2.2直线与圆的位置关系（十五大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

2.2直线与圆的位置关系 题型一：点与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）点和圆的位置关系： 、 、 . （代数法）点与圆的关系的判断： （1）若，则点在 . （2）若，则点在 . （3）若，则点在 . 2．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆上，则 ． 3．判断与圆的位置关系． 4.设a为实数，若点在圆的内部，求a的取值范围． 题型二：判断直线与圆的位置关系 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 6．（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 题型三：由直线与圆的位置关系求参数 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线平分圆：的周长，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若直线和直线将圆的周长四等分，则 ． 题型四：直线与圆的位置关系求距离的最值 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 13．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 题型五：过圆上一点的圆的切线方程 14.（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过圆上的点的的切线方程为 . 16．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）写出过点且与圆相切的直线方程 . 17．（23-24高二上·江苏扬州·期中）求过点且与圆相切的直线方程为 . 18．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点，且与圆相切，求直线l的方程. 19．（23-24高二上·江苏连云港·期末）求过点且与圆相切的直线方程． 题型六：切线长 20．（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（    ） A． B．2 C． D． 21．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 23．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 . 腿型七：圆的弦长与中点弦 24．（24-25高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 26．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八：已知圆的弦长求方程或参数 27．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 29．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 题型九：直线与圆的实际应用 30．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    32．（23-24高二上·江苏·开学考试）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：    (1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 题型十：直线与圆中的定点定值问题 33．（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 34.已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值. 35．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：（），直线：． (1)若，为何值时，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1？ (2)若直线上一点，圆上存在不同的两点，，使得，求的取值范围． 36．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）在直角中，为直角，顶点A，B的坐标分别为，，圆D是的外接圆，D为圆心，已知点，过点P作两条相异直线分别与圆D相交于M，N． (1)求圆D的方程并判断点与圆D的位置关系； (2)若直线PM和直线PN与x轴分别交于点G、H，且，试判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 37．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 题型十一：圆的切线方程 38．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 39．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 40．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 41．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 42．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆的方程是， (1)若点为圆上一点，过点M作圆的切线，求该切线方程. (2)若点为圆外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B， ①求直线AB的方程. ②若为直线上的一个动点，试讨论直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由 题型十二：圆的弦长与中点弦 43．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 44．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线.若定点分弦为，求直线的方程 . 45．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 46．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 47．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 题型十三：已知圆的弦长求方程或参数 48．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆M. (1)求圆M的方程； (2)过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且，求直线l的方程. 49．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 50．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 51．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 52．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 题型十四：圆内接三角形的面积 53．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 54．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知，直线：与圆：交于，两点． (1)求证：直线过定点； (2)若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程； (3)求面积的最大值． 55．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 56．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点、，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点分别作直线、，交曲线于、、、四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 57．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 题型十五：坐标法的应用——直线与圆的位置关系 58．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 59．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 60．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知圆C过，，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线，圆，则（    ） A．经过一个定点 B．当时，平分圆的周长 C．当时，与圆相切 D．圆上点到直线距离的最大值为 8．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆，直线，则下列结论正确的有（   ） A．直线l过定点 B．直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为 C．直线l被圆截得的弦长最小值为 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 11．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 12．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是 . 13．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，其中，若圆C上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 . 14．（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆经过、两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 16．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知圆M过原点O，圆心M在直线上，直线与圆M相切. (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点.若A为线段PB的中点，求直线l的方程. 17．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点B是圆上两点． (1)判断直线与C的位置关系，并说明理由； (2)若，的面积为，求C的方程． 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 19．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 20．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2直线与圆的位置关系 题型一：点与圆的位置关系 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）点和圆的位置关系： 、 、 . （代数法）点与圆的关系的判断： （1）若，则点在 . （2）若，则点在 . （3）若，则点在 . 【答案】 圆内 圆上 圆外 圆外 圆上 圆内 2．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆上，则 ． 【答案】 【详解】设,则,解得. 因为在上,所以,解得，经检验，符合题意. 故答案为： 3．判断与圆的位置关系． 【详解】因为， 所以点在圆的内部； 因为， 所以点在圆上； 因为， 所以点在圆的外部； 4.设a为实数，若点在圆的内部，求a的取值范围． 【答案】 【详解】解：因为点在圆的内部， 所以，解得， 所以a的取值范围为. 题型二：判断直线与圆的位置关系 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心. 故选：A. 6．（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【详解】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 故选: 题型三：由直线与圆的位置关系求参数 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线平分圆：的周长，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得圆心为， 因为直线平分圆：的周长， 所以直线过圆的圆心，则，解得. 故选：B. 9．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D 10．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若直线和直线将圆的周长四等分，则 ． 【答案】 【详解】由圆，可知圆心为， 又直线和直线互相垂直， 且两直线将圆的周长四等分， 则圆心在两条直线上， 即，解得， 所以， 故答案为：. 题型四：直线与圆的位置关系求距离的最值 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线，其中，，即，， 曲线方程可化为， 其中，，即曲线的轨迹是一个半圆. 因为圆心到直线的距离， 故半圆上一点到直线的最小距离， 半圆上点到直线的距离最大， 则的取值范围为， 故选：B. 12．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【详解】 四边形的面积, 当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为， 又半径，所以，则四边形面积的最小值为. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【答案】27 【详解】由题意可知，，，， 圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值，最小值为， 所以面积的最大值和最小值的和为. 故答案为： 题型五：过圆上一点的圆的切线方程 14.（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 15．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过圆上的点的的切线方程为 . 【答案】 【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为， 得：切线方程为，化简得：. 故答案为： 16．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）写出过点且与圆相切的直线方程 . 【答案】或 【详解】易知圆的圆心，半径， 易知该切线斜率存在，不妨设切线方程为， 则圆心到切线的距离为或， 则切线方程为：或. 故答案为：或. 17．（23-24高二上·江苏扬州·期中）求过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然不符合题意， 当直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 18．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点，且与圆相切，求直线l的方程. 【答案】或 【详解】，所以点P在圆外， 当l斜率存在时，设l的方程为，即， 由，得，所以切线方程l：， 当l斜率不存在时，l的方程为，与圆相切，合题意， 综上，直线l的方程为或． 19．（23-24高二上·江苏连云港·期末）求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】或 【详解】根据题意，设要求直线为l，圆的圆心为，半径为2， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为2，与圆相切，符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 则有，解得，即直线为， 综上：该直线的方程为或． 题型六：切线长 20．（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 设切点为，圆心为，连接，则， 而， 故选：B . 21．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 23．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 则，，令， 于是， 可视为动点到定点的距离与到定直线的距离和， 令直线与轴的交点为，，， 当与点重合，即时，， 当时，过作垂直于直线于点，连接， ，则； 当时，由直线的倾斜角为钝角知，， 因此对任意实数，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 腿型七：圆的弦长与中点弦 24．（24-25高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆，则圆心为，半径为， 由圆心为到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 26．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆的标准方程为：，故，半径， 故即， 以即为中点的弦，与垂直，而， 故弦长为：， 故选：D 题型八：已知圆的弦长求方程或参数 27．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为，弦长， 所以， 解得. 故选：C 28．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【答案】 【详解】由题设，圆心到直线的距离， 又圆的半径，则弦长为，可得， 所以. 故答案为： 29．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 由题意圆心到直线的距离， 则，解得. 故答案为： 题型九：直线与圆的实际应用 30．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 31．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【详解】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 32．（23-24高二上·江苏·开学考试）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：    (1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内 (2)8.75米 【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，，则，依题意得，游客所在位置为， 则直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内． （2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为D，E， 由，解得， 由，解得， 所以， 答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米．    题型十：直线与圆中的定点定值问题 33．（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【详解】（1）依题意，圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线m的斜率是定值，该定值为. 34.已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设圆的方程为：，由圆过，及. ∴可得， ∴圆的方程为：，其标准方程为； （2）设，，直线为， 与圆：联立得：， ∴，则，， ∴. 35．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：（），直线：． (1)若，为何值时，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1？ (2)若直线上一点，圆上存在不同的两点，，使得，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）圆的圆心，由圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 得直线与圆相交，与直线平行且距离为1的一条直线与圆相切， 设此直线方程为， 则，解得或， 所以或. （2）由（1）知，点，， 取弦的中点，连接， 则，令，则 由，得，于是，解得， 而，因此，又，解得， 所以的取值范围是. 36．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）在直角中，为直角，顶点A，B的坐标分别为，，圆D是的外接圆，D为圆心，已知点，过点P作两条相异直线分别与圆D相交于M，N． (1)求圆D的方程并判断点与圆D的位置关系； (2)若直线PM和直线PN与x轴分别交于点G、H，且，试判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)，点在圆D上 (2)是定值，定值为 【详解】（1）∵在直角中，是直角，顶点A，B的坐标分别为，， ∴AB是直径，则AB的中点，即圆心， 半径，则圆D的方程为． 满足，所以点在圆D上． （2）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数， 故可设，， 由，得， 因为P的横坐标一定是该方程的解，故可得， 由，得， 因为P的横坐标一定是该方程的解，故可得， 所以， 所以，直线MN的斜率为定值． 37．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，直线的方程为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以 （2）取的中点为，如图，    假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为. （3）由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 题型十一：圆的切线方程 38．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 【答案】 【详解】由题意可知，圆心为，半径为， 因为，所以，点在圆上，由圆的几何性质可知，， ，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 因此，. 故答案为：. 39．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 40．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 41．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)或 【详解】（1）由解得，所以圆过点. 若选①，圆C经过点，圆心在直线上， 设圆心为，， 则， 解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 若选②，圆心，半径为， 则，解得（负根舍去）， 所以圆心为，圆的方程为. （2）由题意，当直线的斜率不存在时，不合题意； 当直线的斜率存在时，设切线的方程为， 圆心到切线的距离为，解得， 所以切线方程为，或， 即或.    42．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆的方程是， (1)若点为圆上一点，过点M作圆的切线，求该切线方程. (2)若点为圆外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B， ①求直线AB的方程. ②若为直线上的一个动点，试讨论直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由 【答案】(1)； (2)①；②恒过定点. 【详解】（1）圆的圆心，由点在圆上，得， 设过点M的圆的切线上任意点，当与不重合时，，有， 当与重合时，也成立，而， 因此，整理得， 所以所求切线的方程为. （2）①设切点，由（1）知切线的方程分别为，， 于是，显然点的坐标满足方程， 所以直线的方程为. ②由①知，直线的方程为，而点在直线上， 即，则直线：，即， 由，解得，因此直线过定点. 题型十二：圆的弦长与中点弦 43．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 则，所以的面积为. 故选：C 44．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线.若定点分弦为，求直线的方程 . 【答案】或. 【详解】设，由，， , ， ,① 由得:（*）,,② 由①②解得，带入（*）式解得， 直线的方程为或. 故答案为：或.. 45．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆心，半径为，即， 又， 故； （2），故直线， 记圆心到直线的距离为， ，故； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，故． 46．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）首先设圆M的方程为。. 因为圆M过点，把点代入圆的方程可得①. 又因为圆心M在直线上，所以②. 由于直线与圆M相切，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的关系，可得③. 联立①②③求解：由②可得, 将代入①和③. 把代入①得， 展开可得，进一步展开得到. 把代入③得. 因为. 由，解得. 把代入得. 再把，代入①可得，所以. 所以圆M的方程为. （2）设，因A为线段BD的中点，根据中点坐标公式，所以， 因为A，B在圆M上，所以， 对第一个方程展开得， 即④， 对第二个方程展开得， 即⑤， 由④⑤得：， 展开得化简得，即， 把代入④得， 即， 解得或， 当时，；当时，， 当时，因为，此时直线垂直于轴，所以直线的方程为； 当时，由可得直线的斜率， 根据直线的点斜式方程，这里， 所以直线的方程为，整理得， ，即. 综上所得，直线的方程为或 47．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 【答案】(1)相交，弦长为 (2)或 【详解】（1）圆：化为标准方程为， 圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，所以直线与圆相交； 直线被圆所截得的弦长为； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线方程为， 综上，切线方程为或. 题型十三：已知圆的弦长求方程或参数 48．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆M. (1)求圆M的方程； (2)过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】（1）设圆M的方程为， 把的三个顶点的坐标代入方程中， 得 （2）由圆M的方程， 因此有，过M作直线l的垂线，垂足为， 设直线l的方程为， 因此， 由圆的垂径定理可知： 化简，得，或， 分别代入直线l的方程，得，或 所以直线l的方程为或. 49．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】(1)，D在圆M内 (2)或. 【详解】（1）设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； （2）由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 50．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意圆心在弦的中垂线上， 又中点，， 则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即， 联立可得，，即， 故圆的半径. 故圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交； 当直线斜率存在时，设方程， 因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离. 则到的距离， 则，即，解得或. 故方程，即或. 51．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆的圆心在直线上，所以． 因为圆过， 代入圆C方程 解得 故圆的标准方程为． （2）设到的距离为，由，解得 当直线斜率不存在时，，满足题意． 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 则圆心到直线的距离为，解得， 直线方程为 综上，直线方程为或 52．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为A、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以直线AO的中垂线方程为 ，即， 因为B、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以BO的中垂线方程为 ，即为 联立，解得 所以圆心所以圆的半径 所以圆C的标准方程为； （2）由（1）得圆C的圆心为半径为5， 因为A在圆C上，所以切线与直线AC垂直， 因为直线AC的斜率为 所以切线的方程为即； （3）的斜率一定存在，设为 ，所以l的方程为 设圆心C到l的距离为d，因为所以即 所以化简得即 所以l的斜率为 题型十四：圆内接三角形的面积 53．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 54．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知，直线：与圆：交于，两点． (1)求证：直线过定点； (2)若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由：，得， 因为，故可得，解得，所以直线过定点. （2）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧． 直线与圆交于，两点，则． 圆方程为，故其圆心坐标为，半径， 在△中，由余弦定理，解得， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得； 又直线方程为：， 故有，整理得，解得， 所以，直线的方程为． （3）当时，圆心到的距离取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为，又， 故面积为， 其中， 故当时，， 所以面积的最大值为． 55．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）由题意可得，解得，故圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）因为， 当且仅当时，等号成立， 此时，是等腰直角三角形，且， 则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意，    所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，整理得，解得或， 因此，直线的方程为或， 即直线的方程为或. 56．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点、，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点分别作直线、，交曲线于、、、四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 【详解】（1）解：设，则， 即，即， 故点的轨迹方程为． （2）解：设点到的距离为，点到的距离为， 则， 因为，所以， 所以， 因为，则，所以，， 所以，所以四边形面积的最大值，最小值． 57．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）7；（ii）是在定直线上，直线方程： 【详解】（1）设，因为点在圆上，所以  ①. 因为为中点，所以，整理得。 代入①式中得，整理得 所以曲线的方程为    （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即. 则直线为 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为. 则，所以. 所以 当时，. 当时，，当且仅当时等号成立. 综上所述，四边形面积的最大值为7. （ii）设，联立，得. 则，. 因为曲线与轴交于两点，所以. 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得. 直线与直线的交点在定直线上    题型十五：坐标法的应用——直线与圆的位置关系 58．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设，则， 整理得； （2）设存在， 联立圆C方程有，整理得， 则，则， 此时弦PQ为直径的圆过原点， 即 ，即，符合题意； 即或. 59．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】(1)或； (2)最大，此时. 【详解】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 60．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知圆C过，，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，    ①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意． ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线． 综上所述，直线的方程为或． （3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，    由，得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为 由题可知：，， 故， 又∵，同理， ∴． 当且仅当时等号成立．所以的最大值为． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为点在圆内， 所以， 设圆心到直线的距离为, 则， 圆的半径, 因为，所以直线与圆的位置关系为相离. 故选：. 3．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆C的半径为4，直线l上存在到圆C上一点的距离为3的点， 故圆心到直线l的距离，即，解得， 故选：A． 5．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆， 当直线与半圆相切时，，则，此时直线为， 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是． 故选：C． 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，是圆O：上两点， 所以，将两式相加， 又因为, 所以， 即，解得, 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线，圆，则（    ） A．经过一个定点 B．当时，平分圆的周长 C．当时，与圆相切 D．圆上点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【详解】选项A：， 联立，解得，所以l过定点，故A正确； 选项B：当时，，圆即， 圆心，半径为，因为在直线l上，所以平分圆的周长，故B正确； 选项C：当时，， 圆心到直线的距离为，故与圆不相切，故C错误； 选项D：定点与圆心的距离为，此时为圆心到直线的距离最大值， 所以圆上点到直线距离的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 8．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆，直线，则下列结论正确的有（   ） A．直线l过定点 B．直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为 C．直线l被圆截得的弦长最小值为 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】由题，圆，圆心，半径， 对于A，直线的方程可变为，所以直线过定点，故A正确； 对于B，当圆心在直线上时，直线被圆解得的弦长最长， 则，解得，此时直线的方程为，故B错误； 对于C，当定点与圆心的连线垂直于时，此时圆心到直线的距离最大为， 所以所截得的弦长最小为，故C正确； 对于D，根据圆的性质，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】 设， 由得，点P在半圆C：上， 对于A，因为，所以当时，的最小值为-5，故A正确； 对于B，设，因为， 所以的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设，当过圆心时，， 当与半圆相切时，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 【答案】 【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切， 且圆心为，半径为，可得，由于，解得. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 12．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是 . 【答案】或 【详解】设点，由，则， 整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点， 故圆心到直线的距离小于等于半径；即， 解得：或， 故答案为：或 13．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，其中，若圆C上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 . 【答案】 【详解】设与直线 平行且距离为的直线方程为， 则，解得或， 所以与直线 的距离为1的点都在 直线 和 上， 又圆 过原点 且原点到直线 的距离为， 则 在直线 上，且与 相切， 所以 故答案为： 14．（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆经过、两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 设圆的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由题意，过点的直线与圆相交于、两点， 且，则， 所以，所以， 所以圆心到直线的距离， 由题意直线的斜率存在，设直线为，即， 所以，化简得， 解得或，所以直线的方程为或. 16．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知圆M过原点O，圆心M在直线上，直线与圆M相切. (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点.若A为线段PB的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）因为圆M过原点O，且与直线相切， 所以圆心M在直线上， 又圆心M也在直线上， 联立与，解得，故圆心， 所以半径， 因此圆M的方程为. （2）设，因为A为线段PB的中点，所以. 因为A，B在圆M上，所以解得或 当时，直线l的方程为； 当时，，故直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 17．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点B是圆上两点． (1)判断直线与C的位置关系，并说明理由； (2)若，的面积为，求C的方程． 【答案】(1)直线l与圆C相交，理由见解析 (2) 【详解】（1）直线与圆相交，理由如下： 圆的方程可化为， 可知圆心为，半径， 直线的方程可化，可知直线l过定点， 因为，故定点在圆C内， 所以直线l与圆C相交． （2）因为，， 又因为的面积为，可得， 因为，结合垂直关系可知直线AB的方向向量可以为， 可得， 则，即， 将代入圆C方程可得，解得， 所以圆C的方程为． 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，           因为圆经过点，所以，   因为圆与直线相切，所以，    联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，    又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 19．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 【答案】(1)和 (2)存在，定点，定值或定点，定值 【详解】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得， 则，整理得， 综上，切线的方程为和； （2）设，由得， 即， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 将代入得， 整理得， 要使为定值，则， 解得，，或，，， 综上，存在定点，定值或定点，定值. 20．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是，定值为 【详解】（1）因为圆经过点和，又易知中点，， 所以的中垂线方程为，即， 又圆心在直线上，由，解得，所以圆心， 又圆的半径，所以圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线， 由（1）知圆为， 因为直线与圆相切，则，整理得到，此时直线， 当直线斜率不存在时，直线，满足题意， 综上，直线的方程为或. （3）设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以关于直线的对称点为，而圆关于直线的对称圆是圆， 所以圆的方程为， 因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、， 又因为， 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以． 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以， 因此直线的方程为，直线的方程为， 在方程中，令得，即， 在方程中，令得，即， 又因为、是圆Q上的两个动点，所以，， 因此， 因此为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$