2.2　直线与圆的位置关系课时练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习按A级（基础）、B级（提升）、C级（创新）分层，覆盖直线与圆位置关系全知识点，梯度合理，适配新授课基础巩固与学科素养进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|位置关系判断、弦长计算、切线方程|单选/填空/解答题结合，直接应用概念，如第1题位置判断、第6题圆方程求解，夯实运算能力| |B级|参数问题、最值问题、综合应用|含多选题与开放题，如第15题三选一条件补充，提升推理与几何直观能力| |C级|新定义问题、跨情境综合|如第16题“平行相交”新定义、第17题多圆切线综合，培养创新意识与模型观念|

2.2　直线与圆的位置关系 A级　必备知识基础练 1.直线x－y＋4=0与圆x2＋2=1的位置关系是(　　) A．相离　　 B．相交 C．相切　　 D．相交或相切 2.直线l：x＋y－1=0被圆C：(x－1)2＋y2=4截得的弦长为(　　) A．　　 B.2　　 C.2　　 D.4 3.过点P作圆C：x2＋y2=1的切线l，则切线l的方程为(　　) A.4x－3y－5=0 B.4x－3y－9=0 C．y=1或4x－3y－5=0 D．y=1或4x－3y－9=0 4.若直线x－y＋2=0与圆(x－a)2＋(y－3)2=2相切，则a=(　　) A.3　　 B．－1 C．－3或1　　 D.3或－1 5.(多选题)已知直线l：x＋y－4=0与圆C：x2＋y2－2x＋2y－12=0，则(　　) A．直线l的倾斜角是 B．圆C的半径是4 C．直线l与圆C相交 D．圆C上的点到直线l的距离的最大值是7 6.圆心为C(－1，2)，且截直线x＋3y＋5=0所得弦长为2的圆的方程为　　　　　　　　　　． 7.(2025海安中学高二质检)经过点(1，0)且被圆x2＋y2－2x－2y＋1=0截得的弦长为的一条直线的方程为　　　　　　　　　　． 8.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4=0. (1)若过定点(－2，0)的直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若过定点(－1，0)且倾斜角为30°的直线l′与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标． 9.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h． (1)求外籍轮船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ B级　关键能力提升练 10.(2025南京六校联考)已知点P为直线l：x＋y－2=0上的一点，过点P作圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2=1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 11.若点M(x0，y0)为圆x2＋y2=1内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y=1与该圆的位置关系为(　　) A．相切　　 B．相交 C．相离　　 D．相切或相交 12.若圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3=0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为(　　) A．(2，6)　　 B．(3，5) C．(2，3)⋃(5，6)　　 D．(2，3)⋃(6，＋∞) 13.圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3=0上到直线x＋y＋1=0的距离为的点有(　　) A．2个　　 B．3个 C．4个　　 D．无数个 14.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2=0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是　　　　． 15.已知直线l经过点P(1，－1)，且　　　　． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆(x＋1)2＋y2=5相切；②倾斜角的余弦值为；③直线l的斜率为2. (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线l与曲线C：x2＋y2－6x－2y＋6=0相交于M，N两点，求弦长|MN|． C级　学科素养创新练 16.两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6=0，l2：2x＋(a＋1)y＋6=0和圆C：x2＋y2＋2x=b2－1(b＞0)的位置关系是“平行相交”，则b的取值范围为(　　) A．(，)　　 B．(0，) C．(0，)　　 D．(，)⋃(，＋∞) 17.已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋m=0与直线l：3x－4y－7=0相交于M，N两点且MN=2． (1)求m的值； (2)过点P作圆C的切线，切点为Q，再过点P作圆C′：(x＋2)2＋(y＋2)2=1的切线，切点为R，若PQ=PR，求OP的最小值(其中O为坐标原点)． 答案： 1.A　2.D　3.C　4.D 5.BCD　解析　直线l：x＋y－4=0，即y=－x＋，斜率为－，则倾斜角是，故A错误； 圆C：x2＋y2－2x＋2y－12=0，即(x－1)2＋(y＋)2=16，圆心为(1，－)，半径为4，故B正确； 圆心C到直线l的距离d==3＜4，则直线l与圆C相交，故C正确； 圆C上的点到直线l的距离的最大值为3＋4=7，故D正确．故选BCD． 6.(x＋1)2＋(y－2)2=16 7.y=x－1或y=－x＋1　解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2=1，圆心为(1，1)，半径r=1. 当过点(1，0)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时圆心在直线上，弦长2r=2，不满足题意，所以过点(1，0)的直线的斜率存在，设过点(1，0)的直线的方程为y=k(x－1)，即kx－y－k=0，则圆心(1，1)到直线kx－y－k=0的距离为d==，依题意，=2=2=2，即k2=1，解得k=1或k=－1，故所求直线的方程为y=x－1或y=－x＋1. 8.解　(1)根据题意，设直线l的方程为x=my－2，联立直线与圆的方程并整理得(m2＋1)y2＋(4－6m)y＋4=0， Δ=20m2－48m，所以20m2－48m=0，解得m1=0，m2=，从而，直线l的方程为x=－2或5x－12y＋10=0. (2)根据题意，设直线l′的方程为x=y－1，代入圆C的方程得4y2＋4(1－)y－1=0，显然Δ＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=－1，x1＋x2=1－， 所以点P的坐标为(，)． 9.解　(1)如图，以O为原点，东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立平面直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O：x2＋y2=252，则直线AB：＋=1，即3x＋4y－120=0.故外籍轮船航行路径所在的直线方程为3x＋4y－120=0. (2)设点O到直线AB的距离为d，则d==24＜25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t h，则t==，所以外籍轮船被监测到的持续时间为 h． 10.A　解析　圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2=1的圆心为C(－1，－1)，半径为r=1，由题意知CA⊥PA，则cos∠PCA==，要使cos∠PCA取得最大值，只需|PC|取得最小值，易知当PC与直线x＋y－2=0垂直时，|PC|最小，且|PC|min==2，所以cos∠PCA的最大值为=．故选A． 11.C　解析　由题意知点M(x0，y0)为圆x2＋y2=1内异于圆心的一点，则＋＜1，而圆：x2＋y2=1的圆心到直线x0x＋y0y=1的距离为d=＞1=r，故直线x0x＋y0y=1与该圆的位置关系为相离． 12.C　解析　圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3=0即(x＋)2＋(y＋)2=a2－2a＋，则a2－2a＋＞0，解得a＜3或a＞5，且其圆心坐标为(－，－)，若该圆与x轴没有交点，则＞，解得2＜a＜6.综上，a∈(2，3)⋃(5，6)． 13.B　解析　因为x2＋y2＋2x＋4y－3=0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2=8，所以圆心C(－1，－2)，半径r=2．又因为圆心C到直线x＋y＋1=0的距离为d==，所以r－d=． 如图，过圆心且平行于直线x＋y＋1=0的直线与圆有2个交点，另一条与直线x＋y＋1=0的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，所以圆C上到直线x＋y＋1=0的距离为的点共有3个． 14.0　解析　因为直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)，半径r==，所以圆心到直线ax＋y－2=0的距离d==，解得a=0. 15.解　(1)若选①，因为(1＋1)2＋(－1)2=5，所以点P在圆(x＋1)2＋y2=5上，且圆心(－1，0)与点P连线的斜率为=－．因为直线l与圆(x＋1)2＋y2=5相切，所以直线l的斜率为2，所以直线l的一般式方程为2x－y－3=0. 若选②，设直线l的倾斜角为α(0≤α＜π)，由cos α=得tan α=2. 故直线l的斜率k=tan α=2.所以直线l的一般式方程为2x－y－3=0． 若选③，由直线l的斜率为2，得直线l的一般式方程为2x－y－3=0． (2)曲线C：x2＋y2－6x－2y＋6=0，即(x－3)2＋(y－1)2=4. 故曲线C为圆，圆心C的坐标为(3，1)，半径r=2，则圆心C到直线l的距离d==． 所以弦长|MN|=2=． 16.D　解析　圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2=b2，由两直线平行可得a(a＋1)－6=0，解得a=2或a=－3．当a=2时，直线l1与l2重合，故舍去．当a=－3时，两平行直线方程分别为x－y－2=0和x－y＋3=0. 由直线x－y－2=0与圆(x＋1)2＋y2=b2相切，得b==，由直线x－y＋3=0与圆(x＋1)2＋y2=b2相切，得b==，当两直线与圆都相离时，b＜，所以当直线l1，l2和圆C“平行相交”时，b满足 故b的取值范围是(，)⋃(，＋∞)．故选D． 17.解　(1)圆C：(x－2)2＋(y－1)2=5－m(5－m＞0)，其圆心为C(2，1)，半径r=，　 圆心到直线l的距离d==1，则MN=2=2=2，解得m=1，满足题意，所以m的值为1. (2)由(1)知圆C的圆心为C(2，1)，半径r=2，设P(x，y)， 由切线的性质，得PQ==． 圆C′：(x＋2)2＋(y＋2)2=1的圆心为C′(－2，－2)，半径r′=1，同理，PR==． 因为PQ=PR，所以=， 化简得4x＋3y＋3=0，又点C(2，1)到直线4x＋3y＋3=0的距离为＞2，点C′(－2，－2)到直线4x＋3y＋3=0的距离为＞1，故直线4x＋3y＋3=0与两圆都无公共点，点P的轨迹为直线4x＋3y＋3=0， 所以OP的最小值即为原点到直线4x＋3y＋3=0的距离，所以OPmin==． 学科网（北京）股份有限公司 $