26.2.3 第1课时 配方法求抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点式 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数一般式化为顶点式的配方法，通过“知识链接”回顾顶点式性质及完全平方公式，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步掌握配方步骤。 导学案采用分层探究（a=1与a≠1）、例题变式结合及小结归纳，帮助学生突破配方难点，培养运算能力和推理意识，当堂检测与合作交流促进知识应用，发展模型意识，提升用数学语言表达函数关系的能力。

第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象与性质　26.2.3 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与性质（第1课时）——用配方法求顶点式 【学习目标】 ① 掌握用配方法将二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）化为顶点式 y＝a(x－h)²＋k； ② 能由顶点式直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与最值； ③ 能根据配方结果，解决与抛物线平移、增减性及函数值大小比较有关的简单问题。 【学习重难点】 重点：用配方法把一般式 y＝ax²＋bx＋c 化为顶点式 y＝a(x－h)²＋k；由顶点式直接读顶点(h,k)、对称轴 x＝h 及最值。 难点：a≠1 时先提取系数 a 再配方，过程中的恒等变形与符号处理；结合图象讨论增减性与最值。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 的图象是一条抛物线，其对称轴是直线 x＝________，顶点坐标是（________，________）。 2. 当 a>0 时，抛物线开口向________，有最________值；当 a<0 时，开口向________，有最________值。 3. 完全平方公式：(x＋p)²＝x²＋________x＋________。反过来，对 x²＋bx 配方，要加上一次项系数一半的平方，即加上（________）²，再减去同样的数，保持恒等。 【自主探究】 探究1　a＝1 时的配方（y＝x²＋bx＋c） 【例1】用配方法将下列函数化为 y＝a(x－h)²＋k 的形式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1) y＝x²＋6x＋8 　　＝x²＋6x＋________＋________＋8　　　（加上并减去一次项系数一半的平方） 　　＝(x＋________)²＋________ 　　因为 a＝1>0，开口向________；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。 (2) y＝x²－8x 　　＝x²－8x＋________－________ 　　＝(x－________)²－________ 　　因为 a＝1>0，开口向________；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。 【变式1】(1) y＝x²－2x－4 化为顶点式，并写出顶点坐标与对称轴： 　　y＝x²－2x＋________－________－4＝(x－________)²－________ 　　顶点坐标（________），对称轴 x＝________。 　　(2) y＝x²＋3x－1，求当 x 取何值时 y 有最小值，最小值是多少。 　　y＝x²＋3x＋（________）²－（________）²－1＝(x＋________)²－________ 　　当 x＝________时，y 有最________值，为________。 小结（a＝1 时的配方步骤）：把二次项和一次项结合，加上并减去（________）²，凑成完全平方，得 y＝(x＋________)²＋________。 　　通用结论：y＝x²＋bx＋c＝(x＋________)²＋________。 探究2　a≠1 时的配方（y＝ax²＋bx＋c，a≠0） 【例2】用配方法化为顶点式，并指出开口方向、对称轴、顶点坐标。 (1) y＝－3x²－6x＋2 　　＝－3(x²＋________x)＋2 　　＝－3[x²＋________x＋（________）²－（________）²]＋2 　　＝－3(x＋________)²＋________ 　　开口向下；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。 (2) y＝½x²－4x＋3 　　＝½(x²－________x)＋3 　　＝½[x²－________x＋（________）²－（________）²]＋3 　　＝½(x－________)²＋________ 　　开口向上；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。 【变式2】(1) y＝2x²－8x－6：y＝2(x²－________x)－6＝2(x－________)²－________ 　　开口方向________；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。 　　(2) y＝－⅔x²＋8x－2：y＝－⅔(x²－________x)－2＝－⅔(x－________)²＋________ 　　开口方向________；顶点坐标（________）；对称轴 x＝________。 小结（a≠1 时的配方步骤）：① 提取________（二次项系数 a）；② 括号内对 x 的二次式配方；③ ________常数项；④ 乘回 a 并化简。 　　通用结论：y＝ax²＋bx＋c＝a(x＋________)²＋________。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 【练习1】抛物线 y＝x²＋4x＋2 的对称轴是直线 x＝________。（配方得 y＝(x＋2)²－2） 【练习2】抛物线 y＝－x²＋6x＋1 的最大值是________。（配方得 y＝－(x－3)²＋10） 【练习3】将 y＝－2x²＋8x－8 配方为 y＝－2(x－________)²；再把它的图象向左平移 2 个单位、向上平移 3 个单位，得到 y＝________。 【练习4】抛物线 y＝－2x²＋4x＋6＝－2(x－1)²＋8，开口向下，对称轴 x＝________，顶点（________）；当 x>1 时 y 随 x 增大而________；若 x₁>x₂>1，则 y₁________y₂（填＜或＞）。 【当堂检测】 1. 抛物线 y＝x²＋4x＋2 的对称轴是直线（　　）。A.x＝－2　B.x＝2　C.x＝－4　D.x＝4 2. 二次函数 y＝－x²＋6x＋1 的最大值是________。 3. 将抛物线 y＝－2x²＋8x－8 配方得 y＝________；把它的图象向左平移 2 个单位、向上平移 3 个单位，得到 y＝________。 4. 已知 y＝－2x²＋4x＋6＝－2(x－1)²＋8，若 x₁>x₂>1，则 y₁________y₂（填＜或＞）。 【学习小结】 1. a＝1 配方：加上并减去（________）²，得 y＝(x＋________)²＋________。 2. a≠1 配方四步：________→________→________→________。 3. 顶点式 y＝a(x－h)²＋k 中，对称轴为 x＝________，顶点坐标为（________，________）；当 a>0 时 y 有最________值，当 a<0 时 y 有最________值。 【拓展延伸】 配方法本质上是通过恒等变形把一般式化为顶点式；其顶点横坐标 h＝－，与后续“公式法/顶点坐标公式”的结果一致。 思考：能否直接由系数 a、b、c 写出顶点坐标？________（提示：横坐标 x＝________，纵坐标 y＝________） 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. h；h，k。 2. 上；小；下；大。 3. 2p；p²；(b/2)。 二、自主探究 探究1 例1：(1) 加9减9；(x+3)²-1；开口向上；对称轴x=-3；顶点(-3,-1)。 　　(2) 加16减16；(x-4)²-16；开口向上；对称轴x=4；顶点(4,-16)。 变式1：(1) (x-1)²-5；顶点(1,-5)；对称轴x=1。(2) (x+3/2)²-13/4；当x=-3/2时取最小值-13/4。 小结：加(b/2)²减(b/2)²；(x+b/2)²+(4c-b²)/4。通用：y=(x+b/2)²+(4c-b²)/4。 探究2 例2：(1) -3(x+1)²+5；向下；对称轴x=-1；顶点(-1,5)。(2) ½(x-4)²-5；向上；对称轴x=4；顶点(4,-5)。 变式2：(1) 2(x-2)²-14；向上；对称轴x=2；顶点(2,-14)。(2) -⅔(x-6)²+22；向下；顶点(6,22)；对称轴x=6。 小结：① 提取 a；③ 合并常数项；④ 乘回 a。通用：y=a(x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a)。 三、合作交流 练习1：对称轴 x=-2（选A）。 练习2：最大值为 10。 练习3：配方得 y=-2(x-2)²；左移2上移3得 y=-2x²+3。 练习4：对称轴x=1；顶点(1,8)；减小；y₁<y₂。 四、当堂检测 1. A（对称轴 x=-2）。 2. 最大值为 10。 3. y=-2(x-2)²；平移后 y=-2x²+3（左2上3）。 4. y₁<y₂。 五、学习小结 1. (b/2)；b/2；(4c-b²)/4。 2. 提取a→配方→合并→乘a。 3. h；h，k；小；大。 六、拓展延伸 能；横坐标 x=-b/(2a)，纵坐标 y=(4ac-b²)/(4a)。配方法与公式法（顶点坐标公式）结果一致。 学科网（北京）股份有限公司 $