第03讲 整式的加法和减法 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年七年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第03讲 整式的加法和减法 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.整式加减 题型巩固 一、整式的加减运算 二、整式加减的应用 三、整式的加减中的化简求值 四、整式加减中的无关型问题 五、带有字母的绝对值化简问题 分层强化 一、单选题（4） 二、填空题（7） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.整式加减 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 题型巩固 题型一、整式的加减运算 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）化简得到（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期末）与的和是 ． 3．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 题型二、整式加减的应用 4．如图，从边长为（2a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为2a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么长方形的面积为（　　） A．4a2+6a B．6a+9 C．12a+9 D．12a+15 5．（2024七年级上·上海·专题练习）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ．（用含有的代数式表示） 6． （24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． 题型三、整式的加减中的化简求值 7．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知多项式（其中是常数），当时的值分别是23和，那么 ． 9．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 题型四、整式加减中的无关型问题 10．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25七年级上·上海闵行·期中）若整式不含项，则 ． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 题型五、带有字母的绝对值化简问题 13．若，则等于（   ） A． B．0 C． D． 14．如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ． 15．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 分层强化 一、单选题 1．设，，已知为任意有理数，那么的值（    ） A．一定为正 B．一定为0 C．一定为负 D．不能确定 2．当，时，的值是（    ） A． B． C． D． 3．若是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则=（　　） A． B． C． D． 4．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同，已知： 甲店的促销方式是：每买杯，第杯原价，第杯半价； 乙店的促销方式是：每买杯，第、杯原价，第杯免费． 例如，分别在甲、乙两店购买杯豆浆，均需杯的价钱若东东想买杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（  ） A．在甲店买杯 B．在乙店买杯 C．在甲店买杯，在乙店买杯 D．在甲店买杯，在乙店买杯 二、填空题 5．在横线上填入合适的代数式：（ ）． 6．已知，则 ． 7．一公交车上原有人，中途下车一半人，又上车若干人后，车上共有乘客人，则上车的乘客有 人． 8．已知，，则的值是 ． 9．如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 10．在春节联欢晚会上，魔术师给观众们表演了一个扑克牌游戏，随机挑选了一位观众，魔术师背对该观众，让该观众按下列四个步骤操作： 第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为，，，四堆且每堆不少于2张牌； 第二步，从A堆中拿出两张放入堆中，从堆中拿出一张放入堆中； 第三步，从堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从堆中拿出与堆相同的牌放入堆中； 第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上． 这时，魔术师准确地说出了该观众手上牌的张数，这个张数是 ． 11．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 三、解答题 12．化简： 13．化简： (1)； (2)． 14．已知，，当，，求的值． 15．先化简，再求值，其中，． 16．已知，，且的值与y的值无关，求的值 17．小唐经过观察、思考，发现并提出猜想：把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新数与原数的和是11的整数倍，小唐的猜想是否正确？先判断，再说明理由． 18．（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 19．如图，学校要利用专款建一个长方形的自行车停车场，其一长边靠墙，其他三面用护栏围起，已知长方形停车场的长为米，宽比长的2倍小米． (1)求长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 整式的加法和减法 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.整式加减 题型巩固 一、整式的加减运算 二、整式加减的应用 三、整式的加减中的化简求值 四、整式加减中的无关型问题 五、带有字母的绝对值化简问题 分层强化 一、单选题（4） 二、填空题（7） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.整式加减 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 题型巩固 题型一、整式的加减运算 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）化简得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，先去括，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·期末）与的和是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减，根据题意列式计算即可． 【详解】解：x与的和是． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号、合并同类项；先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型二、整式加减的应用 4．如图，从边长为（2a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为2a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么长方形的面积为（　　） A．4a2+6a B．6a+9 C．12a+9 D．12a+15 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】根据裁剪拼图可知，所拼成的长方形的长为（2a+3）+2a＝4a+3，宽为（2a+3）﹣2a＝3，由长方形面积的计算方法即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 所拼成的长方形的长为（2a+3）+2a＝4a+3，宽为（2a+3）﹣2a＝3， 所以长方形的面积为（4a+3）×3＝12a+9， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用，根据题意求得长方形的长和宽是解题的关键． 5．（2024七年级上·上海·专题练习）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意．先设最中间的代数式为P，然后根据题意，即可用含的代数式表示出P，利用九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等，利用整式加减即可求解． 【详解】解：设最中间的代数式为p， 由题意可得，， ， 第一列中间的代数式为：， 第一列的三个数之和第三行的三个数之和， ， 化简，得：， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． 【答案】人． 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式的加减，列代数式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．先求得第二组的人数，进而求得第三组的人数即可． 【详解】解：第二组的人数为： ， 第三组的人数为： ． 答：第三组的人数为人． 题型三、整式的加减中的化简求值 7．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，先将式子根据整式的加减运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：B． 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知多项式（其中是常数），当时的值分别是23和，那么 ． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式加减的求值，分别将和代入，再整理相加即可得出答案． 【详解】当时，①． 当时，， 即②， 变形可得，再整体代入②得， 得， 解得． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 题型四、整式加减中的无关型问题 10．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减，先计算两个整式的差，根据结果不含与，即这两项系数为0，即可求出 【详解】解： ， 因为它们的差不含与， 所以，， ∴，， 故选B． 11．（24-25七年级上·上海闵行·期中）若整式不含项，则 ． 【答案】/ 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】此题考查了整式的加减，多项式合并得到结果，根据结果不含项得，即可确定出的值． 【详解】解：原式， 由结果中不含项，得到， 则． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 【答案】11 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的无关项问题，先根据整式的混合运算计算出的值，再根据无关项计算出的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与字母取值无关， ∴， ∴， ∴． 题型五、带有字母的绝对值化简问题 13．若，则等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的性质，有有理数的减法法则．先化简绝对值内的表达式，再根据a的符号确定绝对值的结果． 【详解】解： , ， ， , 故选：D． 14．如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ． 【答案】0或1 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的化简．分和两种情形计算即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 故答案为：0或1． 15．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 分层强化 一、单选题 1．设，，已知为任意有理数，那么的值（    ） A．一定为正 B．一定为0 C．一定为负 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，先整体代入求出，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A． 2．当，时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的化简求值，熟练掌握整式加减的化简求值是解题的关键； 根据整式的加减化简为，再将，代入求解即可； 【详解】解： ， 当，时， ． 故选：B． 3．若是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，再将其代入中进行化简即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵是正整数，且， ∴， ∵a，b为正整数， ∴的最小值为的最大值为， ∴当时，的最大值为， 当时，的最小值为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，会用含字母的式子表示另一个字母是解题的关键． 4．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同，已知： 甲店的促销方式是：每买杯，第杯原价，第杯半价； 乙店的促销方式是：每买杯，第、杯原价，第杯免费． 例如，分别在甲、乙两店购买杯豆浆，均需杯的价钱若东东想买杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（  ） A．在甲店买杯 B．在乙店买杯 C．在甲店买杯，在乙店买杯 D．在甲店买杯，在乙店买杯 【答案】B 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可． 【详解】解：设每杯售价元， 在甲店购买杯的费用为（元）； 在乙店购买杯的费用为（元）； 在甲店买杯，在乙店买杯的费用为（元）； 在甲店买杯，在乙店买杯的费用（元）， ， 在乙店买杯花钱最少， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 二、填空题 5．在横线上填入合适的代数式：（ ）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减．根据整式的加减运算法则，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的加减计算法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 7．一公交车上原有人，中途下车一半人，又上车若干人后，车上共有乘客人，则上车的乘客有 人． 【答案】 【分析】先求出中途下车一半人后车上剩余的人数，再用最终车上的总人数减去剩余人数，从而得到上车的乘客人数，过程中涉及整式的加减运算．本题主要考查了整式的加减运算在实际问题中的应用，熟练掌握去括号、合并同类项的整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：公交车上原有人，中途有一半人下车， 剩下的人数， 上车的乘客有人 故答案为：． 8．已知，，则的值是 ． 【答案】53 【分析】本题考查化简求值．熟练掌握整的加减算法则和整思想的应用是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，将式子化简，然后整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故答案为：53． 9．如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是理解和谐整式的概念，正确计算．根据题意得，则，解得，，将代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵关于x的整式与为常数k的“和谐整式”， ∴， ， 则 解得，， ∴， 故答案为：． 10．在春节联欢晚会上，魔术师给观众们表演了一个扑克牌游戏，随机挑选了一位观众，魔术师背对该观众，让该观众按下列四个步骤操作： 第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为，，，四堆且每堆不少于2张牌； 第二步，从A堆中拿出两张放入堆中，从堆中拿出一张放入堆中； 第三步，从堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从堆中拿出与堆相同的牌放入堆中； 第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上． 这时，魔术师准确地说出了该观众手上牌的张数，这个张数是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了整式的加减的应用，弄清题意是解本题的关键．设第一步中每堆牌的张数为x，根据题中的步骤，写出每一步完成后每堆牌的张数，即可得到答案． 【详解】解：设第一步中每堆牌的张数为x， 则第二步完成后，，，四堆牌张数分别为，，，， 第三步完成后，，，四堆牌张数分别为，，，，即，3，3，， 第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上，手上牌的张数为． 故答案为：6． 11．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据题意，可以设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b，然后根据图形，可以得到x、y与a、b的关系，然后再根据图形可以写出图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差的代数式，然后化简即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b， 由图①可得，，得， 由图②可得，，，得，， 则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是： ， ∵， ∴原式， 河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023，即， 所以图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的H长的差是 故答案为：． 三、解答题 12．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 13．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并同类项即可得到结果； （2）原式去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．已知，，当，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值．将A，B代入化简，把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 15．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入、的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16．已知，，且的值与y的值无关，求的值 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据整式的加减法则计算，进而得到含y的项的系数为0，即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与y的值无关， ∴，， ∴，． 17．小唐经过观察、思考，发现并提出猜想：把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新数与原数的和是11的整数倍，小唐的猜想是否正确？先判断，再说明理由． 【答案】小唐的猜想是正确的，理由见详解 【分析】先根据两位数的表示方法：十位上的数字乘以10加上个位上的数字，表示出原两位数和新两位数，然后求新旧两位数的和即可得解． 本题主要考查整式的加法，理解题意，用代数式准确表示出两位数是解题关键． 【详解】解：小唐的猜想是正确的，理由如下： 由题意得，原两位数为，新两位数为， 则 ， ∴新数与原数的和是11的整数倍， ∴小唐的猜想是正确的． 18．（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负性的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案； （2）先把原多项式合并同类项，再根据不含二次项，即二次项的系数为0求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式； （2） ， ∵关于、的多项式不含二次项， ∴， ∴， ∴． 19．如图，学校要利用专款建一个长方形的自行车停车场，其一长边靠墙，其他三面用护栏围起，已知长方形停车场的长为米，宽比长的2倍小米． (1)求长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了整式的加减法的应用， （1），根据题意可知宽为，再根据整式的加减法法则计算即可； （2），根据护栏的总长度是长加上2个宽，再根据整式的加减法法则计算． 【详解】（1）解：根据题意，得长方形停车场的宽为 （米）； （2）根据题意，得护栏的总长度为 （米） 学科网（北京）股份有限公司 $$