四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学试题

**基本信息** 渠县二中九年级开学自测数学卷，A、B卷分层设计，融合扎染工艺等文化情境与几何代数综合题，考查空间观念、推理意识及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|图形性质、方程概念|如3题菱形面积计算，结合对角线性质| |填空题|10/40|因式分解、旋转性质|13题菱形中点问题，考查中位线与最值| |解答题|8/78|方程应用、几何证明|17题菱形证明结合勾股定理；24题扎染利润问题，体现应用意识|

渠县第二中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．2（x﹣x2）﹣1＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D． 3．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则该菱形ABCD的面积是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．﹣2a＜﹣2b D．﹣1+3a＜﹣1+3b 5．如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 6．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（　　） A．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 B．当∠BAO＝∠DAO时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形 D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形 7．如图，在▱ABCD中，AC＝10，BC＝4，AD⊥BD，则AB的长为（　　） A． B． C．8 D． 8．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　　） A．95° B．100° C．110° D．145° 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：2a2﹣8＝　　 ． 10．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根，则m＝　　 ． 11．若分式的值为0，则x的值是_______. 12．如图，在正五边形ABCDE，以AB为一边，在内部作正方形ABMN，则∠EAN＝　　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边CD，BC上的动点，连接AM，MN，P，Q分别为AM，MN的中点，连接PQ．若∠B＝45°，AB＝4，则PQ的最小值为 　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）解一元二次方程：x2﹣6x+4＝0； （2）解分式方程：． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 16．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨0.1元，其销售量就减少1个．若设这种商品每个涨价x元， （1）用含x的代数式表示：①每个商品的实际利润是_______元，②实际的销售量是_______个； （2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线分别交BD，BC于点O，E． （1）连接DE，求证：四边形ABED为菱形； （2）若BC＝8，CD＝4，求AE的长． 18．在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得线段BE． （1）如图1，若α＝∠ABC，连接AE，求证：∠E+∠ADB＝180°； （2）如图2，若α+∠ABC＝180°，连接CE，作△BCE的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC＝120°，AC＝6，∠DBM＝15°，请直接写出BM的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 20．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是 　　 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　　 ． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则MC长为 　　 ． 23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，D为AB中点，点M在射线AC上运动，直线DM交直线BC于点N，若AC＝4CM，则DN的长为______　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 　　 ；（只填写序号即可） ①（x﹣1）2＝9； ②x2+4x+4＝0； ③（x+4）（x﹣2）＝0． （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（8，0），C（0，6），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段OB的长度是　10　 ； （2）求直线BD所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 渠县第二中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：C． 2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．2（x﹣x2）﹣1＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D． 【解答】解：A、当a＝0，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； B、2（x﹣x2）﹣1＝0是一元二次方程，故此选项正确，符合题意； C、x2﹣y﹣2＝0不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； D、不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则该菱形ABCD的面积是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【解答】解：菱形ABCD的面积AC•BD6×4＝12， 故选：B． 4．如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．﹣2a＜﹣2b D．﹣1+3a＜﹣1+3b 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴选项C符合题意； ∵a＞b， ∴3a＞3b， ∴1+3a＞1+3b， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 5．如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF， ∴AD＝EF＝2cm，AE＝DF， ∵四边形ABFD的周长是19cm， ∴AD+AB+BF+DF＝19cm， ∴AD+AB+BE+EF+DF＝19cm， ∴2cm+AB+BE+2cm+AE＝19cm， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝15cm， 故选：C． 6．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（　　） A．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 B．当∠BAO＝∠DAO时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形 D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形 【解答】解：A．∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故结论正确，但不符合题意； B．∵∠BAO＝∠DAO， ∴∠DAO＝∠ACB， ∴∠BAO＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴四边形ABCD是菱形， 故结论正确，但不符合题意； C．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AOAC，BOBD， 又∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故结论正确，但不符合题意； D．当AB＝AC时，四边形ABCD不一定是菱形， 故结论错误，符合题意． 故选：D． 7．如图，在▱ABCD中，AC＝10，BC＝4，AD⊥BD，则AB的长为（　　） A． B． C．8 D． 【解答】解：设BD与AC交于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BC＝4， ∴DF＝BF，AF＝CFAC＝5，AD＝BC＝4， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴DF3， ∴BD＝2DF＝6， ∴AB2， 故选：A． 8．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　　） A．95° B．100° C．110° D．145° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB＝35°， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠PBF＝∠ADB＝35°， ∵点P是EF的中点， ∴PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线， ∴PB＝PF＝PE， ∴∠PFB＝∠PBF＝35°， 在△PBF中，∠BPF＝180°﹣（∠PFB+∠PBF）＝110°， ∴∠DPE＝∠BPF＝110°． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　 ． 【解答】解：2a2﹣8 ＝2（a2﹣4） ＝2（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2（a+2）（a﹣2）． 10．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根，则m＝　﹣1　 ． 【解答】解：把x＝2代入x2﹣mx﹣6＝0中， ∴22﹣2m﹣6＝0， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 11．若分式的值为0，则x的值是___-3_____. 【解答】解：根据题意，得 x2﹣9＝0且x﹣3≠0， 解得，x＝﹣3； 故答案为：-3． 12．如图，在正五边形ABCDE，以AB为一边，在内部作正方形ABMN，则∠EAN＝　18°　 ． 【解答】解：根据题意可知，，， ∴∠EAN＝∠EAB﹣∠NAB＝108°﹣90°＝18°． 故答案为：18°． 13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边CD，BC上的动点，连接AM，MN，P，Q分别为AM，MN的中点，连接PQ．若∠B＝45°，AB＝4，则PQ的最小值为 　　 ． 【解答】解：连接AN， ∵P，Q分别为AM，MN的中点， ∴PQ是△MAN的中位线， ∴PQAN， 当AN⊥BC时，AN最小，此时PQ最小， ∵∠B＝45°， ∴此时△ABN是等腰直角三角形， ∴ANAB4＝2， ∴AN的最小值是2， ∴PQ的最小值为2． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）解一元二次方程：x2﹣6x+4＝0； （2）解分式方程：． 【解答】解：（1）移项得：x2﹣6x＝﹣4， 配方得：， （x﹣3）2＝5， ， ∴； （2）2， 去分母，方程两边同时乘以（x﹣3）得： 1＝2（x﹣3）﹣x， 1＝2x﹣6﹣x， x＝7， 检验：将x＝7代入x﹣3得到，7﹣3＝4≠0， 所以x＝7是原方程的根． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）设方程的两个根为a，b， 则：a+b＝m+5，ab＝3m+6， 由题意可得：a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 解得：m＝2或m＝﹣6， 当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去． ∴m＝2． 16．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨0.1元，其销售量就减少1个．若设这种商品每个涨价x元， （1）用含x的代数式表示：①每个商品的实际利润是　（10+x）元，②实际的销售量是（500﹣10x）　 个； （2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）①每个商品的实际利润是（10+x）元， ②实际的销售量是 （500﹣10x） 个； （2）依题意得：（10+x）（500﹣10x）＝8000， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30， 又尽量兼顾顾客的利益， ∴x＝10 ∴50+10＝60（元）． 答：售价应定为60元． 故答案为：（10+x）；（500﹣10x）． 17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线分别交BD，BC于点O，E． （1）连接DE，求证：四边形ABED为菱形； （2）若BC＝8，CD＝4，求AE的长． 【解答】（1）证明：如图， ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴OB＝OD， ∵AD∥BC， ∴∠OBE＝∠ODA， 在△OBE和△ODA中， ， ∴△OBE≌△ODA（ASA）， ∴OE＝OA， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED为菱形； （2）解：∵∠C＝90°， ∴BD4， ∴OB＝OD＝2， ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD， 由（1）可知，OE＝OA，四边形ABED为菱形， ∴BE＝DE， 设BE＝DE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2＝DE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴BE＝5， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：OE， ∴AE＝2OE＝2， 即AE的长为2． 18．在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得线段BE． （1）如图1，若α＝∠ABC，连接AE，求证：∠E+∠ADB＝180°； （2）如图2，若α+∠ABC＝180°，连接CE，作△BCE的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC＝120°，AC＝6，∠DBM＝15°，请直接写出BM的长． 【解答】（1）证明：将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， 又∵α＝∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠DBE﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠E＝∠BDC， 又∵∠BDC+∠ADB＝180°， ∴∠E+∠ADB＝180°． （2）， 理由如下； 如图，延长CB使BF＝CB． ∵BM是△BCE的中线， ∴CM＝ME， ∴BM是△CEF的中位线， ∴， ∵将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， ∵α+∠ABC＝180°，即∠DBE+∠ABC＝180°， 又∵∠ABF+∠ABC＝180°， ∴∠ABF＝∠DBE， ∴∠ABF﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠FBE＝∠ABD， ∵CB＝FB，CB＝AB， ∴FB＝AB， 在△FBE和△ABD中， ， ∴△FBE≌△ABD（SAS）， ∴FE＝AD， ∴； （3）情况一：设AB与FE的交点为G，过B点作BH⊥AC于H点． ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴， 又∵AC＝6，BH⊥AC， ∴AH＝CH＝3，． 设BH＝x．则AB＝2x，则（2x）2﹣x2＝32，解得， ∴， ∵BF＝BA， ∴， 若∠ABC＝120°， ∴∠ABF＝60°，由（2）知△FBE≌△ABD， ∴∠BFE＝∠BAD＝30°， ∴∠FGB＝90°，∠BGE＝90°， ∴BG，FG， ∵∠DBE＝α，α+∠ABC＝180°， ∴∠DBE＝60°， ∵∠DBM＝15°，∠EBM＝60°﹣15°＝45°， ∵BM∥FE， ∴∠MBC＝∠F＝30°， ∴∠ABM＝∠ABC﹣∠MBC＝90°， ∴∠GBE＝∠ABM﹣∠EBM＝45°， ∴∠GEB＝90°﹣∠GBE＝45°，，， 由（2）知． 情况二：当BM在BD右侧时，如图，过点E作ET∥BM交CB的延长线于T， 则∠TEB＝∠EBM＝75°， ∴TE＝TB＝2， ∵M是CE中点， ∴BM是△TEB的中位线， ∴BMTB， 综上，BM或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根， ∴x1+x23，x1•x25， ∴， 故答案为：． 20．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是 　115°　 ． 【解答】解：由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠CAE＝45°， ∵∠ACD＝70°， ∴∠DCE＝20°， ∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°， 故答案为115°． 21．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　（5，4）　 ． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB＝AO+OB＝5， ∴AD＝AB＝CD＝5， ∴DO4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则MC长为 　　 ． 【解答】解：如图，连接BM，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R， ∵PM平分∠APN， ∴∠MPT＝∠MPN， 由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN， ∴∠MPT＝∠C， ∵∠MTP＝∠MRC＝90°， ∴△PTM≌△CRM（AAS）， ∴MT＝MR， ∴BM平分∠ABC， ∴∠MBT＝∠MBR＝45°， ∴TB＝TM，BR＝RM， ∴TB＝TM＝BR＝RM， 设TM＝TB＝x， ∵•AB•BC•AB•MT•BC•MR， ∴4×6•x•（4+6）， ∴x， ∴BR＝MR，CR＝BC﹣BR＝6， ∴CM． 故答案为：． 23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，D为AB中点，点M在射线AC上运动，直线DM交直线BC于点N，若AC＝4CM，则DN的长为 　3或3　 ． 【解答】解：如图，当M在AC的延长线上， 过D作DE⊥BC于E， ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥AC，而D为AB中点， ∴DEAC12＝6，CE＝BEBC＝4.5 又AC＝4CM， ∴CM＝3， ∵DE∥AC， ∴CM：DE＝CN：NE＝3：6， 而CN+NE＝4.5， ∴NE＝3， 在Rt△DNE中，DN3． 如图，当M在AC的上，过D作DE⊥BC于E，∵∠ACB＝90°，∴DE∥AC，而D为AB中点，∴DEAC12＝6，CE＝BEBC＝4.5又AC＝4CM，∴CM＝3，∵DE∥AC，∴CM：DE＝CN：NE＝3：6，而CE＝4.5，∴NC＝4.5， 在Rt△DNE中，DN3． 故答案为：3或3． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件． 根据题意，得， 解得． 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m）， 解得m≤60， W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000， ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大， ∵m≤60， ∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600， 100﹣60＝40（件）． 答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件，全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元． 25．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 　①②　 ；（只填写序号即可） ①（x﹣1）2＝9； ②x2+4x+4＝0； ③（x+4）（x﹣2）＝0． （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值． 【解答】解：（1）①（x﹣1）2＝9 解得：x1＝4，x2＝﹣2， ②x2+4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝﹣2， ③（x+4）（x﹣2）＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝2 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案为：①②； （2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2， 当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1； 当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9； 综上，m的值为1或﹣9； （3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1； ∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”， ∴n＝1或﹣1． 26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（8，0），C（0，6），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段OB的长度是　10　 ； （2）求直线BD所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵A（8，0），C（0，6）， ∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝6， ∴OB10， 故答案为：10； （2）∵四边形OABC是矩形，A（8，0），C（0，6）， ∴B（8，6）， 设D（t，0）， ∵将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D， ∴AB＝EB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，AD＝ED＝8﹣t， ∴OE＝OB﹣EB＝10﹣6＝4，∠OED＝90°， ∴OE2+ED2＝OD2，即42+（8﹣t）2＝t2， 解得t＝5， ∴D（5，0）， 设直线BD所对应的函数表达式为y＝kx+b， 把B（8，6），D（5，0）代入得：， 解得， ∴直线BD所对应的函数表达式为y＝2x﹣10； （3）过E作EH⊥x轴于H，如图： 由（2）可得，OD＝5，ED＝AD＝3，OE＝4，∠OED＝90°， ∵2S△OED＝OE•ED＝OD•EH， ∴EH2.4， ∴OH3.2， ∴E（3.2，2.4）； （4）在线段BC上存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设P（p，6），Q（q，2q﹣10），其中0≤p≤8，5≤q≤8， 又D（5，0），E（3.2，2.4）， ①若PQ，DE为对角线，则PQ，DE的中点重合， ∴， 解得（此时Q不在线段BD上，舍去）， ∴这种情况不存在； ②若PD，QE为对角线，同理得， 解得， ∴P（5，6）； ③若PE，QD为对角线，同理得， 解得（舍去）， ∴这种情况不存在； 综上所述，P的坐标为（5，6）． 学科网（北京）股份有限公司 $