第9讲 指数与指数函数的图像与性质【16个核心题型归纳】讲义-2027届高考数学一轮复习题型全归纳

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数的图像与性质，覆盖指数幂运算、应用模型、函数定义、定义域、图像变换等16类高考核心题型，按基础运算到综合拓展的逻辑架构梳理知识，通过核心知识梳理、方法技巧提炼、真题例题精讲、分层巩固练习等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 讲义采用问题驱动与分层教学策略，如在指数函数单调性判断中，通过分类讨论底数范围培养数学思维，在图像变换中结合定点追踪法发展几何直观。设置基础巩固与拓展提升练习，配合即时反馈，保障复习效果，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第9讲 指数与指数函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 指数与指数幂的运算 核心知识 1根式性质 2分数指数幂定义 3指数幂运算律 方法技巧 化根式为分数指数幂统一形式后再运算 先化简再求值优先处理负指数零指数分数指数 同底数幂优先合并不同底数化为同底后再运算 【经典例题1】（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以，所以. 【经典例题2】（24-25高一下·北京·阶段检测）（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2） . 【巩固练习1】（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 【巩固练习2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则___________． 【答案】8 【详解】由，可得，由 ，可得，所以． 【巩固练习3】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） . 【题型2】 指数应用题型 核心知识 1常见模型增长率模型衰减模型复利模型 2关键概念初始量增长率时间终值 方法技巧 建模步骤确定初始量增长率/衰减率时间变量写出指数表达式 单位统一时间单位需与增长率周期一致 特殊值检验代入验证初始量是否正确 【经典例题1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 【答案】/ 【分析】依题意可得，两式相除求出，再代入计算可得. 【详解】由题意得， 两式相除得，所以. 当时，， 所以该食品在30℃时的保鲜时间约是小时. 故答案为： 【经典例题2】（2025高二上·河南·学业考试）已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的，则（    ） A．488.96 B．122.24 C．22.92 D．19.10 【答案】C 【分析】根据题意半衰期的定义，经过天后，氡的质量为，再列方程求解即可得答案. 【详解】设放射性元素氡每天的衰减率为， 则经过1天后，氡的质量为， 则经过2天后，氡的质量为， …… 则经过天后，氡的质量为， 因为放射性元素氡的半衰期是3.82天， 所以，即， 所以，即， 所以经过天后，氡的质量为， 因为质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的， 所以，即，解得， 所以. 故选：C 【巩固练习1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 【答案】D 【分析】根据给定的函数模型，求出即得确定的公式，再代入目标数据求解. 【详解】由85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃， 得，解得， 当，，时，需要的冷却时间为， 则，解得，因此，解得， 所以物体温度降为31℃所需要的冷却时间为6min. 故选：D 【巩固练习2】（25-26高三上·四川·阶段检测）一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间（单位：）后，所剩的质量（单位：）与时间t的函数关系为（，均为参数，且）.已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出指数方程，再利用指数的运算得到之间的关系. 【详解】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养. 由题意可得 ， 所以，解得. 故选：A 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】C 【分析】根据公式，结合的不同取值范围分析人口数的变化趋势即可. 【详解】当时，，则逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A正确； 当时，，则逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B正确，C错误； 时，，则值不变，所以这期间人口数不变，故D正确. 故选：C. 【题型3】 指数函数的定义与判断 核心知识 1指数函数标准形式 2判定条件底数且指数为自变量系数为1 3常见非指数函数（幂函数） 方法技巧 三步判定一看底数范围二看指数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分指数函数与幂函数指数函数底数为常数幂函数指数为常数 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 【答案】， 【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解. 【详解】因为的图像过点，所以．① 又因为的反函数图像过点，所以点在原函数的图像上． 所以．② 联立①②得，． 【巩固练习1】（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则 ， ∴. 故选：A. 【巩固练习2】（24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【分析】先由函数图象经过定点推得，求出，再由图象过点确定的值即可. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以， 解得，故. 又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数 且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 【题型4】 指数函数的定义域 核心知识 1标准指数函数定义域为 2复合型指数函数定义域限制来源分母不为0偶次根号下非负对数真数大于0等 方法技巧 分层分析先看指数部分的定义域限制再结合指数函数性质 关键提醒指数函数本身无额外限制定义域问题均来自指数部分的复合结构 【经典例题1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 【经典例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 【巩固练习2】（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时的函数值判断即可. 【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 故选：B 【巩固练习3】（24-25高三上·山东青岛·期末）函数（且）的图象关于点对称，则__________． 【答案】 【分析】根据给定的函数，探讨其对称中心，进而求出. 【详解】函数的定义域为，且， 函数在上有相同的单调性， ， 即，函数的图象关于点对称， 又函数的图象关于点对称，则，所以. 故答案为：. 【题型5】 指数函数的图像变换 核心知识 1平移变换左加右减上加下减 2对称变换与关于轴对称与关于轴对称 3伸缩变换水平伸缩压缩拉伸垂直伸缩 方法技巧 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 定点追踪指数函数过定点可通过追踪定点位置判断变换结果 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分离常数，由反比例函数平移即可画图； （2）由对数函数图像的平移和翻折即可解题. 【详解】（1）因为，先作出的图象，将其图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，即得的图象，如图所示． （2）设，其图象可看作由函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于轴对称得到， 则图象如图示： 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】①当时，作出函数的图像如图（1）． 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，所以． ②当时，作出函数的图像如图（2）， 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，此时无解． 所以实数的取值范围是． 【巩固练习2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以 是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 【题型6】 指数函数型函数的奇偶性 核心知识 1奇偶性定义为偶函数为奇函数 2常见奇偶指数型函数（奇函数）（偶函数） 方法技巧 判定步骤先看定义域是否关于原点对称再计算并与对比 化简技巧利用统一底数形式再整理判断关系 【经典例题1】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设，函数是上的偶函数，则______． 【答案】 【分析】由，列出方程，得到对于任意恒成立，得到，进而求得的值. 【详解】由函数是上的偶函数，可得， 所以，整理得， 所以对于任意恒成立，可得，即， 又因为，所以. 【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 【巩固练习1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. 【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知（），，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】构造函数，并判断函数的奇偶性，再借助奇函数性质计算即得. 【详解】设，显然的定义域为， 则，即是奇函数， 由，得，， 所以. 故选：B 【巩固练习3】（23-24高三上·甘肃·月考）已知是奇函数，则__________. 【答案】/ 【分析】根据函数奇偶性由化简代入计算可解得. 【详解】由函数可知其定义域为， 所以. 因为是奇函数，所以， 即，解得. 故答案为： 【题型7】 指数函数的单调性 核心知识 1标准指数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减 2复合型指数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断 方法技巧 底数分类讨论优先分和两种情况 复合分析先确定内层函数的单调区间再结合外层指数函数的增减性判断整体单调性 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 【经典例题2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用作差法证明函数在 上单调递增； （2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集. 【详解】（1）任取，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是增函数. （2）因为，所以为偶函数， 则由，可得， 即，即，解得. 【巩固练习1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层函数单调递减，复合函数在上单调递增，故内层函数需在上单调递减，结合二次函数性质分类讨论． 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减； 当时，，在上单调递减，符合条件； 当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得； 当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件； 综上可得. 故选 ：B． 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 【题型8】 指数型函数的值域 核心知识 1标准指数函数值域为 2复合型指数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合外层函数求值域 方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 边界注意指数函数值域恒大于0注意等号能否取到 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 【经典例题2】（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 【巩固练习1】（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 【巩固练习2】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数 且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 【题型9】 利用单调性比较指数的大小 核心知识 1同底不同指数利用指数函数单调性比较 2同指数不同底利用幂函数单调性或中间量比较 3不同底不同指数引入中间量（如0 1）比较 方法技巧 分类比较先判断底数是否相同指数是否相同再选择对应方法 中间量法优先判断各数与0 1的大小关系再排序 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用函数，在上单调递增可得答案. 【分析】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 【经典例题2】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 【巩固练习3】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知定义在上的函数在上是减函数，且函数为偶函数，若，，，则的大小关系为__________. 【答案】 【详解】因为是偶函数，所以满足，说明函数的图像关于直线对称.   已知在上是减函数，由对称性可得：在上是增函数. 对于指数函数，由于底数，函数单调递减，因此； 对于指数函数，由于底数，函数单调递增，因此. 综上得. 在上是增函数，因此，即. 【题型10】 解指数不等式 核心知识 1指数不等式基本解法同底化利用指数函数单调性去掉底数 2含参数指数不等式需分类讨论底数的范围（或） 方法技巧 同底化步骤将不等式两边化为同底数幂再根据单调性转化为指数的不等式 分类讨论底数含参数时先分和两种情况再分别求解 【经典例题1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，根据解不等式，当时，即时根据函数的单调性求解, 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得， 又，故. 综上，实数a的取值范围为. 【经典例题2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】令，则不等式可化为，求出，再根据指数函数单调性解出即可求出答案. 【详解】因为，， 所以 令，则， 即，解得或， 则或，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 【巩固练习1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，从而不等式转化为，分和两种情况，得到不等式解集. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以 可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 【巩固练习2】（2025·四川成都·一模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，转化不等式为，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】令，， 由，则， 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则不等式无解； 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则， 即，则. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 【巩固练习3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知均定义在上的奇函数与偶函数满足，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】将替换为可得，根据函数奇偶性得，解得，， 进一步可得到，原不等式等价于，令，不等式等价于， 即可得到不等式的解集． 【详解】定义在上的奇函数与偶函数满足，将换为可得， 又，，代入得，联立方程组， 解得，，故， ，则， 将代入原不等式得，又， 故,故原不等式等价于，即，令，则，不等式等价于， 故等价于，，易知，则只需，即， 也即，，．所以不等式的解集为． 故答案为:． 【题型11】 与指数函数图像有关的综合计算 核心知识 1指数函数图像过定点结合图像的增减性过定点渐近线分析 2图像交点问题转化为方程求解或利用图像性质分析交点个数 方法技巧 图像分析法画出大致图像利用图像的高低位置判断大小关系或解的个数 定点法利用指数函数过定点的性质快速排除错误选项 【经典例题1】（2026·江苏·模拟预测）已知两点在函数的图象上，两点在函数的图象上，且平行于轴，和平行于轴.若线段的长度是线段长度的12倍，则线段长度为__________. 【答案】 【分析】设，利用，再列式因式分解即可求解． 【详解】解：设，则， 线段的长度为，线段的长度为， 因为，所以：， 又因为平行于轴，所以点与点的纵坐标相等， 即，，故， ， ， 即， ， ，， ，解得， 线段长度为． 【经典例题2】（25-26高一上·云南昆明·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，求得坐标得到，取中点，连接，根据为等边三角形表示出点坐标，再根据点在函数的图象上得到关于的方程，求出进而可得点的纵坐标. 【详解】设直线的方程为， 由解得，所以， 由解得，所以， 所以, 如图，取中点，连接，    因为为等边三角形，所以，，， 则， 所以，解得， 所以点纵坐标为， 故答案为： 【巩固练习1】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 【答案】/ 【分析】由函数，可得是其中一个交点，则另一个交点的横坐标为，利用求出的值即可. 【详解】由可知由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 由可知由指数函数向下平移2个单位得到， 结合函数图象易知，    即对于任意且，是函数和的图象的其中一个交点， 又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 【巩固练习2】（24-25高一上·河南郑州·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标. 【详解】 设直线的方程为，由，得，所以点， 由，得，所以点，从而， 如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，则，所以，， 则点，故， 解得，所以点的纵坐标为. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，矩形的三个顶点分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点在函数的图象上求出、、，由可得答案. 【详解】由题中图象可知，点在函数的图象上， 所以，即． 因为点在函数的图象上， 所以． 因为点在函数的图象上，所以． 又因为，所以点的坐标为． 故答案为：． 【题型12】 指数函数的图像与性质综合 核心知识 1综合应用结合定义域值域单调性奇偶性图像变换等性质解题 2常见考点函数图像判断性质综合应用与其他函数的综合题 方法技巧 逐项排除利用性质逐一排除不符合条件的选项 特殊值法代入特殊点（如）快速判断函数性质 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 【经典例题2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由上的奇函数的性质可得，进而求得，再结合定义法判断函数单调性；（2）结合奇函数性质将问题转化为，结合函数单调性可得，进而构造函数，利用函数单调性求解的范围；（3）对不等式左侧因式分解可得，进而求得，再结合题意和函数的值域对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由是奇函数，且定义域为，得. 所以，解得， 故解析式为：， 检验， 所以. 任取，且设， . 因为，且在上是增函数， 所以，即. 又因为且, 所以，即. 综上所述函数在上是增函数. （2）由，可得. 由（1）可知在上是增函数，故，则， 令，由，可得，即. 若存在使得成立，则. 令，设，则，， 当，即时，取得最小值， 所以. （3）根据题意可得， 因为，当时，， 所以，则. 若，则，不等式的解为， 要使不等式对任意恒成立，只需， 即，解得； 若，则，不等式的解为， 即 ，解得； 若，可得，不符合题意， 综上所述实数的取值范围是. 【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）将代入中，得出函数的解析式，然后结合二次函数和指数型复合函数性质求解即可； （3）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）当时，， 此时函数， 由函数的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，根据复合函数单调性得： 在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. 【巩固练习2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，， (2)增函数，解集为 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）令，，转化为在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1） 为定义域为的奇函数， ，即， ，整理得，，解得， 故， 函数的定义域为，则，解得， 所以，； （2）由（1）可知，，则函数在上单调递增． 证明如下：任取，且， 则， ，又， 在上单调递增； （3）当时，，由可得， 即当时，，令， 则， 又，当且仅当时等号成立，所以， 则， 实数m的取值范围． 模块二 学有余力·拓展提升 【题型13】 指数型对勾函数 核心知识 1标准形式 2换元转化令则函数化为（对勾函数） 3性质值域当时单调递减区间单调递增区间 方法技巧 换元优先先换元确定再套用对勾函数性质 极值点定位极小值点对应 【经典例题1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知偶函数，，其中e是自然对数的底数. (1)求实数a的值； (2)已知，，且 （i）判断函数在上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； （ii）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）在R上单调递增，证明见解析；（ii）. 【分析】（1）利用偶函数的定义列式求解. （2）（i）由（1）可得并判断单调性，再利用单调性的定义推理证明；（ii）由单调性和奇偶性的性质可得对所有成立，再求出的范围即可得解. 【详解】（1）由函数是偶函数，得对任意，有， 即，则对任意成立， 所以. （2）（i）由（1）知，而，则， 函数在上单调递增，证明如下： 任取，， 由，得，则，，即， 所以在上单调递增； （ii）函数的定义域为，，则函数是奇函数， 不等式，因此， 依题意，不等式对所有成立，而，则，， 因此，即，则， 所以实数m的取值范围是. 【巩固练习1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知是自然对数的底数，函数， (1)求证：是偶函数； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义证明即可； （2）结合指数函数的单调性得在上单调递减，在上单调递增，然后根据偶函数性质和单调性将不等式转化为，平方后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为是定义域为关于原点对称， 又，所以为偶函数； （2）因为函数是定义域为上偶函数，所以只需判断上单调性即可； 易知，任取， ， 因为，所以， 得，即， 所以在上是单调增函数 由偶函数性质可得在上单调递减， 因此可得在上单调递减，在上单调递增； 由是偶函数得知对函数来说，距离其对称轴轴越近，函数值越小， 因此不等式等价于，即， 也即，整理可得，解得或； 所以不等式的解集为. 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设函数的零点为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由分离参数，利用基本不等式以及函数的单调性来求得的取值范围. （2）根据函数的单调性、零点存在性定理等知识来证得不等式成立. 【详解】（1）由题得， 则， 令，当且仅当时等号成立， 由于单调递增，故，所以． （2），函数在上为增函数， ， 则，由零点存在定理可知， 对任意， 其中，所以，即在上单调递增， 所以，即． 【题型14】 指数型飘带函数 核心知识 1标准形式 2换元转化令则函数化为（飘带函数） 3性质值域当时在上单调递增当时在上单调递减 方法技巧 单调性速判外层飘带函数在恒增内层指数函数的增减性决定整体单调性 奇偶性判断当时为奇函数其余情况非奇非偶 【经典例题1】（25-26高一上·北京西城·期末）已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题． 条件①：是奇函数；条件②：是偶函数． (1)求实数a的值； (2)判断在区间上的单调性，并给出证明； (3)设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递增；证明见解析 (3)在上有一个零点，理由见解析 【分析】（1）选择条件①，根据奇函数的性质，得到，求得；选择条件②：根据，得到对任意恒成立，得到； （2）分和，两种情况，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）当，得到，求得在上单调递增，结合，得到函数在上有一个零点； 若，得到，求得在上单调递增，结合 【详解】（1）解：若选择条件①：是奇函数， 因为，可得，即，解得；经检验成立 若选择条件②：是偶函数， 因为，则，即， 即对任意恒成立，所以，解得. （2）证明：若，可得， 任取，且， 则 ， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上的单调递增函数； 若，可得， 任取，且， 则 ， 因为，可得，可得 所以，即， 所以函数在区间上的单调递增函数； （3）解：当，可得，则， 因为函数在区间为单调递增函数， 又因为函数和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 所以，根据零点的存在性定理，可得在区间上有一个零点， 即函数在上有一个零点； 若，可得，则， 因为函数在区间为单调递增函数， 又因为函数和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 所以，根据零点的存在性定理，可得在区间上有一个零点， 即函数在上有一个零点； 【巩固练习1】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得可求出，然后再验证即可求出的解析式，再解不等式求出集合，从而可求出； （2）令，则将转化为，，然后分和两种情况结合二次函数的性质求出其最小值，然后列方程可求得结果. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 所以，可得， 当时，， 所以，， 所以为奇函数，所以； 由，得，即， 因为，所以， 所以，即； . 所以 （2）令，因为和在上递增， 所以在上递增， 所以时，， 可化为 ，， 当时，在上为减函数，在上为增函数， 所以或, 又，所以合题意. 当时，在上为增函数, ，解得不合题意，舍去, 综上可知. 【巩固练习2】（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断并证明. （2）求出值，判断的单调性，并求出时的范围，再变形并借助二次函数求出值域. （3）化简函数并探讨其性质，进而脱去函数不等式中法则“h”转化为二次函数在闭区间上恒成立问题求解. 【详解】（1）函数是上的奇函数， 证明：由，得，， 所以函数是上的奇函数. （2）由，得，即，而，解得， 函数，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，故当时，， ， 则当时，，当时，， 所以函数的值域是. （3）当时，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，而， 当时，；当时，， 因此，，故函数是上的偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，则依题意对任意，恒成立， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，化简函数，并探讨其性质是求解问题的关键. 【题型15】 指数型一次/一次函数 核心知识 1标准形式 2换元转化令则函数化为（一次分式函数） 3核心方法分离常数法再结合分析值域和单调性 方法技巧 分离常数法拆分出常数项简化分式部分的分析 值域分析结合的范围求分式部分的取值范围再确定整体值域 【经典例题1】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数（为实数）是奇函数. (1)求的值； (2)解不等式：； (3)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解； （2）将不等式等价化简得，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可； （3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一元二次不等式即可得解． 【详解】（1）由题意函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； （2）由（1）知，则， 所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为； （3）由（1）可得； 取任意，且， 则 ， 因为，所以，又易知， 所以，即； 因此函数为单调递减函数； 由可得； 由为单调递减可知，即， 解得，所以的取值范围为. 【经典例题2】（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义，列出方程，求出参数值，判断选项A的正误；根据复合函数单调性，判断选项B的正误；根据基本初等函数的性质，对函数解析式进行分离常数，判断函数值域，判断D的正误；根据函数单调性，解不等式即可，判断C的正误. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立，即， 化简得，得，故A正确； 可得，记，， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 因为，且在上单调递减， 所以，等价于，即， 因为单调递减，所以， 所以的解集为．故C错误； 因为且，所以且，所以或， 所以或，所以的值域为，故D正确． 故选：AD. 【巩固练习1】（25-26高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】，然后结合指数函数的性质和指数运算对选项依次分析即可. 【详解】， 对于A：恒成立，函数的定义域为，故A正确； 对于B：， 所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：当x越大，越大，越大，所以越大，故为增函数，故D错误； 故选：ABC. 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】化去绝对值再利用指数函数的单调性解不等式可判断A；判断函数的奇偶性可判断B；根据复合函数单调性判断C；通过求含指数函数的复合函数的值域判断D. 【详解】 对于A，由得，即，解得.故A正确； 对于B，因为，所以函数是奇函数，其图像关于原点对称，不关于y轴对称，故B不正确； 对于C，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数， 因此函数是增函数，故C正确； 对于D，由，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ACD. 【巩固练习3】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，下面说法正确的有（    ） A．是偶函数 B．的值域为 C．的图象关于原点对称 D．，且，恒成立 【答案】CD 【分析】利用函数的奇偶性判断AC；由指数函数的值域求解原函数的值域判断B；结合指数函数的单调性分类讨论判断D. 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称， 且，所以是奇函数，其图象关于原点对称， 所以A错误C正确； 对于B：因为，所以，即， 因为，所以，所以，故B错误； 对于D：当时，， 因为，所以，，所以， 所以； 当时，， 因为，所以，，所以， 所以； 综上，，且，恒成立，故D正确. 故选：CD 【题型16】 指数型函数的方程的根 核心知识 1指数型方程解法换元法令转化为代数方程求解 2根的个数判断结合函数图像利用单调性和值域判断交点个数 方法技巧 换元法步骤换元转化为关于的方程求解的解再解 图像法画出指数型函数与直线的图像观察交点个数判断方程根的个数 【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用函数零点的意义，把问题转化为函数的图象与直线有两个交点求解. 【详解】由关于的方程恰有两个不同的实数解，得函数的图象与直线有两个交点 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图： 观察图象得，当且仅当或时，函数的图象及直线有两个交点， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 【经典例题2】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数．若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】设，解出关于的一元二次方程的解，画出函数的图象，数形结合求出的取值范围. 【详解】令，原方程化为，即，解得或， 函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为R，作出函数的图象，如图， 观察图象，得当或时，方程有1个解； 当或时，方程有2个解； 当时，有3个解， 由方程有且仅有5个不同实数根， 得或，解得或，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【巩固练习1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解. 【详解】法一：当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且，的图象如图所示， 令，，即， 由有个不等解等价于有两根， 其中一根，另一根， 根据韦达定理，，，则，， ，由，所以． 法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根， 所以， 由①得，则， 将④代入②得：⑤ 又由③得⑥， 由⑤⑥可知，所以. 故答案为：． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】先求得定义域，结合奇函数的性质取特殊求解即可，注意检验． 【详解】由题知，，定义域为， 由是奇函数得（负根舍去）， 则，，符合题意． 故. 2．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 3．（2026·湖南长沙·一模）已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先判断必为斜边，再设，则可由题设条件得到，构建单调函数后可求该方程的解，从而可求. 【详解】因为在曲线上，故必为斜边， 不妨设平行于轴，平行于轴， 设，则， 令，则即， 因为是等腰直角三角形，故， 所以， 整理得， 设， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而， 故的解为， 故. 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 5．（2026·陕西咸阳·三模）函数 在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项. 【详解】已知， ， 因此是奇函数，图象关于原点对称，排除关于轴对称的选项A、B； 当时：，故； 同时，因此负数正数， 即时，图象在轴下方，选项C符合该特征，选项D不符合. 6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可. 【详解】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义可得为奇函数，进而分离常数，结合指数函数的单调性可判断的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，得，， 则，所以函数为奇函数， 又， 由于在上单调递增，且，故在上单调递增， 由，则， 即，解得，则的取值范围为. 9．（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】先确定定义域为且关于原点对称,求出判定为奇函数,再将函数变形为,由在上递增推出在上递减,从而选出答案D. 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 10．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 11．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 12．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】根据函数图象的性质得，进而有时，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题设，且，则， 所以，则时，， 所以，令，则， 当且仅当时取等号，故最大值为. 故选：B 二、多选题 13．（24-25高二下·浙江舟山·期末）定义在上的函数满足，则（    ） A．函数的解析式为 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数的单调递增区间为 D．函数在上的最大值为 【答案】AC 【分析】利用换元法可求出函数的解析式，可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用指数函数和二次函数的基本性质可求出函数在上的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，其中，则， 由可得， 故，A对； 对于B选项，因为，，即， 所以，函数的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，因为， 令，， 内层函数为增函数，外层函数的增区间为，减区间为， 由可得，由复合函数的单调性法则可知，函数的增区间为，C对； 对于D选项，当时，，所以， 由于，故，从而有， 故当时，，即的最大值为，D错. 故选：AC. 三、填空题 14．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 15．（2024·四川内江·一模）已知函数（，且）的图象无限接近直线但又不与该直线相交，且在上单调递增，请写出一个满足条件的的解析式______． 【答案】（答案不唯一，满足且均可） 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数单调性分析可知，再结合指数函数值域可得，即可得结果. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 且在上单调递减， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 若在上单调递增，则， 可得， 若函数图象无限接近直线但又不与该直线相交，可知， 综上所述：且. 例如，可得. 故答案为：（答案不唯一，满足且均可）. 四、解答题 16．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【详解】（1）令，则，可得， 故函数的图象恒过点； （2）函数是奇函数，证明如下： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； （3）当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 17．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 18．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第9讲 指数与指数函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 指数与指数幂的运算 核心知识 1根式性质 2分数指数幂定义 3指数幂运算律 方法技巧 化根式为分数指数幂统一形式后再运算 先化简再求值优先处理负指数零指数分数指数 同底数幂优先合并不同底数化为同底后再运算 【经典例题1】（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高一下·北京·阶段检测）（1） （2） 【巩固练习1】（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. 【巩固练习2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则___________． 【巩固练习3】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2). 【题型2】 指数应用题型 核心知识 1常见模型增长率模型衰减模型复利模型 2关键概念初始量增长率时间终值 方法技巧 建模步骤确定初始量增长率/衰减率时间变量写出指数表达式 单位统一时间单位需与增长率周期一致 特殊值检验代入验证初始量是否正确 【经典例题1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 【经典例题2】（2025高二上·河南·学业考试）已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的，则（    ） A．488.96 B．122.24 C．22.92 D．19.10 【巩固练习1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 【巩固练习2】（25-26高三上·四川·阶段检测）一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间（单位：）后，所剩的质量（单位：）与时间t的函数关系为（，均为参数，且）.已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 【题型3】 指数函数的定义与判断 核心知识 1指数函数标准形式 2判定条件底数且指数为自变量系数为1 3常见非指数函数（幂函数） 方法技巧 三步判定一看底数范围二看指数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分指数函数与幂函数指数函数底数为常数幂函数指数为常数 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 【巩固练习1】（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【巩固练习2】（24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【巩固练习3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【题型4】 指数函数的定义域 核心知识 1标准指数函数定义域为 2复合型指数函数定义域限制来源分母不为0偶次根号下非负对数真数大于0等 方法技巧 分层分析先看指数部分的定义域限制再结合指数函数性质 关键提醒指数函数本身无额外限制定义域问题均来自指数部分的复合结构 【经典例题1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【经典例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【巩固练习2】（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高三上·山东青岛·期末）函数（且）的图象关于点对称，则__________． 【题型5】 指数函数的图像变换 核心知识 1平移变换左加右减上加下减 2对称变换与关于轴对称与关于轴对称 3伸缩变换水平伸缩压缩拉伸垂直伸缩 方法技巧 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 定点追踪指数函数过定点可通过追踪定点位置判断变换结果 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象． (1)； (2)． 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 【巩固练习2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【巩固练习3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型6】 指数函数型函数的奇偶性 核心知识 1奇偶性定义为偶函数为奇函数 2常见奇偶指数型函数（奇函数）（偶函数） 方法技巧 判定步骤先看定义域是否关于原点对称再计算并与对比 化简技巧利用统一底数形式再整理判断关系 【经典例题1】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设，函数是上的偶函数，则______． 【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【巩固练习1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知（），，则（    ） A． B． C．4 D．6 【巩固练习3】（23-24高三上·甘肃·月考）已知是奇函数，则__________. 【题型7】 指数函数的单调性 核心知识 1标准指数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减 2复合型指数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断 方法技巧 底数分类讨论优先分和两种情况 复合分析先确定内层函数的单调区间再结合外层指数函数的增减性判断整体单调性 【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 【巩固练习1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 【题型8】 指数型函数的值域 核心知识 1标准指数函数值域为 2复合型指数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合外层函数求值域 方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 边界注意指数函数值域恒大于0注意等号能否取到 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【经典例题2】（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【巩固练习2】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数 且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 【题型9】 利用单调性比较指数的大小 核心知识 1同底不同指数利用指数函数单调性比较 2同指数不同底利用幂函数单调性或中间量比较 3不同底不同指数引入中间量（如0 1）比较 方法技巧 分类比较先判断底数是否相同指数是否相同再选择对应方法 中间量法优先判断各数与0 1的大小关系再排序 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知定义在上的函数在上是减函数，且函数为偶函数，若，，，则的大小关系为__________. 【题型10】 解指数不等式 核心知识 1指数不等式基本解法同底化利用指数函数单调性去掉底数 2含参数指数不等式需分类讨论底数的范围（或） 方法技巧 同底化步骤将不等式两边化为同底数幂再根据单调性转化为指数的不等式 分类讨论底数含参数时先分和两种情况再分别求解 【经典例题1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【巩固练习1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为___________． 【巩固练习2】（2025·四川成都·一模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知均定义在上的奇函数与偶函数满足，则不等式的解集为______． 【题型11】 与指数函数图像有关的综合计算 核心知识 1指数函数图像过定点结合图像的增减性过定点渐近线分析 2图像交点问题转化为方程求解或利用图像性质分析交点个数 方法技巧 图像分析法画出大致图像利用图像的高低位置判断大小关系或解的个数 定点法利用指数函数过定点的性质快速排除错误选项 【经典例题1】（2026·江苏·模拟预测）已知两点在函数的图象上，两点在函数的图象上，且平行于轴，和平行于轴.若线段的长度是线段长度的12倍，则线段长度为__________. 【经典例题2】（25-26高一上·云南昆明·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 【巩固练习1】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 【巩固练习2】（24-25高一上·河南郑州·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 【巩固练习3】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，矩形的三个顶点分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为______． 【题型12】 指数函数的图像与性质综合 核心知识 1综合应用结合定义域值域单调性奇偶性图像变换等性质解题 2常见考点函数图像判断性质综合应用与其他函数的综合题 方法技巧 逐项排除利用性质逐一排除不符合条件的选项 特殊值法代入特殊点（如）快速判断函数性质 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【经典例题2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【巩固练习2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【巩固练习3】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 模块二 学有余力·拓展提升 【题型13】 指数型对勾函数 核心知识 1标准形式 2换元转化令则函数化为（对勾函数） 3性质值域当时单调递减区间单调递增区间 方法技巧 换元优先先换元确定再套用对勾函数性质 极值点定位极小值点对应 【经典例题1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知偶函数，，其中e是自然对数的底数. (1)求实数a的值； (2)已知，，且 （i）判断函数在上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； （ii）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【巩固练习1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知是自然对数的底数，函数， (1)求证：是偶函数； (2)求不等式的解集. 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设函数的零点为，求证：． 【题型14】 指数型飘带函数 核心知识 1标准形式 2换元转化令则函数化为（飘带函数） 3性质值域当时在上单调递增当时在上单调递减 方法技巧 单调性速判外层飘带函数在恒增内层指数函数的增减性决定整体单调性 奇偶性判断当时为奇函数其余情况非奇非偶 【经典例题1】（25-26高一上·北京西城·期末）已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题． 条件①：是奇函数；条件②：是偶函数． (1)求实数a的值； (2)判断在区间上的单调性，并给出证明； (3)设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【巩固练习1】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 【巩固练习2】（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型15】 指数型一次/一次函数 核心知识 1标准形式 2换元转化令则函数化为（一次分式函数） 3核心方法分离常数法再结合分析值域和单调性 方法技巧 分离常数法拆分出常数项简化分式部分的分析 值域分析结合的范围求分式部分的取值范围再确定整体值域 【经典例题1】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数（为实数）是奇函数. (1)求的值； (2)解不等式：； (3)若实数满足，求的取值范围. 【经典例题2】（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 【巩固练习1】（25-26高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 【巩固练习3】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，下面说法正确的有（    ） A．是偶函数 B．的值域为 C．的图象关于原点对称 D．，且，恒成立 【题型16】 指数型函数的方程的根 核心知识 1指数型方程解法换元法令转化为代数方程求解 2根的个数判断结合函数图像利用单调性和值域判断交点个数 方法技巧 换元法步骤换元转化为关于的方程求解的解再解 图像法画出指数型函数与直线的图像观察交点个数判断方程根的个数 【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围为__________. 【经典例题2】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数．若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________． 【巩固练习1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 2．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（2026·湖南长沙·一模）已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（   ） A． B．2 C． D．3 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（2026·陕西咸阳·三模）函数 在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 10．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 二、多选题 13．（24-25高二下·浙江舟山·期末）定义在上的函数满足，则（    ） A．函数的解析式为 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数的单调递增区间为 D．函数在上的最大值为 三、填空题 14．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 15．（2024·四川内江·一模）已知函数（，且）的图象无限接近直线但又不与该直线相交，且在上单调递增，请写出一个满足条件的的解析式______． 四、解答题 16．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 17．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 18．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $