5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按行程、工程、销售问题分类，通过基础到综合的解答题设计，强化建模能力与运算推理，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一情境等量关系|如行程问题第1题（救生圈落水时间），工程问题第7题（合作天数），直接建立方程| |综合提升|多过程情境分析|如行程问题第4题（两船二次相遇），销售问题第16题（调运方案），需拆分过程列方程| |拓展探究|方案优化与函数关联|如工程问题第11题（设备购买方案），销售问题第17题（成本函数与利润），融合不等式与函数思想|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、行程问题 1．某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 2．已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 3．小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 4．一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头到A码头逆流而上．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的速度为67千米/小时，游船在静水中的速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好第二次相遇？ 5．两个自行车队员进行训练，训练时1号队员与2号队员都以的速度前进，突然，1号队员以的速度独自前进，前进后调转车头，仍以的速度往回骑，直到与2号队员会合． (1)1号队员从开始离队到与2号队员重新会合，经过了多长时间？ (2)在1号队员从开始离队到与2号队员重新会合的这个过程中，经过多长时间与2号队员相距？ 6．甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营的一号营地出发，每小时行进；乙队从距大本营的二号营地出发，每小时行进．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 二、工程问题 7．一项工程，如果甲工程队单独做需20天完成，乙工程队单独做需12天完成．现在先由甲单独做4天，剩下的部分由甲、乙合作完成． （1）（列方程解答）剩下的部分合作还需要几天完成？ （2）若该工程的总费用为240万元，根据实际完成情况，甲乙两工程队各得120万元，你同意吗？若同意，请说明理由；若不同意，请写出分配方案． 8．现有一项工程，甲单独做需要10天能完成，乙单独做需要15天能完成，甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元，甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬． （1）问甲、乙合作多少天能完成此项工程？ （2）求甲做一天需要的报酬； （3）为了节省开支，应在甲单独完成、乙单独完成、甲乙合作完成这三种方案中选择哪种方案？请通过计算说明． 9．完成一项工作，如果由一个人单独做要花45小时，现先由一部分人做一小时，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成．假设每个人的工作效率相同，那么先安排做的人数是多少？ 10．某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共450台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共519 台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产20 % ．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？ 11．为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了台甲型和台乙型污水处理设备，共花费资金万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水吨，每台乙型设备每月能处理污水吨．今年该厂二期工程即将完成产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于吨污水． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元； （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． 12．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 三、销售盈亏问题 13．随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店抓住这一市场机遇，购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元． 甲 乙 进价/（元/双） 售价/（元/双） (1)求的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共双的总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双，问该专卖店有几种进货方案？说明理由． (3)在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 14．开心玩具厂某天生产某种玩具的总成本为C（元），生产数量为n（件）．生产总成本由固定成本与可变成本相加而成，其中固定成本为3000元，生产每件玩具的可变成本为50元． (1)试求出生产总成本C与生产数量n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）； (2)如果该天的生产总成本是46000元，那么这一天生产了多少件该种玩具？ (3)若该种玩具每件的售价为110元，且该天生产的该种玩具全部售出，试写出这一天的利润P（元）关于这一天生产数量n（件）的函数关系式，并求出这一天至少生产多少件该种玩具，才能不亏本． 15．某工厂生产一种产品，生产总成本y（元）与生产数量x（件）成一次函数关系．已知生产10件时，总成本为800元；生产20件时，总成本为1500元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当该产品的销售单价为100元/件时，该产品能够全部售出．若工厂希望通过生产并全部售出该产品获得2000元利润，请问应将生产数量设定为多少件？（利润销售总价生产总成本） 16．由于城市举办大型活动，参与人数众多，对水果的需求量大增，某超市水果供应紧张，需每天从外地调运水果1500千克．该超市决定从甲、乙两大型水果种植基地调运水果，已知甲水果基地每天最多可调运1000千克水果，乙水果基地每天最多可调运800千克水果，从两水果基地调运水果到超市的路程和运费如下表： 到超市的路程（千米） 运费（元/千克·千米） 甲水果基地 100 0.04 乙水果基地 70 0.06 (1)若某天调运水果的总运费为6140元，求从甲、乙两水果基地各调运了多少千克水果？ (2)设从甲水果基地调运水果x千克，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少，最少为多少元？ 17．某工厂生产某种产品，每天的生产成本包括固定成本和原料及加工成本．已知该工厂正常运转的固定成本为120万元/月，该产品的原料及加工成本合计为6万元，当月产量超过时，由于规模采购议价，超过的部分每吨原料及加工成本还可以减少0.5万元．设每月的生产成本为y万元（包括固定成本与原料及加工成本），每月的生产量为． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该工厂每吨产品的出厂价为8万元，则当每月生产多少吨产品时，工厂可每月获利80万元？ 18．某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，求水蜜桃的进价是每千克多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)从救生圈落水到被发现用了； (2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （1）根据时间=路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，根据时间的等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 答：从救生圈落水到被发现用了； （2）解：设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，依题意有 ， 解得, 答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 2．(1)这列火车的长度为200米 (2)这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握火车过桥问题中的等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设火车的长度为米，根据火车的速度不变，列出方程进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：设这列火车的长度是米，由题意，得： ， 解得：； 答：这列火车的长度为200米； （2）（米/秒）； 答：这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒． 3．(1)小华用能追上小明 (2)小华起跑后两人首次相遇 【分析】（1）设小华用能追上小明，根据题意列一元一次方程求解； （2）设小华起跑后两人首次相遇，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； （2）解：设小华起跑后两人首次相遇， 根据题意得， 解得 答：小华起跑后两人首次相遇． 4．(1)93千米 (2)小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）根据第二次相遇时，快艇比游船多行驶，列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：（千米）． 即在航行30分钟时两船相距93千米； （2）解：快艇到达B码头需要的时间为：（小时） 设在两船在航行过程中需航行x小时恰好第二次相遇．依题意得： ， 理整得， 答：两船在航行过程中需航行小时恰好第二次相遇． 5．(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设经过了，1号队员从离队开始到与2号队员重新会合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）分两种情况考虑：①设经过第一次与2号队员相距，②设经过第二次与2号队员相距，分别列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：设经过了，1号队员从离队开始到与2号队员重新会合， 根据题意得：， 解得：， 答：经过了，1号队员从离队开始到与2号队员重新会合； （2）①设经过第一次与2号队员相距， ， 解得： ②设经过第二次与2号队员相距， ， 解得 答：经过或与2号队员相距 6．后，甲队在途中追上乙队 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设两队行进的时间为，根据“路程速度时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为和从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为和．甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程乙队距大本营的路程，列出方程求解即可． 【详解】解：设两队行进的时间为，根据题意： ． 解得： 答：后，甲队在途中追上乙队． 7．（1）剩下的部分合作还需要6天完成； （2）同意，甲完成的工作量为×（4+6）＝， 乙完成的工作量为×6＝， 则甲乙完成的工作量都是，所以报酬应相同． 【分析】（1）设剩下的部分合作还需要x天完成，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）同意，求出甲完成的工作量，比较即可． 【详解】解：（1）设剩下的部分合作还需要x天完成， 根据题意得：×4+（）x＝1， 解得：x＝6， 则剩下的部分合作还需要6天完成； （2）略． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 8．（1）甲乙合作6天完成任务；（2）甲做一天需要的报酬500元；（3）应选择甲单独完成． 【分析】（1）设甲、乙合作x天能完成此项工程，根据“甲工作量+乙工作量=1”列方程，求解； （2）设甲做一天需要的报酬y元，根据“甲6天报酬+乙6天报酬=5400”列方程，求解； （3）分别计算三种方案金额，比较即可． 【详解】解：（1）设甲、乙合作x天能完成此项工程． 根据题意列方程得 ， 解得 ． 答：甲乙合作6天完成任务． （2）设甲做一天需要的报酬y元． 根据题意列方程得 ， 解得 ． 答：甲做一天需要的报酬500元． （3）由题意得 甲单独完成需要500×10=5000（元）； 乙单独完成需要（500-100）×15=6000（元）； 甲乙合作需要报酬5400元． ∴为了节省开支，应选择甲单独完成． 【点睛】本题考查了列一元一次方程求解，难度不大，根据题意正确列出方程是解题关键． 9．5人 【详解】试题分析：设先安排做的人数为x个，根据单独做要45小时，等于现先由一部分人做一小时，再增加15人后所用总时间相等，即可列方程求解． 设先安排做的人数为x个，由题意得 解得 答：先安排做的人数为5个． 考点：一元一次方程的应用 点评：根据题目给出的条件每个人的工作效率相同，找出合适的等量关系列出方程是解决问题的关键． 10．该厂第一季度生产甲种机器210台，则该厂第一季度生产乙种机器240台 【分析】该厂第一季度生产甲种机器x台，则该厂第一季度生产乙种机器（450−x）台，根据题意列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设该厂第一季度生产甲种机器x台，则该厂第一季度生产乙种机器（450−x）台， 根据题意得：（1＋10%）x＋（1＋20%）（450−x）＝519， 解得：x＝210， 450−210＝240， 答：该厂第一季度生产甲种机器210台，则该厂第一季度生产乙种机器240台． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键． 11．（1）一台甲型设备的价格为万元，一台乙型设备的价格为万元；（2）所有购买方案有四种，分别为方案一：甲型台，乙型台；方案二：甲型台，乙型台；方案三：甲型台，乙型台；方案四：甲型台，乙型台． 【分析】（1）设每台甲型设备的价格为万元，则每台乙型设备的价格为万元，根据购买3台甲型和2台乙型污水处理设备共花费资金54万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买台甲型设备，则购买（）台乙型设备，根据总价=单价×数量结合处理污水的总量=200×购买甲型设备的台数+160×购买乙型设备的台数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）设一台甲型设备的价格为万元，则每台乙型设备的价格为万元， 由题意，得：， 解得， ， 答：一台甲型设备的价格为万元，一台乙型设备的价格为万元； （2）设二期工程中，购买台甲型设备，则购买（）台乙型设备， 由题意，得： 解得． 又由题意，知为正整数，因此，，，． 答：所有购买方案有四种，分别为： 方案一：甲型台，乙型台； 方案二：甲型台，乙型台； 方案三：甲型台，乙型台； 方案四：甲型台，乙型台． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 12．（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1． （2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可． 【详解】解：（1）设乙队单独完成需x天． 根据题意，得：． 解这个方程得：x=90． 经检验，x=90是原方程的解． ∴乙队单独完成需90天． （2）设甲、乙合作完成需y天，则有， 解得，y=36； ①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）． ②乙单独完成超过计划天数不符题意， ③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）． 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 13．(1) (2)共有种进货方案，理由见解析 (3)该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元 【分析】（1）根据“购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双，然后根据“总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双”，列不等式求解，再根据鞋的数量是正整数解答即可； （3）设专卖店获得的利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：共有种进货方案．理由如下： 由（1）得，， 设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双， 根据题意，得， 解得， 为正整数， 共有种进货方案． （3）解：设专卖店获得的利润为， 根据题意，得， ，， 随的增大而减小，当时，取得最大值为元，此时（双）． 答：在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元． 14．(1)； (2)860； (3)函数关系式为，至少生产50件 【分析】（1）首先根据总成本固定成本可变成本，得到第一问的函数关系式； （2）再代入已知总成本，解方程得到第二问的生产数量； （3）最后根据利润=总收入-总成本得到利润函数，利用不亏本即利润不小于0，解不等式得到最低生产数量． 【详解】（1）解：由题意可知，固定成本为3000元，生产n件玩具的可变成本为元， 因为总成本固定成本可变成本，所以． （2）解：把代入，得， 解得， 答：这一天生产了860件该种玩具． （3）解：由题意，总收入为元，总成本为元， 利润总收入总成本， 因此， 不亏本时需要满足，即， 解得， 答：利润关于的函数关系式为，这一天至少生产50件该种玩具才能不亏本． 15．(1)（为正整数） (2)应将生产数量设定为70件 【分析】（1）设与的函数关系式为（），根据“生产10件时，总成本为800元；生产20件时，总成本为1500元”即可得到函数关系式； （2）根据题目给出的利润计算公式列出一元一次方程，求解方程即可得到生产数量． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为（）， 把和代入解析式得， 解得， 因此与的函数关系式为（为正整数）； （2）解：设生产数量为件，根据题意得， 将代入上式得， 整理得， 解得． 答：应将生产数量设定为70件． 16．(1)从甲水果基地调运800千克，从乙水果基地调运700千克． (2)，从甲调运1000千克，从乙调运500千克时总运费最少，最少总运费为6100元． 【分析】（1）利用总运费为等量关系，设未知数列出一元一次方程，求解后验证符合甲乙基地最大调运量即可得到结果． （2）先根据甲乙基地最大调运量确定自变量的取值范围，再根据题意列出总运费关于调运量的函数关系式，利用一次函数的增减性即可求出最小运费和对应的调运方案． 【详解】（1）解：设从甲水果基地调运千克水果，则从乙水果基地调运千克水果． 根据题意可得： ， 化简得， 解得 ， 则 (千克) ， 经检验，，，符合题意． 答：从甲水果基地调运800千克水果，从乙水果基地调运700千克水果． （2）解：设从甲水果基地调运水果千克，总运费为元，则从乙水果基地调运千克水果． 根据甲乙基地的最大调运量可得： ， 解得． 根据题意得： ， 化简得， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值． 将代入得(元)． 此时乙调运量为(千克)，，符合要求． 答：与的函数关系式为，安排从甲调运1000千克水果，从乙调运500千克水果可使总运费最少，最少总运费为6100元． 17．(1)y关于x的函数解析式为； (2)当每月生产产品时，工厂可每月获利80万元． 【分析】（1）分两种情况，分别计算成本即可； （2）每吨产品的出厂价为8万元，则总出厂价为万元，分两种情况根据（1）y关于x的函数解析式列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∵正常运转的固定成本为120万元/月，该产品的原料及加工成本合计为6万元， ∴， 当时， ∵当月产量超过时，由于规模采购议价，超过的部分每吨原料成本还可以减少0.5万元， ∴． 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）解：当时，根据题意得：， 解得（不合题意，舍去）； 当时，根据题意得：， 解得； ．当每月生产产品时，工厂可每月获利80万元． 18． 水蜜桃的进价是每千克5元 【分析】以两种水果总获利1800元为等量关系，设水蜜桃进价为未知数列一元一次方程求解． 【详解】解：设水蜜桃的进价是每千克元，则苹果的进价是每千克元， 根据题意可得， 解得， 答：水蜜桃的进价是每千克5元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $