精品解析：陕西西安市碑林区西安翱翔中学2026-2027学年上学期九年级开学数学试题

九年级数学练习题 （考试时间：100分钟　　满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 实数与在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴确定  的正负及大小关系，通过移项和因式分解解不等式，确定的取值范围，结合选项即可得出答案 【详解】解：由数轴可知，  ，      观察选项，只有 ，符合题意 3. 在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】设红球和黑球共有个，根据题意可以得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设红球和黑球共有个， ∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴纸箱中红球和黑球共有个． 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 5. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 证明，，推出，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ∴， 平分， ， ， ， ∵E是的中点， ， ∵， 是的中位线， 故选：B 6. 如图，矩形的长和宽分别为、，其周长为，面积为，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 144 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形周长与面积公式求出  及  的值，对待求式提取公因式变形后代入计算． 【详解】解：∵矩形的周长为 ，面积为 ，  ∴，，  ∴， ∴． 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0或1个 D. 1或2个 【答案】B 【解析】 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 8. 如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接，延长交于点M，延长交于点M，证明垂直平分得．由勾股定理得，再求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接，延长交于点M， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上． 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 10. 若n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键；由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为10． 11. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式组0＜x+1≤mx+n的解集为 __ ． 【答案】﹣1＜x≤1． 【解析】 【分析】先利用解析式y=x+1确定把P（1，2），直线y=x+1与x轴的交点坐标为（-1，0），然后几何图象，写出在x轴上方，直线y=x+1不在直线y=mx+n上方所对应的自变量的范围． 【详解】把P（a，2）代入y＝x+1得a+1＝2，解得a＝1， 直线y＝x+1与x轴的交点坐标为（﹣1，0）， 所以当﹣1＜x≤1时，0＜x+1≤mx+n， 所以关于x的不等式组0＜x+1≤mx+n的解集为﹣1＜x≤1． 故答案为: ﹣1＜x≤1． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________． 【答案】65°##65度 【解析】 【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°， ∴∠BAD=180°-130°=50°， ∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 14. 如图，矩形中，，，、分别为、上两个动点，且，连接，，当最小时，的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于，求得长度及、水平距离；过点作且，使点与点在异侧，连接，，构造平行四边形将转化为，利用两点之间线段最短确定点位置，过点G作于点K，通过全等三角形进而求出长及三角形面积． 【详解】解：过点E作于，则， 四边形是矩形， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， 为定值 当最小时，最小 过点作且，使点与点在异侧，连接，，过点G作于点K， 则四边形是平行四边形， ∴， ， 当、、三点共线时，最小， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ， ， ， ． 三、解答题（共9小题，计58分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①： 两边同乘3得：， 整理得：， 解得， 解不等式②： 去括号得：， 整理得：， 解得， 所以不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】，． 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分，计算分式减法，再计算分式除法，得出最简结果，解得出，，根据分式有意义的条件得出，，即可得出，把代入化简后的式子，即可得出答案． 【详解】解： ． ∵满足方程， ∴，， ∵有意义， ∴，， 解得：，， ∴， 当时，原式． 17. 如图，已知正方形，请用尺规作图法，在正方形内部找一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：所作点如图所示： 【解析】 【分析】分别以为圆心，长为半径画弧交正方形内部于点，连接，推出为等边三角形，即，再作边的垂直平分线交于点，连接，即可作出满足，且的点． 【详解】略 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：   其中， ∴ ，  ∴ ， 即 ； 【小问2详解】   因式分解得   ∴ 或   解得  19. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用“平行四边形的对边平行且相等”证明,再利用“等量代换”得到,同时由“两直线平行，同位角相等”证明,再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明结论． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得,再由勾股定理计算的长，进而求出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵，， ∴, 在中，, ∴由勾股定理得 ∴的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． 20. 中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化．某经销店在茶品促销会购进一批A，B两款茶杯的金额分别是元、元，A款茶杯单价是B款茶杯的倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯多个． （1）A，B两款茶杯的进货单价是多少元？ （2）为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共个，且满足A款茶杯的数量不少于B款茶杯数量的一半，若两款茶杯的进价不变，请设计出最省钱的进货方案，并求出进货的总费用的最小值． 【答案】（1）A款茶杯进货单价为60元，B款茶杯进货单价为50元 （2）最省钱的进货方案为购进A款茶杯40个，B款茶杯80个，进货总费用的最小值为6400元 【解析】 【分析】（1）设B款茶杯的进货单价为x元，则A款茶杯的进货单价为元，由题意可得， ，解方程即可； （2）设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，总费用w元，由题意可得， ，根据不等式的性质，一次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：设B款茶杯的进货单价为x元，则A款茶杯的进货单价为元， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A款茶杯进货单价为60元，B款茶杯进货单价为50元； 【小问2详解】 解：设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，总费用w元， 由题意可得， ， ∵ ∴w随a的增大而增大， ∵A款茶杯的数量不少于B款茶杯数量的一半， ∴ ，, 解得，且， ∵a为整数， ∴当时，w取得最小值，此时 ， 答：选择购进A款茶杯40个，购进B款茶杯80个，进货总费用最低，进货总费用的最小值为6400元． 21. 陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． （1）若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； （2）班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用列表法以及概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是； 【小问2详解】 解：分别用A，B，C，D表示陕北秧歌、秦腔、西安鼓乐和华阴老腔，用列表法把所有等可能结果表示出来如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学恰好选中同一种的有4种， ∴甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，线段的长是一元二次方程的根，直线上有一点满足，点在第二象限． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）将直线绕点逆时针旋转得直线，若是直线上一动点，过点作轴交直线于点，作轴，轴，垂足分别为，，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式，根据，求出点C的横坐标，即可求解； （2）设旋转后点B的对应点为点P，过点C作轴于点K，过点P作轴于点L，交于点L，则，，证明，可得到点P的坐标，从而得到直线的解析式，设点E的坐标为，则点F的坐标为，，，根据四边形为正方形，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵线段的长是一元二次方程的根， ∴， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在第二象限， ∴，即， 解得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设旋转后点B的对应点为点P，过点C作轴于点K，过点P作轴于点J，交于点L，则，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为，则点F的坐标为，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，取的中点，的中点，连接，则与的数量关系是 ，位置关系是 ； 问题探究 （2）如图②，菱形的周长为，面积为，为中点，若为对角线上一动点，为边上一动点，求的最小值； 问题解决 （3）如图③，某地计划修建五边形的广场，其中，，，，，由于受地理位置的影响，．现规划区域为休闲区，四边形为园林区，根据要求，现计划给休闲区的上设一入口，上设一入口，满足，连接，取的中点，的中点，计划修建步道和；同时计划在园林区修建一条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为的中点，出口定为点，为了提升市民体验的舒适感，想要让园区步道最短，让绿色长廊最长，试求当步道的最小值为米时，绿色长廊的最大值． 【答案】（1） （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得答案； （2）取的中点F，连接，过点A作于点G，根据菱形的性质可推出；证明，得到，则当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，当时，满足，故的最小值为； （3）过点M作，且使得，连接，则四边形是平行四边形，可得；证明是等边三角形，得到，；取的中点G，连接，可证明是等边三角形，得到，，则可证明；故可证明，则可得到当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此得到米，进而可求出米；延长交的延长线于点K，过点D作，且使得，连接，证明，得到，则可证明；证明，得到米；设米，则米，根据，得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵在中，取的中点，的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，取的中点F，连接，过点A作于点G， ∵四边形是菱形， ∴，； ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴； ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， ∵，且， ∴当时，满足， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图③所示，过点M作，且使得，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，； ∵， ∴； 如图③所示，取的中点G，连接， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形，点P为的中点， ∴点P为的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵步道的最小值为米， ∴米 ∵点Q为的中点， ∴，， ∴米， ∴米， ∴米； 如图③所示，延长交的延长线于点K，过点D作，且使得，连接， ∵， ∴，， ∴； ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴米； 设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴绿色长廊的最大值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 （考试时间：100分钟　　满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数与在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 5. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，矩形的长和宽分别为、，其周长为，面积为，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 144 D. 192 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0或1个 D. 1或2个 8. 如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：_________． 10. 若n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于______． 11. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式组0＜x+1≤mx+n的解集为 __ ． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 14. 如图，矩形中，，，、分别为、上两个动点，且，连接，，当最小时，的面积为________． 三、解答题（共9小题，计58分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 16. 先化简，再求值：，其中满足方程． 17. 如图，已知正方形，请用尺规作图法，在正方形内部找一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 解方程： （1）； （2） 19. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的周长． 20. 中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化．某经销店在茶品促销会购进一批A，B两款茶杯的金额分别是元、元，A款茶杯单价是B款茶杯的倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯多个． （1）A，B两款茶杯的进货单价是多少元？ （2）为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共个，且满足A款茶杯的数量不少于B款茶杯数量的一半，若两款茶杯的进价不变，请设计出最省钱的进货方案，并求出进货的总费用的最小值． 21. 陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． （1）若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； （2）班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，线段的长是一元二次方程的根，直线上有一点满足，点在第二象限． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）将直线绕点逆时针旋转得直线，若是直线上一动点，过点作轴交直线于点，作轴，轴，垂足分别为，，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，取的中点，的中点，连接，则与的数量关系是 ，位置关系是 ； 问题探究 （2）如图②，菱形的周长为，面积为，为中点，若为对角线上一动点，为边上一动点，求的最小值； 问题解决 （3）如图③，某地计划修建五边形的广场，其中，，，，，由于受地理位置的影响，．现规划区域为休闲区，四边形为园林区，根据要求，现计划给休闲区的上设一入口，上设一入口，满足，连接，取的中点，的中点，计划修建步道和；同时计划在园林区修建一条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为的中点，出口定为点，为了提升市民体验的舒适感，想要让园区步道最短，让绿色长廊最长，试求当步道的最小值为米时，绿色长廊的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $