18.5分式方程 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册（六大题型）

本讲义聚焦人教版八年级上册“18.5分式方程”核心知识点，构建“概念—解法—应用”学习支架。先明确分式方程“分母含未知数”的概念，再梳理解法步骤（去分母乘最简公分母转化整式方程，解后验最简公分母是否为0），最后延伸至列分式方程解应用题（审设列解验答六步），形成完整知识链。 该资料以六大题型突破为特色，覆盖判断方程、求解、根据解求值、增根/无解分析、抽象方程、应用题，培养学生抽象能力（如判断分式方程）、推理意识（增根问题求参数）和模型意识（如5G与4G下载速度应用题建模）。课中辅助教师系统教学，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识应用。

18.5分式方程知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（六大题型） 知识归纳： 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 知识点02 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 2. 解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 ，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 ，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 知识点03 列分式方程解应用题 2. 列分式方程解应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 题型突破： 题型一：判断分式方程 1.下列关于x的方程是分式方程的是(   ) A．; B．; C．; D． 2．下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 4.有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 5.下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 题型二：解分式方程 1．解下列分式方程： (1)；(2)． 2．解分式方程 (1)；(2)． 3．解分式方程： (1)(2) 4．解方程： (1)＝；(2)． 5．解分式方程： (1)；(2)． 题型三：根据分式方程的解求值或范围 1.若关于的方程的解为，则等于（    ） A． B． C． D． 2.已知关于的方程的增根是，则字母a的值为（    ） A． B． C． D． 3.若关于x的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4.若是关于的方程的解，则的值为________． 5．若关于的分式方程有增根，则这个增根是 ． 题型四：根据分式方程的增根或无解求未知字母 1.若关于的方程无解，则的值为（  ） A．3 B．6或10 C．10 D．6 2.已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A．1或 B．1或3 C． D．1 3.关于x的分式方程有解，则满足 ． 4.如果方程有增根，则k是 _______________． 5.用去分母的方法解关于的分式方程时会产生增根，则的值是__________． 题型五：由实际问题抽象出分式方程 1．遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（　　） A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=20 D．+=20 2．张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（　　） A．= B．= C．= D．= 3．某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程　　． 4．制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x个零件，则可列方程为　　． 5． A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　　． 题型六：列分式方程解应用题 1.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？ 2.某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？ 3.小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院． （1）求两人的速度． （2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min. 4.已知两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时． (1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 5.飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍． (1)求一个海绵飞盘的进价是多少元； (2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.5分式方程知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（六大题型） 知识归纳： 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 知识点02 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 最简公分母 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 2. 解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入 最简公分母 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 增根 ，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 知识点03 列分式方程解应用题 2. 列分式方程解应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 等量关系 。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 题型突破： 题型一：判断分式方程 1.下列关于x的方程是分式方程的是(   ) A．; B．; C．; D． 【答案】D 2．下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 4.有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 5.下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 题型二：解分式方程 1．解下列分式方程： (1)；(2)． 【答案】(1)无解(2)x＝1 解：方程两边都乘得， ， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，＝0， ∴x＝2是增根，原方程无解； （2） 解：方程两边都乘得， ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 2．解分式方程 (1)；(2)． 【答案】(1)(2)无解 （1） 解： 方程两边乘，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2） 解： 方程两边乘，得：， 解得：， 检验，当时，，因此不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 3．解分式方程： (1)(2) 【答案】(1)无解(2) （2）将分式方程化成整式方程，求解后，需要检验根． （1） 解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． （2） 解： ， 检验：当时，， 是原方程的根； 4．解方程： (1)＝；(2)． 【答案】(1)原分式方程无解；(2)． 【详解】（1）去分母得：， 整理，得， ∵， ∴此方程无解， 则原分式方程无解； （2）去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 5．解分式方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2)无解 （1） 解： 去分母得：， 解得：， 当时，， 所以原方程的解为； （2） ， 去分母得：， 解得：， 当时，， 所以是增根， 所以原方程无解． 题型三：根据分式方程的解求值或范围 1.若关于的方程的解为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.已知关于的方程的增根是，则字母a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.若关于x的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 4.若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】 5．若关于的分式方程有增根，则这个增根是 ． 【答案】 题型四：根据分式方程的增根或无解求未知字母 1.若关于的方程无解，则的值为（  ） A．3 B．6或10 C．10 D．6 【答案】B 2.已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A．1或 B．1或3 C． D．1 【答案】A 3.关于x的分式方程有解，则满足 ． 【答案】且 4.如果方程有增根，则k是 _______________． 【答案】5 5.用去分母的方法解关于的分式方程时会产生增根，则的值是__________． 【答案】1 题型五：由实际问题抽象出分式方程 1．遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（　　） A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=20 D．+=20 【答案】A． 2．张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（　　） A．= B．= C．= D．= 【答案】B． 3．某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程　　． 【答案】﹣=15． 4．制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x个零件，则可列方程为　　． 【答案】=． 5． A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　　． 【答案】﹣=． 题型六：列分式方程解应用题 1.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？ 【答案】60兆 【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆 由题意得： 解得：x=4， 经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意， 15×4=60， 答：该地5G的下载速度是每秒60兆． 2.某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？ 【答案】应该先安排2名工人工作． 【详解】解：设应该先安排x名工人工作， 由题意得： 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴应该先安排2名工人工作， 答：应该先安排2名工人工作． 3.小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院． （1）求两人的速度． （2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min. 【答案】（1）小丽和小颖的速度分别为50 m/min和75 m/min；（2）6.25. 【详解】解：（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min,根据题意，得: 解得：x=25 经检验x=25是原分式方程的解， 则2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）                          答：小丽和小颖的速度分别为50m/min和75m/min    （2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，得： 解得： 经检验是原分式方程的解 答：小丽速度需要提高6.25 m/min. 故答案为6.25 4.已知两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时． (1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)轮船在静水中的航行速度为25千米/时 (2)，理由见解析 （1） 解：设轮船在静水中的航行速度为， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时； 故有 解得 经检验得是原方程的解 ∴该轮船在静水中的航行速度为千米/时． （2） 解：设船在静水中的航行速度为千米/时 由题意知 ． 5.飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍． (1)求一个海绵飞盘的进价是多少元； (2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？ 【答案】(1)50元，；(2)11. （1） 解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元， 由题意得：， 解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， 答：一个海绵飞盘的进价为50元； （2） 设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买个海绵飞盘， 由题意得： 解得： ∵a是整数， ∴a最大值为11， 答：此次最多可购买11个橡胶飞盘． 学科网（北京）股份有限公司 $