专题02 合并同类项重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测）-2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

本讲义聚焦合并同类项与多项式两大核心知识点，系统梳理同类项概念、合并法则及多项式的项、次数、排列方法，搭建从基础概念到综合应用的学习支架，为整式运算及后续代数学习奠定基础。 资料以“基础+提高”分层题型设计为特色，涵盖数字图形规律探索、天干地支与杨辉三角等实际应用，通过即时训练与自我检测，培养学生抽象能力、推理意识和应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题02 合并同类项重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、合并同类项 1 题型二、多项式的项、项数或次数 2 题型三、多项式系数、指数中字母求值 3 题型四、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 4 题型五、数字类规律探索 5 题型六、图形类规律探索 6 第二部分·练提高题型 题型一、合并同类项中的求值计算 1 题型二、天干地支规律问题 2 题型三、杨辉三角问题 3 题型四、规律探索中新定义问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·新疆博尔塔拉·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）合并同类一次项：____________． 知识点02 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广西贵港·期末）如果关于字母x的多项式化简后是一个二次二项式，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【基础题型一 合并同类项】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________． 1．（2026·河北·模拟预测）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）合并同类项：_____ ． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各题的结果是否正确? (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型二 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2026·福建三明·三模）多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·上海·期末）在代数式中，一次项系数是________． 1．（25-26七年级上·广西河池·期末）对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 【基础题型三 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）已知为关于x的二次三项式，当时，该多项式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·期末）一次式 中，一次项系数是_______． 3．（25-26七年级上·全国·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【基础题型四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）将多项式按照字母的降幂排列，结果为_______． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）关于多项式与，下面说法正确的有（    ） ①项数相同；②次数相同；③都是按照x的降幂排列；④和仍是多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）将整式按y降幂排列：______． 3．（25-26七年级上·吉林·期末）已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． 【基础题型五 数字类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 1．（26-27七年级上·广东深圳·期中）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·广东·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 3．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【基础题型六 图形类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·全国·期中）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，都是由棱长为的正方体叠成的立体图形，例如第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，依此规律，第个图形由个正方体叠成．（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江西九江·二模）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第①幅图有6个圆点，第②幅图有10个圆点，第③幅图有14个圆点，……，按照此规律，第⑩幅图中圆点的个数是______． 3．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【提高题型一 合并同类项中的求值计算】 【例1】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【例2】（2026年天津市河东区中招适检数学科试题卷）计算的结果等于________． 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）把看作一个整体，化简： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·全国·期末）化简： (1)； (2)． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【提高题型二 天干地支规律问题】 【例1】（2026·重庆北碚·模拟预测）CR450是我国新一代高速动车组．小懂和小颖是两名铁路爱好者，他们购买了若干CR450AF、CR450BF动车的挂件并摆出以上图案．第①个图中有1个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第②个图中有4个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第③个图中有4个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，第④个图中有9个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件……按照这一规律，则第⑨个图中CR450AF动车的挂件和第⑧个图中CR450BF动车的挂件的个数的差值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（2026·甘肃天水·模拟预测）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）综合与实践：干支纪年法是中国自古以来一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，如甲子、乙丑． (1)小丽研究干支纪年法时发现以下天干地支表，则编号为61的是______年； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …… 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 丑 (2)小刚研究干支纪年法时发现公元4年为甲子年，请你求出公元2025年用干支纪年法表示应为哪一年？ 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 3．（2026·安徽黄山·二模）综合与实践． 【问题情境】 在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②． 【问题呈现】 (1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个； (2) ______； (3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型： 第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______； (4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______； (5)求的值． 【提高题型三 杨辉三角问题】 【例1】（25-26七年级上·河南开封·期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”．如图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，；若用表示图的弹珠数，其中，2，3，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·陕西汉中·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是________．                                 1．（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读材料；杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393年．如图，根据你观察的杨辉三角的排列规律，完成下列问题． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)计算与猜想： ①计算： ②猜想：的展开式中含项的系数是______． (3)运用：若今天是星期五，过7天仍是星期五，那么再过天是星期______． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）探索发现：；；；． 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，____________； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图有颗弹珠；图有颗弹珠；图有颗弹珠，往下依次是第个图，第个图，；若用表示图的弹珠数，其中，求． 3．（25-26七年级上·广东江门·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如： ，它只有一项，系数为1 ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…… (1)写出的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果． (2)的展开式的系数分别为______，系数和为______． (3)展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？ 【提高题型四 规律探索中新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期中）定义新运算型题定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正垫数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（   ） A． B．37 C．1 D．4 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）新趁势・新定义  在这样的一列数，满足条件：，（且为整数）． （1）______； （2）______． 1．（25-26七年级上·吉林四平·阶段检测）定义一种新运算“*”，观察下列各式并完成问题： ； ； ； (1)想一想： ； (2)计算． 2．（25-26七年级上·福建福州·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 3．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）餐厅摆放桌椅，照这样的方式继续排列餐桌，摆n张餐桌可坐人数为. (1)______（用n表示）；______； (2)我们用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数α和正整数n.规定：，如：. ①计算：的值； ②与互为相反数吗？请说明理由. 1．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 4．（25-26七年级上·江苏南京·期中）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 5．（2026·重庆武隆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（     ） A．73 B．57 C．91 D．85 6．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）多项式的次数是______． 8．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如果多项式是关于a的二次二项式，_______． 9．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）多项式a3b - a2+3ab2－4a5+3是______次______项式，按a的降幂排列的结果____________． 10．（2026·黑龙江绥化·二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 11．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）计算 (1) (2) 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 13．（25-26七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 合并同类项重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、合并同类项 1 题型二、多项式的项、项数或次数 2 题型三、多项式系数、指数中字母求值 3 题型四、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 4 题型五、数字类规律探索 5 题型六、图形类规律探索 6 第二部分·练提高题型 题型一、合并同类项中的求值计算 1 题型二、天干地支规律问题 2 题型三、杨辉三角问题 3 题型四、规律探索中新定义问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·新疆博尔塔拉·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴A选项错误； B、 ∵与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴B选项错误； C、∵， ∴C选项正确； D、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并， ∴D选项错误． 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）合并同类一次项：____________． 【答案】 【详解】解：． 知识点02 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广西贵港·期末）如果关于字母x的多项式化简后是一个二次二项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的概念，解题的关键是掌握多项式的概念． 先合并多项式的同类项，再根据二次二项式的定义（最高次为二次，且仅有两项），推导各项系数需满足的条件，进而确定m、n的取值． 【详解】∵ 合并多项式的同类项得：， 又∵ 化简后是二次二项式， ∴ 需满足二次项系数不为0（保证是二次式），且一次项系数为0（使式子仅剩两项）， 即 ， 解得 ， 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 【基础题型一 合并同类项】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 1．（2026·河北·模拟预测）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）合并同类项：_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则，系数相加，字母及指数不变，即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各题的结果是否正确? (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不正确 (2) 不正确 (3) 不正确 (4) 不正确 【分析】根据同类项定义和合并同类项法则，逐一判断各小题结果的正确性． 【详解】（1）解：和不是同类项，不能合并，因此原式结果错误； （2）解：，，因此原式结果错误； （3）解：，，因此原式结果错误； （4）解：和不是同类项，不能合并，因此原式结果错误． 【基础题型二 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2026·福建三明·三模）多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 【例2】（25-26六年级下·上海·期末）在代数式中，一次项系数是________． 【答案】 【分析】先确定代数式中各项的次数，找到一次项，再提取一次项的数字因数即可． 【详解】解：代数式包含三项，分别为，，， 其中是二次项，是一次项，是常数项， 一次项的数字因数为，因此一次项系数是． 1．（25-26七年级上·广西河池·期末）对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 【答案】A 【分析】多项式中单项式的个数为多项式的项数，不含字母的项为常数项，次数最高项的次数为多项式的次数． 【详解】解：多项式是二次三项式，一次项系数是，常数项为． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【答案】 2 【分析】根据多项式的相关概念，确定多项式各项的次数，找出最高次项，进而得到最高次项的系数和常数项. 【详解】解：多项式中，的次数为，的次数为，因此最高次项为，其系数为，多项式中不含字母的项是，因此常数项为. 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)项：，；次数： (2)项：，，，；次数： (3)项：，，；次数： 【分析】多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数． 【详解】（1）解：项：，；次数：； （2）解：项：，，，；次数：； （3）解：项：，，；次数：． 【基础题型三 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）已知为关于x的二次三项式，当时，该多项式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的次数、项数，求代数式的值，根据多项式为二次三项式的条件，得到，，从而求出a和b的值，再代入计算多项式的值即可． 【详解】解：∵为关于x的二次三项式， ∴，， ∴，， ∴该多项式为， 当时，原式． 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海金山·期末）一次式 中，一次项系数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的一次项系数的概念，识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：在表达式中，是一次项，其系数为， 因此一次项系数是． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的次数，单项式的次数，根据单项式的次数为所有字母的指数和，多项式的次数为次数最高项的次数进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，即， ∴． 【基础题型四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【例2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）将多项式按照字母的降幂排列，结果为_______． 【答案】 【分析】确定各项中字母的次数，按的次数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式各项中字母的次数分别为，，，， ∴按字母的降幂排列为：． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）关于多项式与，下面说法正确的有（    ） ①项数相同；②次数相同；③都是按照x的降幂排列；④和仍是多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的相关概念、合并同类项，熟练掌握多项式的项数、次数、降幂排列，合并同类项是解题的关键．根据多项式的相关概念、合并同类项，对题目的说法逐个分析判断即可． 【详解】解：项数为3，项数为3，所以与项数相同，故①正确； 次数为2，次数为2，所以与次数相同，故②正确； 与都是按照x的降幂排列，故③正确； ，所以与的和为单项式，故④错误； 综上所述，说法正确的有①②③，共3个． 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）将整式按y降幂排列：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，把原多项式按照y的指数从高到低重新排列即可得到答案． 【详解】解：将整式按y降幂排列为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·吉林·期末）已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念（次数、常数项、项的系数）以及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的基本概念是解题的关键． （1）根据多项式次数（最高次项的次数）、常数项（不含字母的项）、三次项系数（三次项前的数字因数）的定义，分析多项式的各项即可； （2）按的降幂排列，即把多项式各项按的次数从高到低排列． 【详解】（1）解：∵多项式各项： 的次数：； 的次数：； 的次数：； 的次数：． ∴该多项式的次数是．常数项是，三次项是，其系数是， 故答案为：，，； （2）解：将多项式按的降幂排列为． 【基础题型五 数字类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个方向寻找排列规律，先改写为分数形式，再归纳得到第个数的表达式． 【详解】解：按序号整理给出的数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ 可归纳出规律： 符号规律：第个数的符号为，奇数项为负，偶数项为正； 分子规律：分子为连续奇数，等于； 分母规律：分母为序号的平方加，等于； ∴ 这组数的第个数是． 1．（26-27七年级上·广东深圳·期中）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每一行的最后一个数字分别是，，，易得第行的最后一个数字为，求得最后一个数是在哪一行即可． 【详解】解：每一行的最后一个数分别是，，，， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 2．（26-27七年级上·广东·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 【答案】8 【分析】根据输入数值的奇偶，按照流程图要求代入合适的代数式，求出前四次输出的结果，能够发现输出结果按照8、7、10三个数字进行循环，由此进行求解即可． 【详解】解：开始输入的值是5，5为奇数代入，得到第一次输出的结果是8； 8为偶数代入，得到第二次输出的结果是7； 7为奇数代入，得到第三次输出的结果是10； 10为偶数代入，得到第四次输出的结果是8， 这与第一次输出结果相同，所以输出结果按照8、7、10三个数字进行循环， ， 则第2026次输出的结果是8． 3．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前三个式子的特点，写出第④个式子即可； （2）根据前三个式子的特点，找出规律，进行作答即可； （3）用规律表示出相应的数字，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 【基础题型六 图形类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·全国·期中）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 【答案】 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，都是由棱长为的正方体叠成的立体图形，例如第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，依此规律，第个图形由个正方体叠成．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的变换规律，可知第个图形中的正方体的个数为，据此可得第个图形中正方体的个数． 【详解】解：由图可得： 第个图形中正方体的个数为； 第个图形中正方体的个数为； 第个图形中正方体的个数为； 第个图形中正方体的个数为； 故第个图形中的正方体的个数为， 第个图形中正方体的个数为． 2．（2026·江西九江·二模）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第①幅图有6个圆点，第②幅图有10个圆点，第③幅图有14个圆点，……，按照此规律，第⑩幅图中圆点的个数是______． 【答案】42 【详解】解：第①幅图有个圆点， 第②幅图有个圆点， 第③幅图有个圆点， ……， 第幅图有个圆点， 则第⑩幅图中圆点的个数是． 3．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 【提高题型一 合并同类项中的求值计算】 【例1】（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【答案】A 【分析】能够合并的单项式是同类项，而同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数也相同， 根据定义列方程求解即可． 【详解】解：∵ 单项式与可以合并同类项， ∴ 两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， 可得，. 解得，． 【例2】（2026年天津市河东区中招适检数学科试题卷）计算的结果等于________． 【答案】 【详解】解：． 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）把看作一个整体，化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·全国·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接合并同类项即可； （2）原式先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【提高题型二 天干地支规律问题】 【例1】（2026·重庆北碚·模拟预测）CR450是我国新一代高速动车组．小懂和小颖是两名铁路爱好者，他们购买了若干CR450AF、CR450BF动车的挂件并摆出以上图案．第①个图中有1个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第②个图中有4个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第③个图中有4个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，第④个图中有9个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件……按照这一规律，则第⑨个图中CR450AF动车的挂件和第⑧个图中CR450BF动车的挂件的个数的差值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】分别统计前几个图形中两种挂件的数量，归纳出数量随图形序号变化的规律，进而求出第⑨个图中CR450BF动车的挂件数量和第⑧个图中CR450AF动车的挂件数量． 【详解】解：由题意知，设第n个图中CR450BF动车的挂件数量为，CR450AF动车的挂件数量为， 第①个图中有1个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，记作，， 第②个图中有4个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，记作，， 第③个图中有4个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，记作，， 第④个图中有9个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，记作，， ∴，，，，……， 观察规律可知，第1个图为，从第2个图开始，每两个图的CR450BF动车的挂件数量相同，且底数依次加1，即第个图中，， 当时，，即， ∴， 又∵，，，，……， 观察规律可知，每两个图的CR450AF动车的挂件数量相同，且为连续整数的乘积， 即第个图中，， 当时，，即， ∴， ∴差值为． 【例2】（2026·甘肃天水·模拟预测）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 【答案】 【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1， 第2层三角形的个数为：3， 第3层三角形的个数为：5， 第4层三角形的个数为：7， 第5层三角形的个数为：9， …… 第n层的三角形的个数为：， ∴当时，三角形的个数为：． 1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）综合与实践：干支纪年法是中国自古以来一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，如甲子、乙丑． (1)小丽研究干支纪年法时发现以下天干地支表，则编号为61的是______年； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …… 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 丑 (2)小刚研究干支纪年法时发现公元4年为甲子年，请你求出公元2025年用干支纪年法表示应为哪一年？ 【答案】(1)甲子 (2)乙巳 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得天干每十年为一个循环，地支每十二年为一个循环，那么天干和地支纪年法每六十年为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求出的结果除以60的商和余数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵天干每十年为一个循环，地支每十二年为一个循环， ∴天干和地支纪年法每六十年为一个循环， ∴编号为61的是甲子年； （2）解：∵，， ∴公元2025年的天干为乙，地支为巳， ∴公元2025年用干支纪年法表示应为乙巳年． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）略 3．（2026·安徽黄山·二模）综合与实践． 【问题情境】 在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②． 【问题呈现】 (1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个； (2) ______； (3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型： 第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______； (4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______； (5)求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； (4) (5) 【分析】根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 把原式转化为，再利用的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：图②中，每层有小圆圈个； ∵每层有小圆圈个，共有层, ∴共有小圆圈个； （2）解：∵图②中共有小圆圈个， ∴图①中共有小圆圈个， 即； （3）解：由图可得，同一位置上三个圆圈里面的数的和均为； （4）解：∵每个位置上三个圆圈中数的和均为， ∴图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：； （5）解：∵， ∴， ． 【提高题型三 杨辉三角问题】 【例1】（25-26七年级上·河南开封·期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”．如图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，；若用表示图的弹珠数，其中，2，3，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据题意得出的表达式及熟知裂项相消法是解题的关键． 根据所给图形，依次求出的值，再表示出，结合裂项相消法进行计算，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， ，，，，依次类推， 所以， 则 ． 故选：C． 【例2】（2025·陕西汉中·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是________． 【答案】20 【分析】本题考查数字找规律，解题关键是掌握杨辉三角每行数字个数规律、数字对称特点及除两端1外每个数等于它肩上两数和的规律来推导所需数字． 观察杨辉三角形的规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1，第n行有n个数．要求第7行最中间的数字，需要先确定第7行的数字个数以及中间位置． 【详解】观察杨辉三角形的规律是： 每行数字左右对称，由1开始逐渐增大再减小到1 每行除两端的1以外，每个数都是它肩上两个数的和． 第n行有n个数， ∴第7行有7个数． ∵第5行是1  4   6   4   1， 根据规律，第6行第一个数是1，第二个数是第5行第一个数1与第二个数4相加，即；第三个数是第5行第二个数4与第三个数6相加，即；第四个数是第5行第三个数6与第四个数4相加，即；第五个数是第5行第四个数4与第五个数1相加，即；最后一个数是1． ∴第6行是1  5   10  10  5   1． 第7行：第一个数是1；第二个数是第6行第一个数1与第二个数5相加，即；第三个数是第6行第二个数5与第三个数10相加，即；第四个数是第6行第三个数10与第四个数10相加，即． ∴第7行：1  6  15  20  15  6  1 ∵第7行共7个数，最中间是第4个数， ∴第7行最中间数字是20． 7个数的中间位置是第4个． ∴第7行最中间的数字是20． 故答案为：20． 1．（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读材料；杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393年．如图，根据你观察的杨辉三角的排列规律，完成下列问题． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)计算与猜想： ①计算： ②猜想：的展开式中含项的系数是______． (3)运用：若今天是星期五，过7天仍是星期五，那么再过天是星期______． 【答案】(1)6，15 (2)①1；② (3)六 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确理解杨辉三角是解题关键． （1）观察发现规律补充杨辉三角，据此即可得到答案； （2）①根据杨辉三角化简求值即可； ②将展开，即可得到含项的系数； （3）由展开可知，除了末项为1，其他项均为7的倍数，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：观察可知，展开项中的项数比二项式乘方的次数多1，展开式中的是按其幂的指数由高到低排列，是按其幂的指数由低到高排列，首项的次数与末项的次数相同，都等于二项式乘方的次数，每一行首末两项的次数都是1，中间各项的系数等于它上一行相邻的两个系数之和， 的展开式共有6项，的第三项的系数是15， 故答案为：6，15； （2）解：①； ②， 含项的系数是， 故答案为：； （3）解：， 除了末项为1，其他项均为7的倍数， 若今天是星期五，那么再过天是星期六， 故答案为：六． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）探索发现：；；；． 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，____________； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图有颗弹珠；图有颗弹珠；图有颗弹珠，往下依次是第个图，第个图，；若用表示图的弹珠数，其中，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （）两个连续的正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大的正整数的倒数，据此规律求解即可； （）根据（）的规律求解即可； （）先得出即，然后根据（）的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵图有弹珠（颗）； 图有弹珠（颗）； 图有弹珠（颗）； 图有弹珠（颗）； ； ∴图有弹珠（颗）； 即， ∴， ∴，，，，， 由（）得： ； ． 3．（25-26七年级上·广东江门·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如： ，它只有一项，系数为1 ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…… (1)写出的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果． (2)的展开式的系数分别为______，系数和为______． (3)展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？ 【答案】(1) 如图，根据杨辉三角可知，； 用整式乘法验证： ； 故答案为：． (2)，5，10，10，5，1； (3) ，共有2项，系数分别为1，1， ，共有3项，系数分别为1，2，1， ，共有4项，系数分别为1，3，3，1， ，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1， … ∴展开式中共有项， 令中，，则的展开式中的每一项正好是每一项的系数， ∴的展开式中各项的系数和为． 故答案为：；． 【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式乘法运算； （1）根据完全平方公式进行计算即可得出结果； （2）根据杨辉三角的规律得出展开式的系数，然后求出其系数和即可； （3）根据规律得出中展开式中项数，令，，即可求出各项系数的和． 解题的关键是找出杨辉三角的排列规律． 【详解】（1）略 （2）解：如图，根据杨辉三角可知， ， ∴的展开式的系数分别为，5，10，10，5，1， ∴系数和为：； 故答案为：，5，10，10，5，1；． （3）略 【提高题型四 规律探索中新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期中）定义新运算型题定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正垫数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（   ） A． B．37 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是， 第6次“F”运算的结果是， 第7次“F”运算的结果是， 第8次“F”运算的结果是， … 以此类推可知，从第5次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2024次“F”运算的结果是4， 故选：D 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）新趁势・新定义  在这样的一列数，满足条件：，（且为整数）． （1）______； （2）______． 【答案】 2 【分析】此题考查了数字类规律． （1）根据（且为整数），代入即可求出答案； （2）找到这列数每三个为一个循环周期，且，进一步即可求出答案． 【详解】解：（1）因为，（且为整数）， 所以； 故答案为：2； （2），；…；由此可以看出，这列数每三个为一个循环周期， 因为，， 所以． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·吉林四平·阶段检测）定义一种新运算“*”，观察下列各式并完成问题： ； ； ； (1)想一想： ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算； （1）根据题意找到规律可得结果； （2）根据（1）结果和题意解答本题． 【详解】（1）∵； ； ； ， ∴； 故答案为：； （2）原式 ． 2．（25-26七年级上·福建福州·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算：，是解决问题的关键． （1）根据新定义运算：，，由“隔一数对”定义直接求解即可得到答案； （2）根据新定义运算：，，代值求解即可得到答案； （3）根据新定义运算：，进而裂项相消求和即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时， 则，， ，即有理数为“隔一数对”； ②当，时， 则，， ，即有理数，为“隔一数对”； ③当时， 则，， ，即有理数不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）餐厅摆放桌椅，照这样的方式继续排列餐桌，摆n张餐桌可坐人数为. (1)______（用n表示）；______； (2)我们用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数α和正整数n.规定：，如：. ①计算：的值； ②与互为相反数吗？请说明理由. 【答案】(1)；20 (2)①； ②与互为相反数，理由如下： 是正整数， ； ， ． ☆☆． 即3☆与☆互为相反数． 【分析】本题考查图形变化类规律探究，新定义运算的理解，列代数式，有理数的混合运算，发现图中人数增加规律，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据一张桌子可坐4人，每增加一张桌子可多坐2人可列出表示的代数式；令，可求出的值； （2）①根据新定义，结合（1）中的代数式，代入求值即可； ②根据新定义，结合（1）中的代数式，分别求出33☆与☆的值，再判断即可． 【详解】（1）解：由摆放图形可知，1张桌子坐4人，每增加1张桌子可多坐2人， ； 当时，， 故答案为：；20； （2）解：①将代入得： ； ② 略 1．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，根据概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的次数与项数的概念，解题的关键是根据“四次三项式”的定义，同时满足最高次项次数为4、多项式有三项这两个条件． 根据“四次三项式”的定义，先确定最高次项的次数为4，再保证多项式有三项（一次项系数不为0），进而求出的值． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，且． 由，得或． 若，则，一次项消失，多项式变为二项式，不符合 “三项式” 的条件， 若，则，符合条件． ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项． 合并后结果为常数，说明含x、y的项的系数均为0，据此求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后的结果是3， ∴含x的项系数为0，含y的项系数为0， 即，， 解得，， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期中）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 5．（2026·重庆武隆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（     ） A．73 B．57 C．91 D．85 【答案】A 【分析】根据前四个图案中小太阳的个数，即可得出数字变化的规律，求出第n个图案中小太阳的个数，然后根据规律解答即可． 【详解】第①个图案中有(个)小太阳； 第②个图案中有(个)小太阳； 第③个图案中有(个)小太阳； 第④个图案中有(个)小太阳， ∴第n个图案中有个小太阳， 当时，， ∴第⑧个图案中小太阳的个数是73． 6．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先根据同底数幂乘法法则计算，再合并同类项即可解答． 【详解】解； ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）多项式的次数是______． 【答案】4 【分析】本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记定义是解题关键．根据多项式的次数的定义求解即可得． 【详解】解：∵在多项式中，项的次数是，项的次数是，项1的次数是0， ∴多项式的次数是4， 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如果多项式是关于a的二次二项式，_______． 【答案】4 【分析】此题主要考查了多项式，根据二次二项式可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵多项式是关于a的二次二项式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 9．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）多项式a3b - a2+3ab2－4a5+3是______次______项式，按a的降幂排列的结果____________． 【答案】 五 五 -4a5+a3b-a2+3ab2+3 【分析】根据每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数定义进行判断． 【详解】解：原多项式的最高次项是-4a5，次数是5次，一共有5项，因此是五项式； ∵a3b次数是4，3ab2次数是3，-a2次数是2， ∴按a的降幂排列的结果：4a5+a3ba2+3ab2+3； 故答案为：五、五、4a5+a3ba2+3ab2+3． 【点睛】本题考查了多项式，掌握多项式的项、多项式的次数的定义，把每个单项式的次数判断出是按a的降幂排列解题的关键． 10．（2026·黑龙江绥化·二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 【答案】143 【分析】根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第1幅图中“●”的个数为， 第2幅图中“●”的个数为， 第3幅图中“●”的个数为， ， 则第11幅图中“●”的个数为． 11．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，以及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）先计算乘方和绝对值，然后计算乘除，最后计算加法即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的降幂排列，即按照各单项式中x的指数从大到小的顺序排列单项式． （2）按y的降幂排列，即按照各单项式中y的指数从大到小的顺序排列单项式． 【详解】（1）解：中x的指数为4，中x的指数为0，中x的指数为3，中x的指数为1，中x的指数为2；按x的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． （2）中y的指数为0，中y的指数为4，中y的指数为1，中y的指数为2，中y的指数为3；按y的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． 13．（25-26七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)各项分别为，，，1，系数和为 【分析】此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． （1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解； （2）根据多项式的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 所以． 因为单项式的次数与多项式的次数相同， 所以． 所以． （2）解：多项式为， 它的项分别为，，，1． 系数和为． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或或 【分析】（1）将代入多项式，再根据多项式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的多项式求值即可； （3）根据齐次多项式的定义，由多项式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分三种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，和是同类项时；③当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原多项式，并把该多项式按x的升幂排列即可． 【详解】（1）解：当时，该多项式为，此时该多项式是一个四次三项式，所以该多项式的次数为4，一次项为； （2）解：当时，该多项式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该多项式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该多项式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该多项式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时， 此时多项式为， 即， 所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ②当为六次项，和是同类项时， 此时，且，， 所以， ∴当，该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； 当，该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ③当为六次项，时， 此时多项式为， 即，所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 学科网（北京）股份有限公司 $