26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（导学案） 一、学习目标 1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k之间的联系，体会转化思想。 2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c的性质，体会数形结合的思想。 学习重点： 探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。 学习难点： 理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k之间的联系。 二、学习过程 （一）复习引入 1.说一说二次函数y=a(x−h)2+k的图象与性质. 2.谈一谈抛物线y=a(xh)2+k与抛物线y=ax2的位置关系. （二）合作探究 思考 对于二次函数y=x2-6x+21，如何画出它的图象并讨论它的性质? （1）提取a，将二次项系数化成 1 （2）配方（括号内加、减一次项系数一半的平方） （3）化为y=a(xh)2+k的形式 追问 如何画出二次函数y=(x-6)2+3的图象? 追问 还有其他平移方法吗？ 思考 如何用描点法画出二次函数y=x2-6x+21的图象? 1.由配方的结果可知，抛物线y=x2-6x+21的顶点是 ，对称轴是 .先利用图象的对称性列表： 2.描点：3.连线： 探究 你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗? 探究 你能用上面的方法研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗? （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2023贵州)已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 分析 对称轴在y轴左侧→ ；对称轴在y轴右侧→ . 中考演练(2026四川攀枝花)已知二次函数y=3x2−4ax+4，其中a为常数． (1)若a=，求此函数图象的顶点坐标； (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． （四）巩固练习 1. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的示意图，则a的值可以是（      ） A．0 B．2 C．−1 D．−2 2. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： 3. 求下列函数的最大值或最小值： (1)y=3x2+2x； (2)y=−2x2+8x−8. 4. 二次函数的图象经过A(−3，0)，B(0，4)，C(4，0)三点，求该二次函数的解析式． （五）当堂检测 1. 抛物线y=2x2−4x的顶点坐标为（      ） A．(1，−2) B．(0，0) C．(2，0) D．(−2，2) 2. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(0，−3)，(2，5)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当−2≤x<2时，直接写出y的取值范围． （六）课堂小结 1.说一说二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质. 2.谈一谈抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=a(x−h)2+k的联系. （七）布置作业 A组题：习题26.2：第3，4，5题. B组题：习题26.2：第6(2)，8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（导学案） 一、学习目标 1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k之间的联系，体会转化思想。 2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c的性质，体会数形结合的思想。 学习重点： 探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。 学习难点： 理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k之间的联系。 二、学习过程 （一）复习引入 1.说一说二次函数y=a(x−h)2+k的图象与性质. 2.谈一谈抛物线y=a(xh)2+k与抛物线y=ax2的位置关系. （二）合作探究 思考 对于二次函数y=x2-6x+21，如何画出它的图象并讨论它的性质? （1）提取a，将二次项系数化成 1 y=(x2-12x)+21 （2）配方（括号内加、减一次项系数一半的平方） y=(x2-12x+36-36)+21 （3）化为y=a(xh)2+k的形式 y=(x-6)2+3 追问 如何画出二次函数y=(x-6)2+3的图象? 追问 还有其他平移方法吗？ 思考 如何用描点法画出二次函数y=x2-6x+21的图象? 1.由配方的结果可知，抛物线y=x2-6x+21的顶点是(6，3)，对称轴是x=6.先利用图象的对称性列表： 2.描点：3.连线： 探究 你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗? 探究 你能用上面的方法研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗? 二次函数y=ax2+bx+c的图象 （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2023贵州)已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是（  D  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 分析 对称轴在y轴左侧→a，b同号；对称轴在y轴右侧→a，b异号. 中考演练(2026四川攀枝花)已知二次函数y=3x2−4ax+4，其中a为常数． (1)若a=，求此函数图象的顶点坐标； 解：∵a=， ∴二次函数y=3x2−4ax+4=3x2−6x+4=3(x−1)2+1， ∴函数图象的顶点坐标为(1，1)； (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 解：∵二次函数为y=3x2−4ax+4， ∴对称轴为直线x==， ∵当1≤x≤4时，y随x的增大而减小， ∴≥4，解得a≥6； ∵当8≤x≤12时，y随x的增大而增大， ∴≤8，解得a≤12， ∴a的取值范围是6≤a≤12． （四）巩固练习 1. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的示意图，则a的值可以是（  B   ） A．0 B．2 C．−1 D．−2 2. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： 3. 求下列函数的最大值或最小值： (1)y=3x2+2x； 当x=− 时，y取得最小值− . (2)y=−2x2+8x−8. 当x=2时，y取得最大值0. 4. 二次函数的图象经过A(−3，0)，B(0，4)，C(4，0)三点，求该二次函数的解析式． 解：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 将A，B，C三点坐标分别代入，得 ，解得， ∴该二次函数的解析式为y=− x2+x+4. （五）当堂检测 1. 抛物线y=2x2−4x的顶点坐标为（   A  ） A．(1，−2) B．(0，0) C．(2，0) D．(−2，2) 2. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(0，−3)，(2，5)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当−2≤x<2时，直接写出y的取值范围． 解：(1)把(0，−3)，(2，5)代入y=x2+bx+c，得 ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3； (2)将二次函数配方得y=x2+2x−3=(x+1)2−4， 函数的对称轴为直线x=−1. ∵1>0 ∴二次函数开口向上， ∴当x=−1时，y取得最小值−4； 当x=−2时，y=(−2+1)2−4=−3， 当x=2时，y=(2+1)2−4=5； ∴当−2≤x<2时，y的取值范围是−4≤y<5． （六）课堂小结 1.说一说二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质. 2.谈一谈抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=a(x−h)2+k的位置关系. （七）布置作业 A组题：习题26.2：第3，4，5题. B组题：习题26.2：第6(2)，8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $