1.3 第1课时 矩形的性质-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

3 矩形的性质与判定 ©第1课时 矩形的性质 1基础在线> 知识要点分类练 知识点1矩形边、角的性质 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩 形，若∠BAG=20°，则∠DAE= () A.10° B.20° C.30° D.45° D 知识点2矩形的对角线相等 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O,若AO=2,则DB的长度是() 第1题图 第2题图 2.(中考·内蒙古)如图，ABCD是一个矩形草 坪，对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 中点，连接OH,且OH=20m,AD=30m,则 6,在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 该草坪的面积为 ( 如果∠AOB=40°，那么∠ADB的度数是() A.2400m2 B.1800m2 A.70 B.45° C.30° D.20° C.1200m2 D.600m 7.(金华期末)如图，四边形ABCD为矩形，对角 3.(中考·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在 线交于点O,DE∥AC交BC的延长线于点E 边AD上，BE=BC,连接CE,若AB=3,AE (1)求证：四边形ACED是平行四边形； =4,则CE的长为 A.1 (2)若∠E=35°，求∠BOC的度数. D B.5 C.22 D.√10 4.(中考·吉林)如图，在矩形ABCD中，点E,F 在边BC上，连接AE,DF,∠BAE=∠CDF. (1)求证：△ABE≌△DCF; (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 第一章6 知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜 13.(南阳期末)已知：如图，O是矩形ABCD对 边的一半 角线的交点，AE平分∠BAD,∠AOD= 8.(中考·福建)某房梁如图所示，立柱AD」 120°，则∠AE0的度数为 BC,E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若AB =AC=8m,则DE的长为m. 第13题图 第14题图 14.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD 第8题图 第9题图 =AB,E,F分别是BD,AC的中点.若AC= 9.(中考·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB= 8,则EF的长为 15.(中考·烟台)如图，BD是矩形ABCD的对 90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥ 角线，请按以下要求解决问题： AC,则图中与∠A互余的角共有 (1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD A.2个 B.3个 关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图 C.4个 D.5个 痕迹)； ②能力在线沙方法规律缤合鳞 … (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F,AB =1,BC=2,求AF的长. 10.(中考·绥化)一个矩形的一条对角线长为 10,两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩 形的面积是 ( A.25 B.25√3 C.25√5 D.50√3 11.(中考·河北)如图，将矩形ABCD沿对角线 BD折叠，点A落在点A处，A'D交BC于点 E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE 内的点C处，下列结论一定正确的是( ) ③拓展在线 培代拔尖提升练。 A.∠1=45°-a B.∠1=a C.∠2=90°-a D.∠2=2a 16.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别是线段OA,OC上的点.若 DE=BF,AD=6,AE=1,CP=号，则DE的 长为 第11题图 第12题图 12.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是矩形，AB=4,AD=6,AB∥x轴，已知点 A(一2，一2)，则点C的坐标是 探究在线九年级数学（上）·BS温警提示：清做完后再看答案！ :四边形ABCD是菱形，边长为8，且点E为AB边中点， ∴.BF=BE=4,DF=DC=8. ..BD=BF+DF=12,OB=OD=6. 参考答案 又，AC⊥BD, ∴.AO=AB2-OB2=2√7，AC=47」 第一章特殊平行四边形 S美w=2AC,BD=号×4万X12=247 1认识特殊的平行四边形 基础在线 CG-S影D=247-3V万. AB 8 1.B2.90°3.8 拓展在线 4.:四边形ABCD是菱形，∴AD=CD. 14.23 ∠D=∠D,DF=DE,∴.△ADF≌△CDE(SAS). 第2课时菱形的判定 ∴∠1=∠2. 基础在线 5.C 1.C 能力在线 6.B7.1 2.AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F, .∠CFB=∠AEB=90°. 8.:四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠BCD=90. 在△ABE与△CBF中， .∠BCE+∠DCF=90°. ∠B=∠B, .CE⊥BG,DF⊥CE,.∠BEC=∠CFD=90° .∠BCE+∠CBE=90°.∴.∠CBE=∠DCF ∠AEB=∠CFB, AE=CF, ∴.△BCE≌△CDF(AAS). .△ABE≌△CBF(AAS)...AB=CB. .BE=CF,CE=DF...CE=CF+EF=BE+EF. ∴.DF=BE+EF 四边形ABCD是平行四边形， ∴.□ABCD是菱形 拓展在线 3.16 9.5 4.(1)AP=AB;射线AQ平分∠BAP 2菱形的性质与判定 (2)证明：：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于 第1课时菱形的性质 点B,∴AP=AB. 基础在线 :射线AQ平分∠BAP,∴∠BAC=∠PAC. 1.A2.A 在△ABC和△APC中， 3.四边形ABCD是菱形，AB=BC. (AB=AP, .AE=CF,..AB-AE=BC-CF, ∠BAC=∠PAC 即BE=BF LAC=AC, '∠B=∠B, .△ABC≌△APC(SAS)..BC=PC ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE 又：以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C, 4.A5.B6.C7.B8.12 .PA=PC.,.AP=AB=BC=PC. 9.(1).菱形ABCD的周长为24， 四边形ABCP是菱形. ∴.AB=AD=BC=CD=6. 5.C 又∠BAD=60°，'.△ABD是等边三角形， 6.AB=5,OA=4,OB=3, ∴BD=AB=AD=6,故对角线BD的长为6. ∴.OB2十OA2=32+42=25,AB2=52=25, (2)由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ..OB2+OA2=AB2. ∴0B=2BD=2×6=3,∠A0B=90 .∠AOB=90°..AC⊥BD 四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形 又AB=6,AO=√AB-OB=√62-32=3√3， 7.(1)(2)(6)(3)(4)(5)或(3)(4)(6) ∴.AC=2A0=6√3， 能力在线 “菱形ABCD的面积为2AC·BD-之×65X6=185. 8.③9.A10.C 11.(1)由垂直平分线得到AE=CE,AD=CD,又由CF∥AB, 故菱形ABCD的面积是18√3， 得∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用AAS证得△AED 能力在线 ≌△CFD. 10.2装1.丽12.)4v5(27 (2)由全等，得AE=CF, 再由CF=AF, 13.（1)菱形对角线互相垂直且平分， 从而得到CE=AE=CF=AF, ∴.BO=√/AB2-AOY=√/52-42=3. .四边形AECF是菱形， ∴.对角线BD=2BO=6,AC=2AO=8. 拓展在线 ∴S美影D=合×ACX BD=-合×6X8=24 12.(1)2a (2)当P为BC的中点时，四边形ADPE是 (2)如图②，连接AC交BD于点O, 菱形.理由如下：连接AP,PD∥AC,PE '∠BEF=∠CFD,∠BFE=∠CFD, ∥AB, ∠BEF=∠DCF, .四边形ADPE为平行四边形 ..BE=BF,DC=DF. AB=AC,P为BC的中点， 一探究在线·九年 ∴∠PAD=∠PAE. :AC=2OB,∴AC=BD. PE∥AB,∴∠PAD=∠APE. ∴.□ABCD是矩形. ∠PAE=∠APE.EA=EP 7.A .四边形ADPE是菱形. 能力在线 (3)点P运动到∠A的平分线与BC的交点时，四边形 8.B9.D ADPE是菱形. 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 3矩形的性质与判定 DE是△ABC的中位线.DE∥BC. 第1课时矩形的性质 ∴.∠FDC+∠ACB=180° 基础在线 :∠ACB=90°，∴∠CDF=90° 1.B2.C3.D BF⊥DF,.∠F=90° 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形 ∴∠BCD=∠CDF=∠F=90. .AB=CD,∠B=∠C=90°. 四边形BCDF是矩形. :∠BAE=∠CDF,∴△ABE≌△DCF(ASA). (2)∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. .AB=2CE=4. ∠B=90°，AB=12,.BE=√AE-AB=5. :∠A=30,BC=2AB=2. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∴.AD∥CE AC-AB-BC=2/3.:CD-AC-/. DE∥AC,.四边形ACED是平行四边形. .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. (2)DE∥AC,∠E=35°，∠OCB=∠E=35. 11.(1)证明：.点O为AB的中点，.OA=OB, 在矩形ABCD中，OB=OC, :AE∥BC,∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. ∴∠OBC=∠OCB=35. △AEO≌△BDO(AAS).∴.AE=BD. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. :AE∥BD,∴四边形AEBD是平行四边形 8.49.C (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形. 能力在线 证明如下： 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 15.(1)如图，△BED即为所求作的三角形. AB=AC,点D是BC边的中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADB=90°. (2)四边形ABCD为矩形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC, 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， 四边形AEBD是矩形. ∠A=90°. 拓展在线 .∠ADB=∠CBD. 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， :∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB. ∴.AD∥BC,AD=BC.∴.∠FAG=∠ECH .BE=DE. :E,F分别是边BC和AD的中点， 设AF=x,则DF=BF=2-x, 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, CE=合BC,A=合AD.∴AF=CE, 解得x=是AF的长为子 .AG=CH,∴.△AFG≌△CEH(SAS). 4 (2)当AC=2AB时，四边形EHFG是矩形. 拓展在线 证明：连接EF交AC于点O,如图. 16.130 由(1)知，△AFG≌△CEH, 2 ∴.FG=EH,∠AGF=∠CHE. 第2课时矩形的判定 ∴.∠FGH=∠EHG.∴.FG∥EH. 基础在线 .四边形EHFG是平行四边形 1.90 ..OG=OH. 2.点O是边AB的中点，.OA=OB. :∠A=∠B,∠ADO=∠BCO, AG-CH-AC,.GH-AC-AG-CH-AC. .△AOD≌△BOC(AAS)..AD=BC ∠A=∠B=90°，∴.∠A+∠B=180°. 0G=0H=AG=CH=子AC.:OA=0C=号AC .AD∥BC..四边形ABCD是平行四边形， ,∠A=90°，.平行四边形ABCD是矩形. CE-BE.OE-AB. 3.∠A=90(答案不唯一) “AC=2AB,0E=4AC 4..AB=AC,AD是∠BAC的平分线 .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∴.∠ADC=90. ∴.OE=OG=OF=OH. ,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， EF=GH.平行四边形EHFG是矩形 ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. 4正方形的性质与判定 CE⊥AN,∠AEC=90°. 第1课时正方形的性质 ∴四边形ADCE为矩形. 基础在线 5.D 1.D2.B3.C4.B5.2 6.AD∥BC,AB∥CD, 6.:四边形ABCD是正方形， .四边形ABCD是平行四边形. .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D, ∴.OB=OD..BD=2OB. I∠BAE=∠DAF, 级数学（上）·BS一 17