重难点01 解一元二次方程专项（4大知识点+6大题型培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点01 解一元二次方程专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 配方法解一元二次方程 知识点二 配方法的应用 知识点三 公式法解一元二次方程 知识点四 因式分解法解一元二次方程 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 直接开平方法 题型2 配方法 题型3 公式法 题型4 因式分解法 题型5 换元法 题型6 解分式方程（化为一元二次） 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 一元二次方程基础解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件与规范解题步骤。 · · 配方法双重考查：利用配方法解方程；利用配方法求代数式最值、代数式恒等变形。 · 判别式基础认知，求根公式来源（由配方法推导）。 · ·换元法：整体思想简化高次、复合型方程，实现降次求解。 · 可化为一元二次方程的分式方程求解，掌握验根规范，识别增根。 · ·不同解法的灵活选择，根据方程结构择优运算，简化计算量。 · 基础层面：单独考查一元二次方程常规解法，以计算题形式出现，侧重解题格式规范性，是试卷基础得分点。 · 能力层面：配方法不再局限解方程，大量结合代数式最值、比较大小进行拓展考查，突出数学转化思想。 · 综合层面：融入换元法渗透整体思想，衔接分式方程，强调 “去分母转化整式方程 + 检验增根” 完整流程。 · 趋势特征：弱化单一机械计算，强化方法选择意识；常在二次函数、一元二次方程实际应用、几何综合题中作为运算工具隐性考查。广州本地考题注重计算准确率，常设分数、负系数等易错条件设置陷阱。 考情解码： · · 分值定位：一元二次方程解法是九年级上册核心计算基石，单独考题分值稳定，同时为后续二次函数、几何压轴、方程应用题提供运算支撑，属于贯穿全册的工具性知识。 · · 学生高频失分点： ① 配方法常数项移项时符号出错、二次项系数未化为 1 直接配方； ② 运用求根公式时，未统一整理成一般形式，混淆 a、b、c 符号； ③ 因式分解法漏根、等式两边随意约去含未知数代数式造成丢解； ④ 解分式方程忘记检验增根。 · · 备考提示：不能只追求算出答案，需要训练 “观察方程结构→优先选择最优解法” 的思维；重点突破配方法拓展应用，重视格式规范；专项区分 “整式方程” 与 “分式方程” 解题流程，规避典型计算陷阱。 知识点一 配方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型1 直接开平方法 【例1】解答下列各题 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1) (2) ， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ∴，． 【变式训练1-1】解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式训练1-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解答； （2）利用配方法解答； 【详解】（1）解：， 移项，得， 解得：，． （2）解：， 移项，得， 方程两边同时加上4，得，即， 则，或， 解得，． 【变式训练1-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 题型2 配方法 【例2】解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解：， ， ， ， ，． 【变式训练2-1】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 【变式训练2-2】【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… (1)请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． (3)已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【答案】(1)因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 取， 所以． (2)1，， (3) 【分析】（1）根据推导思路，将，，代入，得到，结合得出，即可求出； （2）仿照所给方法求解即可； （3）由，得到，根据得到，代入，求出a的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：利用此图解法解方程，那么，，， ∴根据勾股定理，， 方程的正根． （3）解：如图， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 由，得， ∵， ∴． 【变式训练2-3】为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） (1)求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)点B与点C之间的距离为千米 (2)此时甲无人机离B处千米 【分析】（1）易得为等边三角形，得到，进而得到，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可； （2）设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：由图和题意，可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 过点作于点E，则， 在中，由勾股定理得， ∴； 答：点B与点C之间的距离为千米； （2）解：如图，设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则， ∵乙无人机的速度是甲的2倍， ∴， ∴， 作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， 整理，得， ∴， ∴， 解得或； 当时，，不符合题意，舍去； 答：此时甲无人机离B处千米. 题型3 公式法 【例3】用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 【变式训练3-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 或， ． （2）解：， 整理得：， ， ， ． 【变式训练3-2】用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 【变式训练3-3】解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 题型4 因式分解法 【例4】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 【变式训练4-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用求根公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项得： 提公因式得：， 整理得：， 可得：或， 解得：； （2）解：。 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 【变式训练4-2】解方程： (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，. （2）解：， ， 或， 解得，. 【变式训练4-3】解方程： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型5 换元法 【例5】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 【变式训练5-1】请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式训练5-2】（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）9或；（2）1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，完全平方公式，幂的运算，掌握通过换元将复杂方程转化为简单方程，利用整体思想简化计算是解题的关键． （1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解求解； （2）设，将原方程转化为关于的完全平方式，求解后计算幂的值． 【详解】解：（1）设， 则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 的值为9或． （2）根据题意，设， 代入原方程，得，即， 解得，即， ． 【变式训练5-3】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 题型6 解分式方程（化为一元二次） 【例6】解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 【变式训练6-1】解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 【变式训练6-2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ， ∴或， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 故原方程的解为，． 【变式训练6-3】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，化为一元二次方程，再计算判别式，根据根的情况再求解即可； （2）先去分母，化为一元一次方程，再求出方程的根后验根． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 即， ， 无实数根， 故原分式方程无解； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验是原方程的增根， 故原分式方程无解． 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 3．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 5．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 6．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 7．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 8．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 9．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 10．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得，， 移项并合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解：， ， ， ， 解得，． 12．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 14．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：方程左右两边同乘， 得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． （2）解：这里，，． ∴， ∴， 即， 16．年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 【答案】(1) 型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台 (2) 解：能确定，理由如下： 设购进型机车台，型机车台，其中均为非负整数， 由题意可得：， ∴， ∵均为非负整数， ∴； 故能确定型机车购进台. 【分析】 （1）设出未知数，根据两种型号机车的数量关系列分式方程求解，检验根的有效性即可得到结果； （2）设出两种型号的进货台数，根据总费用列出二元一次方程，结合台数为非负整数的限制，即可求出唯一符合条件的解. 【详解】（1）解：设型机车的进货价为万元/台，则型机车的进货价为万元/台， 由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ， 答：型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 解一元二次方程专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 配方法解一元二次方程 知识点二 配方法的应用 知识点三 公式法解一元二次方程 知识点四 因式分解法解一元二次方程 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 直接开平方法 题型2 配方法 题型3 公式法 题型4 因式分解法 题型5 换元法 题型6 解分式方程（化为一元二次） 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 一元二次方程基础解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件与规范解题步骤。 · · 配方法双重考查：利用配方法解方程；利用配方法求代数式最值、代数式恒等变形。 · 判别式基础认知，求根公式来源（由配方法推导）。 · ·换元法：整体思想简化高次、复合型方程，实现降次求解。 · 可化为一元二次方程的分式方程求解，掌握验根规范，识别增根。 · ·不同解法的灵活选择，根据方程结构择优运算，简化计算量。 · 基础层面：单独考查一元二次方程常规解法，以计算题形式出现，侧重解题格式规范性，是试卷基础得分点。 · 能力层面：配方法不再局限解方程，大量结合代数式最值、比较大小进行拓展考查，突出数学转化思想。 · 综合层面：融入换元法渗透整体思想，衔接分式方程，强调 “去分母转化整式方程 + 检验增根” 完整流程。 · 趋势特征：弱化单一机械计算，强化方法选择意识；常在二次函数、一元二次方程实际应用、几何综合题中作为运算工具隐性考查。广州本地考题注重计算准确率，常设分数、负系数等易错条件设置陷阱。 考情解码： · · 分值定位：一元二次方程解法是九年级上册核心计算基石，单独考题分值稳定，同时为后续二次函数、几何压轴、方程应用题提供运算支撑，属于贯穿全册的工具性知识。 · · 学生高频失分点： ① 配方法常数项移项时符号出错、二次项系数未化为 1 直接配方； ② 运用求根公式时，未统一整理成一般形式，混淆 a、b、c 符号； ③ 因式分解法漏根、等式两边随意约去含未知数代数式造成丢解； ④ 解分式方程忘记检验增根。 · · 备考提示：不能只追求算出答案，需要训练 “观察方程结构→优先选择最优解法” 的思维；重点突破配方法拓展应用，重视格式规范；专项区分 “整式方程” 与 “分式方程” 解题流程，规避典型计算陷阱。 知识点一 配方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型1 直接开平方法 【例1】解答下列各题 (1)计算： (2)解方程： 【变式训练1-1】解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【变式训练1-2】解方程： (1)； (2)． 【变式训练1-3】解方程： (1) (2) 题型2 配方法 【例2】解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【变式训练2-1】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【变式训练2-2】【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… (1)请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． (3)已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【变式训练2-3】为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） (1)求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 题型3 公式法 【例3】用适当的方法解方程： (1) (2) 【变式训练3-1】解方程： (1)； (2)． 【变式训练3-2】用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【变式训练3-3】解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 题型4 因式分解法 【例4】解方程： (1)． (2)． 【变式训练4-1】解方程： (1)； (2)． 【变式训练4-2】解方程： (1)； (2) 【变式训练4-3】解方程： (1)， (2)． 题型5 换元法 【例5】解方程： (1)； (2)． 【变式训练5-1】请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式训练5-2】（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【变式训练5-3】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 题型6 解分式方程（化为一元二次） 【例6】解分式方程：． 【变式训练6-1】解方程：． 【变式训练6-2】解方程：． 【变式训练6-3】解方程： (1)． (2)． 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 3．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 6．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 7．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 8．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 9．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 11．解方程： (1)； (2)． 12．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 14．解方程： (1) (2) 15．解方程： (1)； (2)． 16．年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $