7.2 认识证明 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦“认识证明”核心，分层覆盖命题概念、逻辑推理及综合应用，梯度合理，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|命题定义、条件结论、真假判断|以选择填空为主，如辨析命题类型，强化抽象能力| |进阶层|逻辑推理、定理识别|含命题反例构造，如密码破译题，发展推理意识| |综合层|综合应用、实际情境|结合几何证明与购票问题，培养应用意识|

7.2 认识证明 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 3．下列命题中，是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．无理数的相反数是有理数 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．三个角对应相等的两个三角形全等 4．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 5．判断命题“如果那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为（    ） A．2 B． C．0 D． 6．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 7．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 8．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 二、填空题 9．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 10．判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 11．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是________，结论是________，它是一个________（填“真”或“假”）命题． 12．把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 13．破译密码：根据下面五个已知条件，可推断出正确的密码是______．    6 2 8 只有一个号码正确且位置正确 6 1 9 只有一个号码正确但位置不正确 8 7 6 只有两个号码正确但位置都不正确 5 3 2 三个号码都不正确 2 5 7 只有一个号码正确但位置不正确 三、解答题 14．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)正数大于一切负数吗？ (2)两点之间线段最短． (3)不是无理数． (4)作一条直线和已知直线垂直． 15．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 16．卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 17．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 18．如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小． （1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由． （2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A D D C B A 1．【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 2．【答案】D 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 3．【答案】A 【知识点】实数的性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、判断命题真假、等腰三角形的定义 【分析】本题考查真命题的判断，需结合对顶角性质、无理数概念、等腰三角形分类、三角形全等判定定理逐一分析各选项． 【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等， ∴选项A是真命题． ∵无理数的相反数仍是无理数，例如的相反数是，仍为无理数， ∴选项B是假命题． ∵等腰三角形可以是钝角三角形或直角三角形，例如顶角为的等腰三角形是钝角三角形， ∴选项C是假命题． ∵三个角对应相等的两个三角形不一定全等，全等三角形的判定需满足边的相等， ∴选项D是假命题． 故选：A 4．【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 5．【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的x满足，使，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当时，成立，而不成立，故是该命题的一个反例， 所以判断命题“如果， 那么”是假命题，举出． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 7．【答案】B 【知识点】判断是否是命题、定理与证明 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 8．【答案】A 【知识点】数字类规律探索、以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 9．【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【知识点】判断是否是命题 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 10．【答案】（答案不唯一，即可） 【知识点】举反例 【详解】解：当时，，满足条件， ，不满足命题结论， ∴命题“如果，那么”是假命题． 11．【答案】 两个数的绝对值相等 这两个数互为相反数 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】根据判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；正确的命题是真命题进行分析即可． 【详解】解：命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数，这是一个假命题， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数，假． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，根据学过的性质准确找出命题的条件和结论是正确改写的关键． 12．【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 13．【答案】798 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密码中必有9，即可得出结论． 【详解】解：密码532，三个号码都不正确， 密码中没有数字：2，3，5， 密码257只有一个号码正确但位置不正确， 密码中必有数字7，并且不能在个位， 密码876只有两个号码正确，但位置都不正确， 密码7不能在十位，密码中8，6只有一个正确， 密码中的7只能在百位， 密码628中只有一个号码正确且位置正确， 密码中必有数字8，且在个位， 密码619中只有一个号码正确当位置不正确， 密码中只有数字9，且在十位， 正确的密码为798， 故答案为：798． 【点睛】此题是推理与论证题目，判断出密码中必有数字7且在百位上是解本题的关键． 14．【答案】(1)不是命题 (2)是命题 (3)是命题 (4)不是命题 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可． 【详解】（1）解：正数大于一切负数吗？不是命题； （2）解：两点之间线段最短，是命题 （3）解：不是无理数，是命题 （4）解：作一条直线和已知直线垂直，不是命题． 【点睛】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 15．【答案】(1)条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 【详解】（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 16．【答案】 已知：如图，，为的中点． 求证： 证明：如图，连接， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是．结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 17．【答案】 解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据给出的论断组命题并证明 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】略 18．【答案】（1）甲：1，2，3，4，5；乙：6，8，10，12；丙：7，9，11；丁：13，15；（2）甲丙丁、甲丁丙、丙甲丁、丁甲丙，共4种情况 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】（1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理． （2）根据题意可确定乙的购票结果．再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、丁的购票顺序即可得出结果． 【详解】（1）由所选的座位号之和最小可知，甲先选：5，3，1，2，4； 则乙选：6，8，10，12； 丙选11，9，7； 丁选15，13． （2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4． ①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5． Ⅰ若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10． 此时丁可选的座位号为12，14． 即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁． Ⅱ若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8． 此时丙可选的座位号为10，12，14． 即在乙选完之后的顺序为：甲、丁、丙． ②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5． Ⅰ若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14． 此时丁可选的座位号为13，11． 即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁． Ⅱ若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8． 此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立． ③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5． Ⅰ若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14． 此时丙可选的座位号为13，11，9． 即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙． Ⅱ若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12． 此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立． 综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙． 【点睛】本题考查推理与论证，理解题意并利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $