27.1 二次函数的概念 同步练习 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念，通过基础辨析、中档运算到综合建模的三层设计，实现从概念理解到应用迁移的巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、概念辨析|选择题1-4直接考查定义，如函数类型判断，夯实抽象能力| |中档层|表达式转化、系数计算|填空题7-9涉及一般形式转化，如(3x-2)(x+3)展开，强化运算能力| |综合层|实际问题建模、几何应用|简答题20-24结合矩形面积、增长率问题，如栅栏围绿化带建模，发展模型意识|

沪教版2026-2027学年九年级数学上册练习卷 （考查范围：27.1二次函数的概念） 1． 选择题 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2.正方形的面积和边长的函数关系是（     ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 3.下列函数关系中，是二次函数的是（     ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 4.若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 5.某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 6.在△ABC中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 二．填空题 7.把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 8．在二次函数中，二次项系数a= ，一次项系数b= ，常数项c= . 9.已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________ 10.某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 11.二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为 12.关于x的函数是二次函数的条件是 13.王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式为 ． 14.如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 15.如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式 16.如果是二次函数，乐乐求出k的值为3，欢欢求出k的值为－1，他们俩中求得结果正确的是 ． 17．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 三．简答题 18．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 19.某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），求该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式． 20.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².求y与x之间的函数关系式是并写出自变量x的取值范围. 21．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 22.原来公园有一个半径为 1 m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为y m 2 . (1)写出y与x的函数关系式； (2)当半径增大到多少时面积增大1倍； (3)试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍. 23．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，求这个函数的表达式． 24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E. （1）当点D为AC边的中点时，求BE的长； （2）当PD=PE时，求AP的长； （3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围. 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 1 学科网（北京）股份有限公司 沪教版2026-2027学年九年级数学上册练习卷（参考答案） （考查范围：27.1二次函数的概念） 2． 选择题 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可，注意两项化简完后再判断． 解：A、是一次函数，不符合题意； B、中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意； C、可化为是一次函数，不符合题意； D、可化为，是二次函数，符合题意． 故选：D． 2.正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 答案：D 分析：根据正方形的面积公式判断函数类型即可． 本题考查了正方形的面积，函数的判定，熟练掌握函数的特点是解题的关键． 解：根据题意，得正方形的面积公式为，其中是面积，是边长，是二次函数， 故A，B，C都错误，D正确， 故选：D． 3.下列函数关系中，是二次函数的是（    ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 答案：D 分析：本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． A．根据题意得到工作效率和工作时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． B．根据题意得到汽车行驶的距离与时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． C．根据题意得到长方形的长与宽之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． D．根据题意得到圆的面积与半径之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． 解：A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． D．圆的面积与半径之间的关系为，它是二次函数，故此符合题意． 故选：D． 4.若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 答案：C 分析：利用二次函数定义可得，且，再解即可． 解：由题意得：，且， 解得：或且， 故， 故选：C． 5.某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 6.在△ABC中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 二．填空题 7.把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 答案：1 分析：先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 8．在二次函数中，二次项系数a= ，一次项系数b= ，常数项c= . 答案： 3 -2 1 分析：二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)其特征是等式右边是含一个自变量的二次三项式,左边是因变量y.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项.将题中 已知的二次函数利用各种运算法则,先化成y=ax2+bx+c的形式,从而确 定二次项系数,一次项系数和常数项 解：将变形得到，故可得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=1. 9.已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________ 答案：且 分析：根据二次函数的定义，即可得不等式，解不等式即可求得． 解：函数是二次函数， ， 解得， 故答案为：且． 10.某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 答案： 分析：本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 解：由题意得， ， 故答案为：． 11.二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为 分析：先把二次函数化成一般形式，再根据二次项系数与一次项系数的和为，差为列出方程组解出的值，即可求出常数项 解：二次函数可整理为： 由题意 解得： 所以常数项 12.关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案； 解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故选A． 13.王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式为 ． 答案： 分析：利用单价利润总销售量=总利润. 解：. . 14.如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 答案： 分析：由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 解：由题意可得： ． 故答案为：． 15.如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式． 答案：s=﹣x2+15x（0＜x＜60） 分析：作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE=AB=x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式． 解：作AE⊥BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°， 则AE=AB=x， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AD+BC=60-AB-CD=60-2x， ∴S=（AD+BC）×AE=（60-2x）×x=-x2+15x（0＜x＜60）． 16.如果是二次函数，乐乐求出k的值为3，欢欢求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 答案：欢欢 分析：本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故欢欢正确． 17．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 答案： 分析：此题考查了二次函数的一般形式，根据新定义得到关于m、n的方程组，解方程组得到m、n的值，代入代数式求值． 解：∵函数与互为旋转函数， ， 解得， ∴， 故答案为： 三．简答题 18．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 分析：本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． （1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； 19.某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），求该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式． 分析：首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可． 解：由题意得：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2＝200x2+600x+600（x＞0）， 故答案为：y＝200x2+600x+600（x＞0）． 20.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².求y与x之间的函数关系式是并写出自变量x的取值范围是 分析：根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围． 解：由题意得： y＝x•＝−x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25． 故答案是：y＝−x2+20x， 0＜x≤25 21．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 分析：（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 解：（1） ； （2）． 22.原来公园有一个半径为 1 m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为y m 2 . (1)写出y与x的函数关系式； (2)当半径增大到多少时面积增大1倍； (3)试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍. 解：分析：（1）利用圆的面积公式分别表示出原来苗圃的面积以及扩大后苗圃的面积，差即为增加的面积，由此即可得函数关系式； （2）面积增大1倍即差与原面积相等，列方程进行求解即可； （3）根据题意列方程进行求解，即可得. 试题解析：（1）y=πx2-π×12=πx2-π； （2）由题意得：πx2-π=π，解得：x=； （3）面积是原来的3倍时，πx2-π=2π，解得：x=， 面积是原来的4倍时，πx2-π=3π，解得：x=2=， 面积是原来的5倍时，πx2-π=4π，解得：x=， …… 面积是原来的n倍时，半径是. 23．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，求这个函数的表达式． 分析：此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边△ABC的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E. （1）当点D为AC边的中点时，求BE的长； （2）当PD=PE时，求AP的长； （3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围. 分析： （1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长； （2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可. （3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出. 解： （1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4， ∵点D为AC边的中点 , ∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D， ∴∠EPB=30°，∴EB （2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出： AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：， ∵PD=PE，∴解得 即有AP= （3）由（2）知：AP= ， 学科网（北京）股份有限公司5 学科网（北京）股份有限公司 $