江苏省高淳高级中学2027届高三年级9月学情调研数学试卷

**基本信息** 高三开学学情调研卷，以函数、几何、概率等核心知识为载体，通过新定义问题（如性质P）、实际情境（乒乓球比赛）考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，梯度分明适配开学初学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|幂函数性质、集合运算、函数奇偶性与单调性等|第8题结合函数与导数奇偶性考查逻辑推理| |填空题|3题15分|导数几何意义、三角恒等变换、二项式定理排列|14题将二项式展开与概率结合，体现知识融合| |解答题|5题77分|导数证明与参数范围、立体几何线面垂直与空间角、三角函数图象变换、概率统计应用、新定义性质P|19题新定义探究充要条件，考查数学思维严谨性；18题乒乓球比赛情境，落实数据观念与应用意识|

江苏省高淳高级中学2027届高三年级学情调研 数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为 A． B． C． D． 2．已知为全集，集合，满足，则 A． B． C． D． 3．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是 A． B． C． D． 4．“”的一个必要不充分条件是 A． B． C． D． 5．已知平行六面体体积为8，的面积为，则A到平面的距离为 A． B． C． D． 6．若函数（）在上的值域为，则可以为 A．4 B．2 C．1 D． 7．已知，且满足，则的最大值为 A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是 A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是 A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 10．若正实数，满足，则 A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 11．已知函数，则 A．的定义域为 B．的值域为R C．在上单调递增 D．存在，使得函数恰有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 13．已知，则的值为_________. 14．将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，为的导函数. （1）若，求证：； （2）若对任意，，求的取值范围. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，。 （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 18．（17分） 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 19．（17分） 设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； （3）证明：函数具有性质的充要条件是． 第 2 页 共 17 页 1 学科网（北京）股份有限公司 江苏省高淳高级中学2027届高三年级学情调研 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A D B D B AD ABD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．（1）因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 （2）易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围为. 16． （1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 17．（1）， 而，又得：． （2）由（1）知：，，由得： 得，， ，或， 解得：或，， 得：或，， 所以的解集为：. 18． （1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 19． （1）具有性质，理由为： 由得，.设，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得，即， 故函数具有性质. （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得 即，即 由已知方程有三个不相等的实数根. 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值0 ↘ 极小值 ↗ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的a的取值范围是. （3）证明：由得，，由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值0， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，由函数的性质可得，即， 且当时，，，，则， 则存在满足，即成立，所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则， 由得， 若，则，与已知矛盾. 若，设，则， 即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 先证明， 令，，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾. 综上，函数具有性质的充要条件为. 第 8 页 共 17 页 1 学科网（北京）股份有限公司 $