第25讲 复数（9个核心题型归纳）讲义-2027届高考数学一轮复习题型全归纳

该高中数学讲义聚焦复数高考核心考点，涵盖复数分类、四则运算、实部虚部、相等、象限、模长、模长最值与轨迹、复数方程根及三角表示等9大题型，按“核心知识-方法技巧-经典例题-巩固练习”逻辑架构组织，通过考点系统梳理、解题方法精准指导、真题模拟训练等环节，帮助学生构建完整知识网络，突破复数学习难点。 资料突出题型分类细化与方法技巧靶向突破，如针对纯虚数判断强调“实部为0且虚部非0”的双重条件，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识）。设置分层练习与真题演练，配合即时反馈机制，确保高效复习效果，助力学生提升复数综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第25讲 复数 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 复数的分类 核心知识 复数标准形式 时为实数 时为虚数 且时为纯虚数 方法技巧 判断复数类型务必保证均为实数 纯虚数要同时满足实部等于0且虚部不等于0 只看是否为0区分实数与虚数 题目含参数时先保证实部虚部均为实数 警惕漏掉虚部不为0造成纯虚数题型漏解 【经典例题1】（2026·山东济南·模拟预测）已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 【经典例题2】（2026·广东深圳·模拟预测）设，若复数是纯虚数，则_____. 【巩固练习1】（2026·重庆·模拟预测）复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 【巩固练习2】（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【巩固练习3】（2026·重庆永川·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为______ 【题型2】 复数的四则运算 核心知识 加法： 减法： 乘法： 除法：分母实数化 共轭复数 虚数单位周期性： 方法技巧 加减运算实部虚部分别合并 乘法按多项式展开代入化简 除法固定乘以分母的共轭复数实现分母实数化 高次幂次利用周期循环化简 运算结果必须整理成标准形式 【经典例题1】（2026·河北沧州·一模）已知复数，若复数满足，则______. 【经典例题2】（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知复数（i为虚数单位），且，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·山东济南·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 【题型3】 复数的实部与虚部 核心知识 实部为 虚部为实数不含 方法技巧 先把复数化简为标准形式再提取实部虚部 虚部是系数不是 注意负号不要写错虚部符号 复杂分式复数先做分母实数化再读取实部虚部 参数题目根据实部虚部定义列条件 【经典例题1】（2026·河南漯河·模拟预测）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（  ） A．1 B．i C． D． 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【巩固练习1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（     ） A． B． C．4 D．5 【巩固练习2】（2026·云南玉溪·模拟预测）设为虚数单位，则复数的虚部为________． 【巩固练习3】（2026·天津滨海新区·三模）已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 【题型4】 复数相等 核心知识 若且 等价于 只有两个复数都为实数才可以比较大小 方法技巧 复数相等前提条件实部虚部全部为实数 等式左右两边统一整理成标准形式 实部等于实部虚部等于虚部分别列方程 虚数之间不能比较大小 已知复数相等求解参数直接联立方程组 【经典例题1】（2026·北京丰台·三模）设，其中x，y是实数，则（ ） A． B． C．4 D． 【经典例题2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）设，其中x，y是实数，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【巩固练习2】（2026·安徽·模拟预测）已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【巩固练习3】（2026·北京海淀·三模）已知复数，，，则复数的虚部是（    ） A． B． C．2 D． 【题型5】 复数所在象限 核心知识 复数对应复平面内点 实部对应横坐标 虚部对应纵坐标 实轴上点虚部为0 虚轴上点实部为0 方法技巧 先化简复数得到实部虚部 直接看点属于哪个象限 或者复数落在坐标轴不属于任何象限 含参数题型转化为坐标点的象限不等式约束 坐标轴上复数要排除象限判定 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）已知复数满足，那么复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【经典例题2】（2025·湖南张家界·模拟预测）已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习1】（2026·海南海口·模拟预测）在复平面内，复数所对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·四川绵阳·模拟预测）在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6】 求复数的模长 核心知识 模 方法技巧 化简复数到标准形式后代入模长公式 可以利用模的运算性质简化计算不用展开复数 优先使用计算 模运算不用拆开实部虚部优先用性质 模是大于等于0的实数 【经典例题1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 【巩固练习1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【巩固练习2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，则__________． 【巩固练习3】（2026·山东烟台·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【题型7】 复数的模长最值与轨迹 核心知识 表示复平面上点到定点的距离 代表以为圆心为半径圆 对应椭圆双曲线轨迹 方法技巧 复数模几何意义等价平面解析几何距离 把复数问题转化复平面动点轨迹图形 数形结合求解模的最大值最小值 设转化为实数代数问题 圆上动点到定点距离最值找圆心连线 【经典例题1】（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【经典例题2】（2026·辽宁朝阳·三模）（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则是一个等腰三角形 B．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C．若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D．若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 【巩固练习1】（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ） A．圆心为，半径为1的圆 B．圆心为，半径为1的圆 C．过点的直线 D．过点的直线 【巩固练习3】（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【题型8】 复数范围内方程的根 核心知识 实系数一元二次方程 判别式时在复数域有一对共轭虚根 韦达定理复数范围内仍然成立 方法技巧 利用求根公式书写虚根根互为共轭复数 韦达定理不管判别式正负都可以使用 求复数方程根可直接设代入方程求解实数 实系数虚根一定成对共轭出现 区分实系数与复系数方程复系数虚根不共轭 【经典例题1】（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【经典例题2】（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 【巩固练习1】（2026·上海浦东新·三模）已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【巩固练习2】（2026·湖南湘西·三模）（多选）已知复数是关于的方程（其中）的根，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为2 【巩固练习3】（2026高三下·四川成都·专题练习）在复数范围内，方程的两个根为和，则（    ） A． B． C． D． 【题型9】 复数的三角表示 核心知识 为模 为辐角辐角主值范围 乘法：模相乘辐角相加 除法：模相除辐角相减 【经典例题1】（2026·湖南长沙·三模）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ） A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【经典例题2】（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河南南阳·一模）（多选）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【巩固练习3】（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则（  ） A． B． C． D． 2．（2026·全国·模拟预测）已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·三模）已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·河南周口·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为原点，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 5．（2026·福建福州·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·模拟预测）已知复数，则（     ） A．1 B． C．2 D． 7．（2026·河北邢台·三模）已知，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2026·吉林延边·二模）设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（    ） A．虚部为 B． C． D． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数满足为纯虚数，则（    ） A．13 B．5 C． D． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 二、多选题 11．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（     ） A．复平面内与对应的点在第一象限 B． C． D． 12．（2026·河南信阳·三模）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 14．（2026·湖南长沙·三模）已知方程的复数解为，，则（    ） A． B． C．若，其中，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则的最小值是 15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 16．（25-26高一下·甘肃定西·期中）若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 17．（2026·江苏·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 三、填空题 19．（2026·安徽宿州·模拟预测）复数满足，则的实部为______. 20．（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第25讲 复数 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 复数的分类 核心知识 复数标准形式 时为实数 时为虚数 且时为纯虚数 方法技巧 判断复数类型务必保证均为实数 纯虚数要同时满足实部等于0且虚部不等于0 只看是否为0区分实数与虚数 题目含参数时先保证实部虚部均为实数 警惕漏掉虚部不为0造成纯虚数题型漏解 【经典例题1】（2026·山东济南·模拟预测）已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由为纯虚数，则，可得. 【经典例题2】（2026·广东深圳·模拟预测）设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】1 【详解】， 又为纯虚数，所以， 解得． 【巩固练习1】（2026·重庆·模拟预测）复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 【答案】 【详解】由复数为实数，则，得. 【巩固练习2】（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 【巩固练习3】（2026·重庆永川·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为______ 【答案】 【详解】复数为虚数虚部； 为纯虚数实部且虚部. 已知有3种取法，有2种取法，要求为虚数，即， 可任选集合中的数，共种等可能情况； 其中满足为纯虚数的情况只有：，共种情况. 因此由条件概率公式可得. 【题型2】 复数的四则运算 核心知识 加法： 减法： 乘法： 除法：分母实数化 共轭复数 虚数单位周期性： 方法技巧 加减运算实部虚部分别合并 乘法按多项式展开代入化简 除法固定乘以分母的共轭复数实现分母实数化 高次幂次利用周期循环化简 运算结果必须整理成标准形式 【经典例题1】（2026·河北沧州·一模）已知复数，若复数满足，则______. 【答案】 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 【经典例题2】（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简原等式，然后根据复数的乘除运算计算即可. 【详解】因为，所以移项化简得， 所以. 【巩固练习1】（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 【巩固练习2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知复数（i为虚数单位），且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， ，， ． 【巩固练习3】（2026·山东济南·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以 【题型3】 复数的实部与虚部 核心知识 实部为 虚部为实数不含 方法技巧 先把复数化简为标准形式再提取实部虚部 虚部是系数不是 注意负号不要写错虚部符号 复杂分式复数先做分母实数化再读取实部虚部 参数题目根据实部虚部定义列条件 【经典例题1】（2026·河南漯河·模拟预测）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（  ） A．1 B．i C． D． 【答案】A 【详解】由题知， 所以z的虚部为1. 故选：A. 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】，所以的虚部为2. 【巩固练习1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】设，则， 解得，，计算得，所以， 所以，所以虚部为4. 【巩固练习2】（2026·云南玉溪·模拟预测）设为虚数单位，则复数的虚部为________． 【答案】/ 【详解】． 所以复数的虚部为. 【巩固练习3】（2026·天津滨海新区·三模）已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 【答案】 【分析】先计算复数的模、化简分母，再通过分母有理化求得，进而得到其共轭复数，最终确定共轭复数的虚部 【详解】； 又，因此； 则 因此； 故的虚部为. 【题型4】 复数相等 核心知识 若且 等价于 只有两个复数都为实数才可以比较大小 方法技巧 复数相等前提条件实部虚部全部为实数 等式左右两边统一整理成标准形式 实部等于实部虚部等于虚部分别列方程 虚数之间不能比较大小 已知复数相等求解参数直接联立方程组 【经典例题1】（2026·北京丰台·三模）设，其中x，y是实数，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的充要条件求出实数x，y的值，再代入复数模的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为x，y是实数，所以，所以， 所以. 【经典例题2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得到，且，结合选项，逐项列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】设，因为，可得，即， 又因为，且，可得， 对于A，若，可得，解得， 此时，所以A错误； 对于B，若，可得，解得， 此时，所以B错误； 对于C，若，可得，解得， 此时，所以C正确； 对于D，若，可得，解得， 此时，所以D错误. 【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）设，其中x，y是实数，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， 则. 【巩固练习2】（2026·安徽·模拟预测）已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 【巩固练习3】（2026·北京海淀·三模）已知复数，，，则复数的虚部是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先展开化简等式左侧的复数乘积，利用复数相等的充要条件列方程求解的值，再根据虚部的定义得出结果. 【详解】因为，所以，即， 由，得：解得，所以复数的虚部是. 【题型5】 复数所在象限 核心知识 复数对应复平面内点 实部对应横坐标 虚部对应纵坐标 实轴上点虚部为0 虚轴上点实部为0 方法技巧 先化简复数得到实部虚部 直接看点属于哪个象限 或者复数落在坐标轴不属于任何象限 含参数题型转化为坐标点的象限不等式约束 坐标轴上复数要排除象限判定 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）已知复数满足，那么复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】对应点坐标为，在第四象限. 【经典例题2】（2025·湖南张家界·模拟预测）已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则化简可得，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以. 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 【巩固练习1】（2026·海南海口·模拟预测）在复平面内，复数所对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】复数所对应的点为， 又， 所以复数所对应的点在第一象限． 【巩固练习2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由复数在复平面内对应的点在第三象限， 得，解得，即. 【巩固练习3】（2026·四川绵阳·模拟预测）在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，得， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 【题型6】 求复数的模长 核心知识 模 方法技巧 化简复数到标准形式后代入模长公式 可以利用模的运算性质简化计算不用展开复数 优先使用计算 模运算不用拆开实部虚部优先用性质 模是大于等于0的实数 【经典例题1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解. 【详解】，． 所以． 故． 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】设，，由条件结合复数相等的性质列方程求，再求即可. 【详解】设，，则 得到，所以， 故，故，， 所以，，所以，故. 【巩固练习1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法与除法及复数的模计算即可. 【详解】由，得. 所以. 【巩固练习2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，则__________． 【答案】 【分析】直接设（且），再根据复数的模的定义及复数相等的定义可得. 【详解】设（且），则，. 因为，由复数相等的定义得①. 又因为，所以，， 化简整理得②，将②代入①得，解得或. 当时，则，所以，不符合题意； 当时，则，所以，. 【巩固练习3】（2026·山东烟台·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】解法一：利用求根公式解出z，再求. 解法二：方程的两根为共轭复数，利用韦达定理得，再求. 【详解】方法一： 由，又因为， 可得，所以. 方法二： 设方程的两根为，由，可知， 因为，所以. 【题型7】 复数的模长最值与轨迹 核心知识 表示复平面上点到定点的距离 代表以为圆心为半径圆 对应椭圆双曲线轨迹 方法技巧 复数模几何意义等价平面解析几何距离 把复数问题转化复平面动点轨迹图形 数形结合求解模的最大值最小值 设转化为实数代数问题 圆上动点到定点距离最值找圆心连线 【经典例题1】（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 【经典例题2】（2026·辽宁朝阳·三模）（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则是一个等腰三角形 B．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C．若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D．若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 【答案】AD 【分析】对A、B和C，根据选项条件，利用复数的几何意义，即可求解；对D，根据条件，利用复数的几何意义及复数的运算，得到，即可求解. 【详解】对于A，由，知，故为等腰三角形，所以A正确； 对于B，设复数在复平面内对应的点为P，由，得到， 若与A，B两点重合，不满足，所以点P的轨迹一定不是以AB为直径的圆，故B错误； 对于C，设复数在复平面内对应的点为P，由， 得到，所以点P为的外心，故C错误； 对于D，设，设复数z在复平面内对应的点为P， 则，所以， 则，所以点P为的重心，D正确． 【巩固练习1】（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ） A．圆心为，半径为1的圆 B．圆心为，半径为1的圆 C．过点的直线 D．过点的直线 【答案】A 【分析】设，根据题意结合共轭复数和模长求，代入整理可得，即可判断动点的轨迹方程. 【详解】设，，，则，， 因为，即， 则 由实部与虚部对应相等得， 可得，解得，可得， 由可得， 即点到点的距离为1， 所以构成的轨迹为圆心为，半径为1的圆. 【巩固练习3】（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【答案】A 【分析】设复数的代数形式，求出的表达式，再根据复数的模的性质和椭圆的定义确定轨迹即可. 【详解】令 . 因为，所以. 又， 所以. 设 ，则，， 所以，. 代入得，，即， 也即， 因为，所以，所以该曲线表示焦点在轴上的椭圆，其中，， 所以，则，焦距. 所以复数在复平面上对应的点的轨迹是焦距为的椭圆. 故选：A. 【题型8】 复数范围内方程的根 核心知识 实系数一元二次方程 判别式时在复数域有一对共轭虚根 韦达定理复数范围内仍然成立 方法技巧 利用求根公式书写虚根根互为共轭复数 韦达定理不管判别式正负都可以使用 求复数方程根可直接设代入方程求解实数 实系数虚根一定成对共轭出现 区分实系数与复系数方程复系数虚根不共轭 【经典例题1】（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意可得也是关于的实系数方程的一个根， 则即， ， 所以. 【经典例题2】（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 【答案】 8 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭成对的性质，结合韦达定理与复数模的运算性质求解的值. 【详解】因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以，解得， 根据实系数一元二次方程虚根的共轭性质，方程的另一个根为的共轭复数， 由韦达定理，又，且，所以. 【巩固练习1】（2026·上海浦东新·三模）已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】5 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭的性质结合韦达定理，或将已知根代入方程利用复数相等的充要条件，即可求解的值。 【详解】方法一：由实系数一元二次方程的虚根性质可知，方程的两个虚根互为共轭复数， 已知是方程的一个根，则另一根为， 根据韦达定理，对于方程，两根之积等于常数项， 因此. 方法二：将代入方程，得： ， 展开并整理得，即， 因为为实数，根据复数相等的充要条件，可得方程组： ， 解得. 【巩固练习2】（2026·湖南湘西·三模）（多选）已知复数是关于的方程（其中）的根，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为2 【答案】ACD 【详解】对于，因为， 所以，， 则，故A正确； 对于，由知，，即，故错误； 对于，由于是关于的方程的根， 所以也是该方程的另一个根，由韦达定理，， ，所以，故正确； 对于，由，可得在复平面内对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以的最大值为，故正确． 【巩固练习3】（2026高三下·四川成都·专题练习）在复数范围内，方程的两个根为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合一元二次方程的解可得方程的两根为，利用复数相等的定义求解即可. 【详解】由题知，，解得，所以两根为，化简为，所以，解得. 【题型9】 复数的三角表示 核心知识 为模 为辐角辐角主值范围 乘法：模相乘辐角相加 除法：模相除辐角相减 【经典例题1】（2026·湖南长沙·三模）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ） A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【答案】BCD 【分析】根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可. 【详解】对于A，已知，则复数可以表示为， 根据题意，，其中为偶数， 当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误； 对于B，已知，则模长，辐角满足，所以， 因此，则，故B正确； 对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则， 将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以， 设旋转后的点为，对应的复数为，则， 对应的点的坐标为，故C正确； 对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为， 根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的， 因此，所以，， 将代入直线方程：，得，化简得， 因此旋转后得直线方程为，故D正确. 【经典例题2】（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 【巩固练习1】（2026·河南南阳·一模）（多选）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设方程的复数根为（，），根据条件，利用复数相等得或，再转化成三角形式，即可求解. 【详解】设方程的复数根为（，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 【巩固练习2】（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 【巩固练习3】（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算及复数的几何意义可得. 【详解】因为． 所以． 2．（2026·全国·模拟预测）已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对复数进行化简，可得在复平面中对应的点，即可求得到原点的距离. 【详解】因为复数，在复平面中对应的点为， 所以到原点的距离为. 3．（2026·北京·三模）已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先通过复数的除法运算化简复数，再求出其共轭复数，结合复数的几何意义判断对应点所在象限. 【详解】由， 得，故对应的点为， 由其横、纵坐标均为负可知该点位于第三象限. 4．（2026·河南周口·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为原点，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【详解】由题设，，则， 所以. 5．（2026·福建福州·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则． 6．（2026·重庆·模拟预测）已知复数，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位幂运算，求出复数，结合模长公式即可求解. 【详解】虚数单位的幂次周期为，即（）， 因为，所以，因此分母为： ， 所以 ， 因此： . 7．（2026·河北邢台·三模）已知，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题可得，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限 8．（2026·吉林延边·二模）设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（    ） A．虚部为 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念、共轭复数的定义、复数的加法和乘法运算法则以及复数模的计算公式，逐项进行判断即可. 【详解】由题意，复数，则，虚部为，故A错误； 又，，因为复数不能比较大小，故B错误； 又，故C错误； 又，故D正确. 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数满足为纯虚数，则（    ） A．13 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数运算法则化简，再结合复数的模求解. 【详解】因为， 又为纯虚数，所以且，解得， 所以． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】由复数的相关概念可得. 【详解】设，则.由题意， . 又，. 两式相加，得， 所以， 又，所以. 由，得. 即. 解得. 由于的虚部为正，所以. 于是. 因此. 二、多选题 11．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（     ） A．复平面内与对应的点在第一象限 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故A正确； ，故B正确； ，则，故C正确； 均为虚数，不能比较大小，故D错误． 12．（2026·河南信阳·三模）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 【答案】BCD 【分析】A.设，利用复数的运算和概念判断；B. 设，，利用复数的乘法运算和模公式求解判断；C.设，利用复数的加法运算和模公式求解判断；D.求出方程的两根判断. 【详解】A.设，则，则 ， 当时，为实数，故错误； B. 设，， 则， ，则， ， 所以，故正确； C.设，则， 所以，即， 表示以为圆心，以1为半径的圆，故正确； D.对于方程，判别式， 所以方程的根为，令， 则，故正确. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 【答案】ABC 【分析】设，，，则有，求出的实部，即可判断A；求出的值，即可判断B；求出当时，的值，即可判断C；举反例判断D. 【详解】设，， 因为，所以， 对于A，因为 ， 其实部为，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由A可知， 当时，则有， 所以或， 即或， 解得或（舍，理由为）或， 所以或，故C正确； 对于D，取，则其实部为， 则， 所以， 所以，故D错误. 14．（2026·湖南长沙·三模）已知方程的复数解为，，则（    ） A． B． C．若，其中，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则的最小值是 【答案】AD 【分析】先求解方程得到，，再代入计算即可判断选项A，B；根据复数的几何意义即可判断选项C，D． 【详解】由的复数解为，，解得，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，若，其中，则，所以， 所以z在复平面内对应的点在第四象限，故C错误； 对于D，由，又表示z在复平面上以原点为圆心的单位圆， 则表示单位圆上的点到点的距离，所以最小值为，故D正确． 15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算、模的性质、共轭复数的性质，结合复数基本运算法则逐一判断选项. 【详解】， 则， ， ， 所以， 选项A，若，则， 可得或，即或，A正确； 选项B，举反例，取，， 此时，但均不为0，B错误； 选项C，根据复数模的运算性质，， 又复数与其共轭复数的模相等，即， 故，C正确； 选项D：设，则， 代入计算得：， 虚部抵消结果为实数；D正确. 16．（25-26高一下·甘肃定西·期中）若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 17．（2026·江苏·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据复数的几何意义与向量数量积的运算，结合三角恒等变换，即可判断. 【详解】对于A选项，，， ，，所以，A 选项正确. 对于B选项，，所以， ，所以, 因为和是任意角，所以，故B选项错误. 对于C选项，，，所以，， 因此，故C选项错误. 对于D 选项，，，因此，故D选项正确. 故选AD. 18．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 【答案】BC 【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断． 【详解】对于A，当时，， 则对应的三角形式为，故A错误； 对于B， ， 又， 所以， 则的虚部为， ，，解得，B正确； 对于C，先求，根据复数模的性质：若，则， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则必须是完全平方数， 即（），则， 因为，所以，即， 因为，，， 又因为，所以，故， 所以从到，共个正整数，选项C正确； 对于D，由， ， ， ，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 19．（2026·安徽宿州·模拟预测）复数满足，则的实部为______. 【答案】 【详解】设，则， 根据复数相等的定义可得，，解得，即， 故实部为. 20．（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 【答案】2 【分析】先利用平方差公式计算复数乘积，再把除以 转化为乘以 ，最后求复数的模． 【详解】因为所以 因为所以原式的值为． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $