、工程、销售等实际问题，发展模型观念。 二、知识梳理 知识点 1 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。判断的关键是看未知数是否出现在分母中，而不是看方程中有没有分数线。 方 程 是否分式方程 理 由 不是 分母是常数 2，未知数不在分母中 是 未知数 在分母中 不是 两个分母都是常数 不是 是常数，不是未知数 是 两个分母中都含未知数 知识点 2 解分式方程的一般步骤 ① 找出各分母的最简公分母（分母是多项式的先分解因式）； ② 方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③ 解这个整式方程； ④ 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若不为 0，是原方程的解；若为 0，是增根，必须舍去。 图 18-5-1 解分式方程的流程 知识点 3 增根 在把分式方程化为整式方程的过程中，方程两边同乘了一个可能为零的整式，因此所得整式方程的解不一定是原分式方程的解。使最简公分母等于 0 的根叫做原方程的增根。 本质理解 产生增根的原因是"两边同乘的式子可能为 0"，这一步变形不是同解变形。所以检验不是可有可无的步骤，而是解分式方程必不可少的一环。 知识点 4 分式方程无解的两种情形 （1）去分母后得到的整式方程本身无解（例如出现 0·x = 5 这样的矛盾式）； （2）整式方程虽有解，但这个解使最简公分母为 0，是增根。 易错辨析 "方程无解"与"方程有增根"不是同一回事：有增根一定要检验后舍去，但如果一个方程去分母后得到的整式方程有两个解，其中只有一个是增根，那么另一个仍是原方程的解，此时方程并非无解。 知识点 5 列分式方程解应用题 基本步骤：审、设、列、解、验、答。其中"验"有两层含义——既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际意义（如速度、人数必须为正数）。 问题类型 基本数量关系 常见等量关系 行程问题 路程 = 速度 × 时间 两段路程用时相同（或相差若干） 工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 把总工作量看作 1，效率之和 销售问题 总价 = 单价 × 数量 两批商品的数量或单价存在倍数关系 轮船航行 顺水速度 = 静水速度 + 水速 顺水、逆水两段用时相同 三、典例精析 【例 1】（基本解法）解方程：。 解：最简公分母为 ，两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。 检验：当 时，， 所以 是原方程的解。 【例 2】（含增根）解方程：。 解：注意到 ，最简公分母为 。 两边同乘 ，得 ， 即 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是增根，必须舍去。 所以原方程无解。 阅卷提示 得出 x = 2 后如果直接写"解为 x = 2"，本题将全部失分。凡解分式方程，最后一定要写出检验过程和结论。 【例 3】（分母需分解因式）解方程：。 解：，最简公分母为 。 两边同乘 ，得 ， 展开：，得 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是增根。 所以原方程无解。 【例 4】（含参数）若关于 的方程 有增根，求 的值。 解：最简公分母为 ，增根必使 ，即 。 把方程化为 ，两边同乘 ，得 。 把 代入，得 ，所以 。 点评：求增根问题的通法是——先由最简公分母为 0 求出增根的值，再把它代入去分母后的整式方程。 【例 5】（工程问题）某工程队计划修一条长 3000 米的道路。实际施工时每天比原计划多修 50 米，结果提前 5 天完成任务。求原计划每天修多少米。 解：设原计划每天修 米，则实际每天修 米。 根据"原计划用时比实际用时多 5 天"，列方程 两边同乘 ，得 ， 化简：，即 ， 分解因式：，解得 ，。 检验： 时 ，且符合实际意义； 不合题意，舍去。 答：原计划每天修 150 米。 【例 6】（行程问题）如图 18-5-2，甲、乙两地相距 120 千米。一辆汽车从甲地开往乙地，返回时的速度比去时每小时快 20 千米，返回比去时少用 1 小时。求汽车去时的速度。 图 18-5-2 汽车往返示意图 解：设汽车去时的速度为 千米/时，则返回时的速度为 千米/时。 两边同乘 ，得 ， 化简：，即 ， ，解得 ，（舍去）。 检验： 使 ，且符合实际意义。 答：汽车去时的速度是 40 千米/时。 四、课时作业 A 组 基础巩固（每小题 3 分，共 42 分） （一）选择题 1．下列方程中，是分式方程的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．方程 的解是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D．无解 3．解分式方程 时，方程两边同乘最简公分母，去分母后得到的整式方程是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．若关于 的方程 有增根，则 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 5．方程 的解是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．甲队修路 300 米与乙队修路 240 米所用的天数相同，已知甲队每天比乙队多修 10 米。若设乙队每天修 x 米，则可列方程（　　） A．　　　B． C．　　　D． 7．分式方程 的解的情况是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D．无解 8．解方程 ，下列说法正确的是（　　） A．有解 　　　B．无解　　　C．有解 　　　D．有解 （二）填空题 9．方程 的解是 ____________。 10．若关于 的分式方程 的解为 ，则 ____________。 11．方程 的解的情况是 ____________。 12．若关于 的方程 有增根 ，则 ____________。 13．如图 18-5-3，一艘轮船顺水航行 80 千米与逆水航行 60 千米所用时间相同，已知水流速度为 3 千米/时。若设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则所列方程为 ____________________，解得 x = ________。 图 18-5-3 轮船顺水、逆水航行示意图 14．若 （），则 ____________。 （三）解答题 15．（12 分）解下列分式方程： （1）； （2）； （3）； （4）。 16．（6 分）某工程队计划修一条长 3000 米的道路，实际每天比原计划多修 50 米，结果提前 5 天完成。求原计划每天修多少米。 17．（6 分）如图 18-5-2，甲、乙两地相距 120 千米。汽车从甲地到乙地，返回时的速度比去时每小时快 20 千米，返回比去时少用 1 小时。求汽车去时的速度。 18．（6 分）某商店用 3000 元购进一批 A 型商品并很快售完；接着又用 4200 元购进第二批 A 型商品，数量是第一批的 1.2 倍，但每件进价比第一批贵 5 元。求第一批商品每件的进价。 B 组 能力提升（共 40 分） 19．（4 分）若关于 的分式方程 无解，则 的值可能是（　　） A．只有 　　　B． 或 　　　C． 或 　　　D． 或 或 20．（4 分）若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是（　　） A．　　　B． 且 　　　C．　　　D． 21．（4 分）若关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是 ____________。 22．（4 分）若关于 的分式方程 无解，则 ____________。 23．（8 分）解方程：。 24．（8 分）某校组织学生到 20 千米外的科技馆参观。一部分学生骑自行车先出发，40 分钟后其余学生乘汽车出发，结果两批学生同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的 3 倍，求两种交通工具的速度。 25．（12 分）甲、乙两人加工同一种零件。已知甲每小时比乙多加工 6 个，甲加工 90 个所用的时间与乙加工 60 个所用的时间相同。 （1）求甲、乙两人每小时各加工多少个零件； （2）现在要加工 900 个这样的零件，若两人合作，需要多少小时完成？ （3）若甲先单独加工 10 小时后，乙再加入一起加工，还需要多少小时完成这 900 个零件？ C 组 拓展探究（共 18 分） 26．（8 分）阅读下面的解法并完成后面的问题： 解方程 。两边同乘 ，得 ，即 ， 分解因式得 ，解得 ，，经检验都是原方程的解。 请仿照上面的方法解方程：。 27．（10 分）已知关于 的分式方程 。 （1）当 时，判断该方程是否有解，并说明理由； （2）若该方程无解，求 的值。 D 组 易错诊断（共 8 分） 下面是四位同学的解答，请判断是否正确。若不正确，请指出错在哪里并写出正确结果。 28．小明解方程 ：两边同乘 ，得 ，解得 ，所以方程的解是 。 29．小红解方程 ：两边同乘 ，得 ，解得 ，所以方程的解是 。 30．小刚解方程 ：两边同乘 ，得 ，解得 。 31．小丽认为：只要分式方程去分母后得到的整式方程有解，原分式方程就一定有解。 五、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1．B。【解析】判断的唯一标准是分母中是否含未知数。A、C 两项的分母是常数 2、3，D 项分母 是常数，都是整式方程；只有 B 项的分母是 。 2．B。【解析】两边同乘 ，得 ，即 ，。检验：，故 是原方程的解。 3．A。【解析】最简公分母为 。两边同乘 ：左边 ，右边 ，故整式方程为 。 4．A。【解析】最简公分母为 ，增根为 。原方程可化为 ，去分母得 。把 代入得 ，即 。 5．B。【解析】两边同乘 ，得 ，即 ，。检验：，成立。 6．B。【解析】乙队每天修 米，则甲队每天修 米。甲队用时 天，乙队用时 天，两者相等。 7．D。【解析】两边同乘 ，得 ， 即 ，化简得 ，。检验： 使 ，是增根，故原方程无解。 8．B。【解析】见例 2。去分母得 ，而 是增根，故原方程无解。 二、填空题 9．。【解析】两边同乘 ，得 ，即 ，。检验：。 10．。【解析】把 代入原方程：，即 ，得 ，。 11．无解。【解析】两边同乘 ，得 ，但 使 ，是增根，应舍去，故原方程无解。 12．。【解析】两边同乘 ，得 。把增根 代入，得 ，所以 。 13．；。【解析】顺水速度为 千米/时，逆水速度为 千米/时，两段用时相同。去分母得 ，即 ，，。检验： 时 ，且静水速度大于水速，符合实际。 14．。【解析】由 得 ，所以 。 三、解答题 15．【解析】 （1）两边同乘 ，得 ， 即 ，解得 。检验：，所以 是原方程的解。 （2），最简公分母为 。 两边同乘 ，得 ， 即 ，解得 。检验：，所以 是原方程的解。 （3），，最简公分母为 。 两边同乘 ，得 ， 即 ，，解得 。 检验： 时，，所以是原方程的解。 （4）见例 3，去分母得 ，是增根，原方程无解。 阅卷提示 第（2）小题中 3x − 3 要先分解成 3(x − 1)，才能看出最简公分母是 3(x − 1) 而不是 3(x − 1)(x − 1)。分母能分解因式的一定要先分解。 16．【解析】 设原计划每天修 米，则实际每天修 米，由题意得 两边同乘 ，得 ， 化简得 ，即 ， 解得 ，。 检验： 使 ，且符合实际； 不合实际，舍去。 答：原计划每天修 150 米。 17．【解析】 设去时速度为 千米/时，则返回速度为 千米/时，由题意得 去分母整理得 ，即 ， 解得 ，（不合实际，舍去）。经检验 是原方程的解。 答：汽车去时的速度是 40 千米/时。 18．【解析】 设第一批商品每件进价为 元，则第一批购进 件，第二批购进 件。 由"第二批数量是第一批的 1.2 倍"得 即 ，两边同乘 ，得 ， ，，解得 。 检验： 使 ，符合实际。此时第一批 100 件，第二批 件，恰为 1.2 倍。 答：第一批商品每件的进价是 30 元。 B 组 能力提升 19．D。【解析】两边同乘 ，得 ， 整理得 。分三种情况： ① 若 ，即 ，则方程变为 ，整式方程无解； ② 若 ，则 。当它等于增根 2 时，，得 ； ③ 当它等于增根 时，，得 。 综上， 或 或 。 20．B。【解析】去分母得 ，即 ，。 由解为正数得 ，即 ；又要求 ，即 ，得 。 21． 且 。【解析】去分母得 ，即 。由 得 ；由 得 ，即 。 22．。【解析】，两边同乘 ，得 ，即 。 该整式方程总有解，因此原方程无解只能是出现增根，即 ，故 ，。 23．【解析】 ，最简公分母为 。 两边同乘 ，得 ， 即 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是原方程的解。 24．【解析】 设自行车的速度为 千米/时，则汽车的速度为 千米/时。40 分钟 小时。 由"骑车用时比乘车用时多 小时"得 两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。 检验： 时 ，且符合实际意义。 答：自行车的速度是 20 千米/时，汽车的速度是 60 千米/时。 25．【解析】 （1）设乙每小时加工 个，则甲每小时加工 个，由题意得 两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。 检验： 时 ，符合实际。故乙每小时加工 12 个，甲每小时加工 18 个。 （2）两人合作每小时加工 （个），所需时间为 （小时）。 （3）甲先做 10 小时完成 （个），剩余 （个）。 设还需 小时，则 ，解得 。 答：还需要 24 小时完成。 C 组 拓展探究 26．【解析】 两边同乘 ，得 ，即 ， 分解因式得 ，解得 ，。 检验： 和 都使 ，所以都是原方程的解。 方法点拨 去分母后如果得到二次的整式方程，可以用因式分解法求解。注意这类方程可能有两个解，检验时要逐个代入最简公分母。 27．【解析】 最简公分母为 。两边同乘，得 ，整理得 ，即 。 （1）当 时，，解得 。但 使 ，是增根， 所以当 时原方程无解。 （2）方程无解分两种情况： ① 整式方程无解： 且 ，得 ； ② 整式方程的解是增根：。 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，即 ，得 ，不成立，舍去。 综上， 或 。 易错警示 讨论含参分式方程无解时，两种情形缺一不可：既要考虑整式方程本身无解，也要考虑它的解恰好是增根。而增根有几个，就要逐个代入检验。 D 组 易错诊断 28．基本正确，但不完整。【错因】漏掉了检验这一必要步骤。 补充：检验时 使 ，所以 是原方程的解。结论正确，但书写必须包含检验过程。 29．不正确。【错因】求出 后没有检验。 使 ，是增根。 正确结论：原方程无解。 30．不正确。【错因】方程两边同乘 时，常数项 3 也必须乘以 ，不能只乘含分母的项。 正确解法：两边同乘 ，得 ，即 ，，解得 。 检验： 时 ，所以 是原方程的解。 31．不正确。【错因】整式方程的解有可能是增根。例如第 29 题中整式方程有解 ，但它使最简公分母为 0，原分式方程仍然无解。 正确说法：整式方程的解只有在使最简公分母不为 0 时，才是原分式方程的解。 六、学习反思 自我评价项目 完全掌握 基本掌握 需再练习 能正确识别分式方程 □ □ □ 去分母时不漏乘不含分母的项 □ □ □ 每次解完都能自觉写出检验过程 □ □ □ 理解增根产生的原因，会求含参数的值 □ □ □ 能列分式方程解决实际问题并检验实际意义 □ □ □ 本节课我的错题记录（题号）： 我还没有弄懂的问题： 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $