25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与一元二次方程”，通过复习回顾方程解法与应用题步骤，搭建从解方程到用方程的学习支架，承接一次方程建模经验，为二次函数等后续内容铺垫。 特色在于一题多设元对比与判别式应用，如矩形问题三种设元优化推理过程，面积存在性判断发展模型意识，结合几何、动点实例培养数学思维，助力学生提升代数建模能力，为教师提供系统教学流程与分层训练资源。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时   一、教材分析 《实际问题与一元二次方程》是人教版九年级上册一元二次方程单元的收尾课时，承接一元二次方程解法，是方程知识落地应用的核心载体. 此前学生已经掌握一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题的思路，本节课将方程模型拓展至二次范畴，既是对方程建模思想的纵向深化，也为后续二次函数、动点几何、最值类综合问题铺垫基础. 在整个初中代数体系中，它搭建起“解方程——用方程——悟模型”的完整闭环，也是中考几何应用题、代数综合题的高频考查内容，兼具承上启下的关键作用. 教材遵循“由几何特例到常规应用，由基础解法到方法优化，由例题探究到变式训练巩固”的递进逻辑. 首先以例1连续整数直角三角形问题切入，依托勾股定理建立一元二次方程，突出解后检验、舍去不合实际根的核心要点；再以例2定长细绳围矩形面积问题，讲解周长、面积背景下列方程的常规步骤；随后设置思考板块，提供多种设元方案，引导对比不同设未知数思路的优劣，优化列式思维；最后配套两道随堂练习，一题探究矩形面积可行性，利用判别式判断方案存在性，另一题结合矩形动点直角存在性，综合运用勾股与方程建模，层层递进落实从列式、求解、验根到实际作答的完整解题流程，完成一元二次方程解决实际问题的方法建构.   二、学情分析 已有基础：九年级学生已经熟练掌握一元二次方程直接开平方、配方法、公式法、因式分解四种解法；此前长期学习一次方程、方程组解应用题，具备“审题——找等量——设未知数——列方程——解方程”的基础建模流程；同时已经学习勾股定理、矩形性质等几何知识，能够理解边长、周长、面积之间的数量关系，具备处理几何情境应用题的知识储备，能独立完成基础列式与运算，有一定分析文字应用题的经验. 存在困难：一是容易忽略方程根的实际意义，解方程后习惯性直接作答，忘记结合边长为正数、长度取值范围舍去不符合题意的根；二是面对几何情境，难以快速梳理隐藏等量关系，设未知数思路单一，不会灵活选择设元方式简化计算；三是遇到判断方案是否存在类问题，不会主动运用一元二次方程判别式分析；四是文字较多的应用题审题杂乱，容易混淆周长、面积公式，出现列式错误；动点几何题型中，线段表示容易出错，建模难度陡增. 认知特点：九年级学生逻辑推理能力逐步成熟，具备自主探究、小组合作讨论的能力，反感单一机械刷题，适合例题引领、对比探究、变式拓展的课堂模式；具象思维仍占优势，对纯代数推导兴趣偏弱，依托几何、生活实例更容易理解抽象的方程建模思想；思维严谨度不足，解题步骤完整性、检验意识薄弱，需要课堂反复强化规范解题习惯.   三、教学目标 1.分析几何周长面积问题的等量关系，列一元二次方程求解，检验舍去不符合实际意义的根. 2.掌握一题多设元思路，对比设元优劣，利用判别式判断实际问题方案是否存在. 3.经历审题建模、求解验根完整流程，提升代数建模、几何转化与逻辑推理能力. 4.感受方程解决现实问题的实用价值，养成严谨验算的解题习惯，体会分类取舍、求真务实的数学理性精神.   四、教学重难点 重点：分析几何周长面积问题的等量关系，列一元二次方程求解，检验舍去不符合实际意义的根. 难点：掌握一题多设元思路，对比设元优劣，利用判别式判断实际问题方案是否存在.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：我们已经学习了哪些解一元二次方程的方法？这些方法的关键思想或注意事项是什么？ 答：直接开平方法(平方根的意义) 配方法(配一次项系数一半的平方) 公式法(先比较Δ与0的大小) 因式分解法(提公因式、完全平方公式、平方差公式) 问题2：列方程解应用题的基本步骤有哪些? 答：审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系. 设：设未知数. 列：根据等量关系列出方程. 解：解方程. 验：检验解在实际问题中是否有意义. 答：写出实际问题的答案. 师生活动：教师依次抛出2个问题，先留时间让学生自主梳理，再点名口述回答，其余学生补充纠错，师生一同整理完善知识点，形成完整复习提纲. 设计意图：以问题链串联旧知，唤醒学生记忆，系统梳理一元二次方程核心基础，构建知识脉络，夯实解题根基，为后续新课学习做好铺垫. · 探究新知 活动一：探究一元二次方程解决几何边长判定问题 问题3： 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 师生活动：教师出示几何探究题，引导学生分层审题，分组尝试两种设元方式列方程，上台板书解题过程；师生对比两种解法，共同总结设元、等量关系、验根三类解题技巧. 分析：等量关系：直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，则a，b，c之间的数量关系为a2+b2=c2. 未知量：直角三角形的三条边长. 设未知数：设较小直角边x，较大直角边x+1，斜边x+2. 列方程：x2 +(x+1)2 = (x+2)2 答：建立模型 若存在，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 应用勾股定理 x2 +(x+1)2 = (x+2)2 求解与结论 解方程，得x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 结论：存在且只有一个这样的三角形，其三边长分别为 3，4，5. 问题4：设三个连续正整数中间的数为x ，能列出怎样的方程？ 答：设定边长 设其三边长依次为 x-1，x，x+1 列出方程(勾股定理)x2 +(x-1)2 = (x+1)2 解方程 整理得：x2-4x=0 解方程，得 x1=4，x2=0(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 总结：利用一元二次方程解决几何边长判定问题的技巧总结： 设元技巧：不能直接设元时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程. 等量关系：直角三角形问题必须明确斜边是最长边，避免将直角边和斜边混淆. 根的检验技巧：几何问题中，边长、长度等物理量必须为正数，所有负根一律舍去. 一般三角形存在性问题按需验证三边关系. 设计意图：融合勾股定理与一元二次方程建模，对比不同设元思路拓宽思维；规范几何应用题验根步骤，强化代数几何综合解题能力. 活动二：探究一元二次方程解决矩形周长面积类问题 问题5：用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 师生活动：教师出示矩形周长面积问题，引导学生结合图形设元列式，学生独立解方程后交流思考：两根为何只对应一个矩形，师生共同辨析长宽互换的几何含义，梳理图形类应用题建模思路. 分析：假设细绳能围成面积为 96 m2 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为 x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为 96 m2 ，得 x(20-x) = 96. 解方程，得： x1=12，x2=8 思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 答：方程两根为长、宽互换，对应同一个矩形. 结论：因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 设计意图：借助矩形模型巩固一元二次方程实际应用，结合图形理解周长、面积等量关系，区分方程解与实际几何图形的对应关系，提升数形结合解题思维. 问题6：除了刚才的设法，我们还有其他设未知数的方法吗？ 师生活动：教师追问多元设元思路，学生分组尝试面积、对称两种设元法解题，板书展示过程；全班对比三种设元优劣，教师引导归纳设元技巧，共同梳理列一元二次方程解应用题完整六步流程. 答：①从面积的角度考虑：可设一边长为 ，那么其邻边长为 ②从对称性考虑：矩形的长与宽的和是20，一条边比20 的一半多，一条边比20的一半少，所以可设一边为，那么其邻边长为. 追问：你能根据以上设未知数的方法列方程求解吗？ 从面积出发 解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m. 根据题意，得 2(x+ )=40. 整理方程得：x2－20x+96=0 解方程，得 x1= 12，x2=8. 检验：x1= 12，x2=8均为正数，且符合边长实际意义. 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 从对称性出发 解：设矩形的一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10-x) m. 根据题意，得 (10+x)(10-x) =96. 整理方程得： 100-x2 =96. 解方程，得 x1=2，x2= - 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10-2=8m； 当 x=-2 时，边长为10-2=8m，10+2=12m. 因此，用一根长为 40m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 问题7：这几种设法有什么不同？哪种设法解方程更简便？为什么？ 答：常规设边法(设一边为x，邻边20-x) 列式直观通用，计算简便. 面积设元法(设一边为x，邻边) 列式易理解，但步骤多还需要验根. 对称设元法(两边设10+x、10-x) 可巧用平方差简化计算，运算最简便，但技巧性更强. 总结：列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)审：审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系. (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异. (3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即一元二次方程. (4)解：求出所列方程的解. (5)验：检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义. (6)答：根据题意，选择合理的答案作答. 设计意图：一题多解拓展学生解题思路，对比优化设元方法，系统规范实际问题解题步骤，提升学生灵活建模、择优解题的能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示数字、动点两类例题，学生独立列式求解，指名上台板书；师生点评纠错，分组交流两类题型设元要点，共同归纳数字、动点问题通用解题步骤，强调取值范围检验. 例1 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为，求原来的两位数． 解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 解这个方程得，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是或． 总结：数字问题设元技巧： (1)三个连续偶数(奇数)：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2， x+2. (2)两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a+b. (3)三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则这个三位数可表示为100a+10b+c. 例2 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点 A 开始沿边AB向终点 B 以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为 t 秒． (1) 用含 t 的式子表示△ PBQ 的面积； (2) 是否存在 t 的值，使得△PBQ的面积等于4 cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由． 分析：当运动时间为 t 秒时，根据点 P ， Q 的运动方向及运动速度，可用含 t 的代数式表示出各线段的长度，从而表示△ PBQ 的面积. 解：(1) 由题意可得 AP=t，BQ=2t ， PB=AB-AP=5-t . ∵BC=6cm，Q的速度为2cm/s， ∴Q从B到C所需时间为 6÷2=3s，故0≤t≤3. 所以S△PBQ=×2t×(5-t)=-t2+5t (2)由(1) 可得S△ PBQ=-t2+5t=4 整理得：t2-5t+4=0. 解得t1=1 ，t2=4 ∵0≤t≤3，∴t2=4不符合题意，舍去. 答：当t=1时，△PBQ的面积等于4 cm2． 总结：解决几何图形中动点问题的方法： (1)审清题意：明确动点的起点、终点、路线和速度等； (2)表示：用含有时间 t 的式子正确表示有关线段的长度； (3)列出方程：根据题目中给出的等量关系(多为图形的面积)列出方程； (4)求解：解出方程并进行验证，舍去不合题意的根. 设计意图：拓展一元二次方程应用题型，分层掌握数字、几何动点建模方法，强化结合实际限制条件验根的习惯，完善综合应用题解题思路. · 课堂练习 【教材练习】 1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域?能围成一个面积为 101m2 的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设矩形的一边长为 x m，邻边长为 (20-x) m. 当矩形面积为 75 m2 时，x(20-x)=75， 解方程，得x1=15，x2=5 因此，矩形区域的两邻边长分别为5m，15m时，矩形区域的面积为75m2. 设矩形的一边长为 x m，其邻边长为 (20-x) m. 当矩形面积为 101 m2 时，x(20-x)=101， 方程化为 x2-20x+101=0. ∵Δ=b2-4ac=(-20)2-4×1×101=-4<0，∴方程无实数根. 因此，用一根长为40m的细绳不能围成一个面积为101m2的矩形区域. 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角. 解：设AE=x(0<x<4)，则BE=4-x， 在Rt△AED和Rt△BCE中， 由勾股定理，得： DE2=12+x2，CE2=12+(4-x)2. 若△DEC为直角，则： DE2+CE2=CD2， ∴ 1+x2+1+(4-x)2=42. 解方程，得： x1=2+，x2=2-. 即 当 AE=2+或2-时，使∠DEC为直角. ∴AB上存在点E，使得∠DEC 为直角. 师生活动：学生独立完成两道教材练习题，两名学生上台板演；教师巡视指导，针对判别式判断、勾股建模易错点讲评，师生共同梳理面积、直角存在性两类题型解题思路. 设计意图：当堂巩固矩形面积、几何直角存在性应用题，复习判别式判断方程解的情况，落实建模与验根步骤，查漏补缺，夯实综合应用能力. 【限时训练】 1.某中学准备建一个面积为的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短，求游泳池的长设游泳池的长为，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  2.空地上有一段长为的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园如图，已知木栅栏总长为，所围成的长方形菜园面积为若，，则(     ) A. 有一种围法 B. 有两种围法 C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法 【答案】A  3.如图在长宽的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路阴影部分，要使观赏路面积占总面积的八分之一，则路宽应满足的方程(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设路宽为， ， ． 故选B． 4.如图所示是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处；把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的对角线长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：四边形是矩形， ， 设， ，， ， 由折叠得，， ，， ， ， 解得，不符合题意，舍去， ， 故选：． 5.某社区有一块长米，宽米的矩形空地，居委会打算将其建设为绿化区．如图，空白部分为绿化区四块绿化区为全等的矩形，阴影部分为路面，四周路口一样宽且宽度不小于米，不大于米，路面造价为每平方米元，绿化区造价为每平方米元，设一块绿化区的长为米．学校计划投资元用于此项工程建设，求一块绿化区的长为多少米． 【答案】解：由题意得路面宽为米，则一块绿化区的宽为米． 依题意得，解得． 由题意列方程得， 整理得， 解得，不合题意，舍去． 答：一块绿化区的长为米．  师生活动：学生独立完成分层练习题，选择题抢答核对，解答题上台书写思路；教师针对矩形道路、折叠、造价综合题点拨等量关系，师生梳理图形类应用题建模与取值检验要点. 设计意图：分层巩固矩形相关一元二次方程应用，融合折叠、造价综合题型，强化数形结合，训练学生结合实际范围取舍根，提升综合解题能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.探究了哪些实际问题与一元二次方程的模型？解决这些模型问题时有哪些注意事项？ 3.利用一元二次方程解决实际问题的步骤有哪些？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：定长线段围矩形的面积规律探究 任务：现有总长 48m 细绳，探究两个问题： 1.围成面积 135m2的矩形，写出两种不同设元方法完整解题过程； 2.猜想该细绳围成矩形的最大面积，借助一元二次方程判别式分析说理. 要求：1.完整书写审题、设元、列方程、解方程、验根步骤，规范作答. 2.两种设元列式的繁琐程度，简单写下你的设元心得. 3.清晰写出面积最大值推理过程. 学科网（北京）股份有限公司 $