18.4 整数指数幂 课时作业 2026-2027学年人教版数学 八年级 上册

**基本信息** 初中数学人教版八年级上册《分式》“整数指数幂”同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展应用”分层设计，通过梯度化题型覆盖零指数幂、负整数指数幂等核心知识点，强化运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|零指数幂、负整数指数幂概念及基本运算|选择填空结合基础计算，强化符号意识| |B组|整数指数幂运算性质综合应用|混合运算与科学记数法，提升运算能力| |C/E组|跨知识点综合与实际问题|证明题与纳米技术情境，发展推理意识与模型意识|

人教版八年级上册 18.4 整数指数幂 课时作业 18.4 整数指数幂 人教版八年级上册 第十八章《分式》 课时作业（含答案与解析） 班级：____________ 姓名：____________ 完成时间：45 分钟 满分：100 分 一、学习目标 1．理解零指数幂与负整数指数幂的意义，掌握它们的计算方法。 2．知道正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幂，并能熟练运用。 3．会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，并能进行简单的科学记数法运算。 4．能把含负整数指数幂的式子化为只含正整数指数幂的形式。 二、知识梳理 知识点 1 零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即 （）。 易错提醒 底数不能为 0！ 没有意义。因此遇到 这样的式子，必须附加条件 。 知识点 2 负整数指数幂 当 是正整数时，（）。也就是说， 是 的倒数。 算 式 计算过程 结 果 对比辨析 ，而 。区别在于负号是否在括号内：前者底数是 ，后者底数是 ，负号写在整个幂的前面。 知识点 3 整数指数幂的运算性质 引入负整数指数幂后，原来对正整数指数成立的五条运算性质，对一切整数指数 ， 都仍然成立（，）： 图 18-4-1 整数指数幂知识结构 知识点 4 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 绝对值小于 1 的正数可以表示成 的形式，其中 ， 是正整数。 确定 的方法： 等于原数中第一个非零数字前面所有 0 的个数（包括小数点前的那个 0）。 原 数 第一个非零数字前 0 的个数 科学记数法 0.001 3 0.000 25 4 0.000 000 105 7 −0.000 03 5 方法归纳 比较两个用科学记数法表示的正数的大小：先比较 10 的指数，指数大的数就大；指数相同时再比较 的大小。 三、典例精析 【例 1】（基本计算）计算：（1）；（2）；（3）。 解：（1）； （2）； （3）。 点评：负整数指数幂的结果符号由底数的符号和指数的奇偶性共同决定，不要一看到负号就写负数。 【例 2】（混合运算）计算：。 解：原式 。 点评：，所以 ，零指数幂有意义。 【例 3】（化为正整数指数幂）计算：，结果化为只含正整数指数幂的形式。 解：原式 。 点评：同底数幂相除，指数相减；减去一个负数等于加上它的相反数，这一步最容易出错。 【例 4】（幂的乘方与积的乘方）计算：。 解：原式 。 【例 5】（科学记数法运算）计算：，并写出计算结果。 解：原式 。 【例 6】（科学记数法的实际应用）某种病毒的直径约为 100 纳米，1 纳米 = 10⁻⁹ 米；人体红细胞的直径约为 0.000 007 7 米。 图 18-4-2 几种微观物体的尺度 （1）用科学记数法表示该病毒的直径（单位：米）； （2）红细胞的直径是该病毒直径的多少倍？ 解：（1） 纳米 米 米 米。 （2）， 。 答：红细胞的直径约是该病毒直径的 77 倍。 四、课时作业 A 组 基础巩固（每小题 3 分，共 42 分） （一）选择题 1．计算 的结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．下列计算正确的是（　　） A．　　　B． C．　　　D．（） 3．若 成立，则 应满足（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 为任意实数 4．用科学记数法表示 0.000 002 05，结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 5．计算 的结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．计算 的结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．若 ，则 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． （二）填空题 9．计算： ____________； ____________。 10．计算： ____________。 11．用科学记数法表示：0.000 000 1 = ____________。 12．计算： ____________（结果只含正整数指数幂）。 13．若 有意义，则 应满足 ____________。 14．计算： ____________。 （三）解答题 15．（12 分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）。 16．（8 分）计算，并把结果化为只含正整数指数幂的形式： （1）； （2）（）。 17．（6 分）已知 ，，求下列各式的值： （1）；　　（2）。 18．（6 分）目前先进芯片的制程约为 5 纳米（1 纳米 = 10⁻⁹ 米），一根头发的直径约为 7×10⁻⁵ 米。 （1）用科学记数法表示 5 纳米（单位：米）； （2）一根头发的直径大约是该制程的多少倍？ B 组 能力提升（共 40 分） 19．（4 分）若式子 有意义，则 的取值范围是（　　） A．　　　B．　　　C． 且 　　　D． 为任意实数 20．（4 分）设 ，，，则（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 21．（4 分）若 ，则整数 的值为 ____________。 22．（4 分）计算： ____________。 23．（4 分）若 ，则 ____________。 24．（8 分）先化简 ，再把 ， 代入求值。 25．（6 分）阅读下面的推理过程并完成填空： 当 ， 都是正整数且 时，。 这说明同底数幂相除的性质 在 时 ____________（填"仍然成立"或"不再成立"）。 请仿照上面的过程，说明当 为正整数时，。 26．（10 分）2024 年我国科学家在量子芯片领域取得重要进展。已知某量子点的直径约为 0.000 000 012 米，某种蛋白质分子的直径约为 6×10⁻⁹ 米。 （1）用科学记数法表示该量子点的直径； （2）比较量子点与蛋白质分子直径的大小； （3）若把 1 000 个这样的量子点紧密排成一行，总长度是多少米？（用科学记数法表示） C 组 拓展探究（共 18 分） 27．（8 分）已知 ，，。求证：。 28．（10 分）计算：（ 且 ），并说明结果与 的取值是否有关。 D 组 易错诊断（共 8 分） 下面是四位同学的解答，请判断是否正确。若不正确，请指出错在哪里并写出正确结果。 29．小明：。 30．小红：。 31．小刚：。 32．小丽：。 33．（附加）计算：。 34．（附加）已知 ，求 的值。 E 组 综合运用（共 10 分） 35．（10 分）纳米技术在医药领域应用广泛。已知某种纳米药物颗粒的直径约为 80 纳米（1 纳米 = 10⁻⁹ 米），某种细菌的直径约为 2×10⁻⁶ 米。 （1）用科学记数法表示该纳米药物颗粒的直径（单位：米）； （2）该细菌的直径是纳米药物颗粒直径的多少倍？ （3）若把 5×10⁴ 个这样的纳米药物颗粒排成一条直线，总长度是多少米？（结果用科学记数法表示） 五、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1．D。【解析】。底数为负、指数为奇数，结果为负。 2．D。【解析】A 项 （），不是 0；B 项漏掉条件 ；C 项 ，是正数的倒数关系，不是相反数；D 项 ，正确。 3．B。【解析】零指数幂要求底数不为 0，即 ，所以 。 4．B。【解析】第一个非零数字 2 前面共有 6 个 0（含小数点前的 0），故 。C 项虽然数值相等，但 不满足 ，不符合科学记数法的规定。 5．A。【解析】原式 。 6．A。【解析】，，，故 。 7．A。【解析】原式 。 8．B。【解析】，故 。 二、填空题 9．；。【解析】 的底数是 ，平方后为正； 的底数是 3，负号在幂的外面。 10．。【解析】。底数是分数时，取倒数后把指数变为正数最简便。 11．。【解析】第一个非零数字 1 前面有 7 个 0。 12．。【解析】原式 。注意系数 2 也要参与乘方。 13．。【解析】，分母不能为 0。 14．。【解析】，（因 ），故原式 。 三、解答题 15．【解析】 （1）原式 。 （2）原式 。 （3）分子 ，分母 ， 原式 。 （4）先化简括号内：， 原式 。 16．【解析】 （1）原式 。 （2）原式 。 阅卷提示 第（1）小题中 ，系数 3 必须一起取 次方变成 ，漏掉系数是常见失分点。 17．【解析】 （1）。 （2）。 18．【解析】 （1） 纳米 米。 （2）。 答：一根头发的直径大约是该制程的 1.4×10⁴ 倍，即 14 000 倍。 B 组 能力提升 19．C。【解析】零指数幂要求 ，即 ；负整数指数幂要求 ，即 。两个条件必须同时满足。 20．A。【解析】，，，故 。 21．，，。【解析】幂等于 1 有三种情形： ① 底数为 1：，得 ； ② 底数为 且指数为偶数： 得 ，此时指数 是偶数，成立； ③ 指数为 0 且底数不为 0： 得 ，此时底数 ，成立。 22．。【解析】原式 。 23．。【解析】，故 ，。 24．【解析】 括号内 ， ， 原式 。 当 ， 时，原式 。 25．【解析】 第一空填"仍然成立"。 推理：（），而按性质 ，两者一致，所以性质成立。 点评：这正是把正整数指数幂的性质推广到整数指数幂的基本思路——先按分式的意义算出结果，再验证与性质给出的结果相同。 26．【解析】 （1）（米）。 （2），所以量子点的直径大于蛋白质分子的直径。 （3）（米）。 C 组 拓展探究 27．【解析】 因为 ，，所以 ，即 。 又因为 ，所以 ，即 。 于是 ，底数相同，故 。 方法点拨 遇到指数式条件，通常把要证的等式转化为"同底数幂相等"，再利用指数相等得出结论。 28．【解析】 因为 ，所以 ， 于是 ， 原式 。 所以计算结果恒等于 1，与 的取值无关（只要 且 ）。 D 组 易错诊断 29．不正确。【错因】误把括号内的负号"丢"了一半。 的底数是 ，指数 表示取 的倒数。 正确结果：。 30．不正确。【错因】把负指数误解成了"相反数"。负整数指数幂表示的是倒数，不是相反数。 正确结果：（）。 31．不正确。【错因】数错了 0 的个数。 中第一个非零数字 3 的前面共有 5 个 0。 正确结果：。 32．不正确。【错因】同底数幂相除时指数是相减，减去 应当变成加 2。 正确结果：。 33．【解析】；；。 原式 。 34．【解析】，所以条件即 。 两边平方得 ，所以 。 点评：把负整数指数幂改写成分式，就把指数问题转化成了熟悉的分式恒等变形问题。 E 组 综合运用 35．【解析】 （1） 纳米 米 米 米。 （2）。 即该细菌的直径是纳米药物颗粒直径的 25 倍。 （3）（米）。 答：总长度为 米，即 4 毫米。 阅卷提示 科学记数法的结果必须满足 。第（3）问算到 还没结束，要继续化为 。 六、学习反思 自我评价项目 完全掌握 基本掌握 需再练习 能正确区分 (−a)⁻ⁿ、−a⁻ⁿ 与 a⁻ⁿ □ □ □ 知道零指数幂与负指数幂的底数不能为 0 □ □ □ 能把结果化为只含正整数指数幂的形式 □ □ □ 能用科学记数法表示较小的数并比较大小 □ □ □ 能用整数指数幂解决实际问题 □ □ □ 本节课我的错题记录（题号）： 我还没有弄懂的问题： 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $