第五章 二元一次方程组 单元检测卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，通过基础巩固、实际应用与创新拓展的梯度设计，全面考查方程组的概念、解法及模型应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|二元一次方程组定义（第3题）、解法（第4题）|基础概念与基本技能结合，如第1题考查解的意义| |填空题|6题18分|一次函数交点与方程组解（第12题）、参数问题（第16题）|综合应用与易错点考查，如第15题结合统计求未知数| |解答题|7题52分|实际应用（第19题空气净化器利润）、新定义（第22题共轭方程）|体现模型意识与创新思维，如第23题优惠券方案设计|

【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第五章：二元一次方程组 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知关于x、y的方程组解是则2m+n的值为（　　） A．-8 B．-6 C．-4 D．0 2．已知代数式 ，当 时，它的值为2，当 时，它的值为8；当 时，它的值是（　　） A．4 B．2 C．9 D．14 3．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 4．利用加减消元法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须进行适当变形，以下四种变形正确的是（　　） （1） （2） （3） （4） A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4) 5．已知方程组 和 有相同的解，则a，b的值为（　　） A． B． C． D． 6．一服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成一批盲盒，一个目盒搭配1个玩偶和2个玩偶，已知每米布料可做1个玩偶或3个玩偶，现计划用136米这种布料生产这批宣盒(不考虑布料的损耗)，设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．甲、乙两种商品原来每件的售价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的售价和比原来的售价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来每件的售价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 8．在方程组 的解中，x、y的和等于9，则7m+2的算术平方根为（　　） A．7 B．±7 C． D．± 9．七年级三个班组织部分同学参加数学和英语竞赛，且每人只允许参加其中一种，参加英语竞赛的人数是参加数学竞赛人数的，且比参加数学竞赛的少10人．已知，一班参赛人数占总参赛人数的，二班和三班参赛人数之比为5：6，则三个班的参赛人数分别是（　　） A．22，15，18 B．33，25，30 C．44，30，36 D．55，25，30 10．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组 ，甲符合题意地解得 乙看错了方程②中的系数c，解得 ，则 的值为（　　） A．16 B．25 C．36 D．49 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．方程 是关于 x，y的二元一次方程，则 m=　 　. 12．直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为　 　. 13．已知，则的值为　 　． 14．已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为　 　． 15．某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下。若这个班的数学平均成绩是69分，则x=　 　 ，y=　 　 16．若满足方程组 的x与y互为相反数，则m的值为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 解下列方程组： （1） （2） 18． 在解方程组 时， 由于粗心， 甲看错了方程组中的 ， 解得 乙看错了方程组中的 ， 解得 （1） 甲把 看成了什么？ 乙把 看成了什么？ （2） 请你根据以上两种结果， 求出原方程组的正确解． 19．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加.某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A型销售数量（台) B型销售数量（台) 总利润（元) 5 10 2 000 10 5 2 500 （1）一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？ （2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中 B型空气净化器的进货量不少于 A 型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案. 20．设甲数为x，乙数为y，根据下列语句，列出二元一次方程： （1）甲数的一半与乙数的的和为100． （2）甲数与乙数的2倍的和为-5． （3）甲数的2倍与乙数的的差为-1． （4）甲数翻一番后与乙数的差的一半等于9． 21．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数），例如：点的2阶点为点即． （1）若点的3阶点为点，求点P的坐标； （2）若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动5个单位得到点，点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，求点P的坐标． 22．新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． （1）请写出方程的共轭二元一次方程； （2）若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 23．某商场为了促进消费， 在母亲节期间推出赠送优惠券活动， 其中优惠券分为三种类型 (见下表)． 型 型 型 满 368 减 100 满 168 减 68 满 50 减 20 在此次活动中， 小温领到了三种不同类型优惠券若干张， 准备给妈妈买礼物． （1）若小温同时使用三种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 520 元， 已知他用了1 张 型优惠券， 4 张 型优惠券，则他用了　 　张 B 型优惠券． （2）若小温同时使用了 5 张 A， B 型优惠券， 共优惠了 404 元， 则他使用了 型优惠券各几张？ （3）若小温共领到三种不同类型的优惠券各 16 张 (部分未使用)， 他同时使用 ， C 型中的两种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 708 元， 请问有哪几种优惠券使用方案？ (请写出具体解题过程) 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第五章：二元一次方程组（解析） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知关于x、y的方程组解是则2m+n的值为（　　） A．-8 B．-6 C．-4 D．0 【答案】A 【解析】【解答】解： 把代入中得 ：， 解得：m=-3，n=-2， ∴ 2m+n=2×（-3）-2=-8； 故答案为：A. 【分析】把代入中求出m、n的值，再代入计算即可. 2．已知代数式 ，当 时，它的值为2，当 时，它的值为8；当 时，它的值是（　　） A．4 B．2 C．9 D．14 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得： ， ①②得： ， 解得： ， 把 代入①得： ， 方程组的解为 ， 当 时，它的值是 . 故答案为：D. 【分析】根据题意列出一个二元一次方程组求出b，c值，再把x=-2代入代数式中计算即可. 3．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、是分式方程，故A错误； B、是二元二次方程组，故B错误； C、是二元二次方程组，故C错误； D、是二元一次方程组，故D正确； 故选：D． 【分析】根据方程中含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1，并且一共有两个方程，可得答案． 4．利用加减消元法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须进行适当变形，以下四种变形正确的是（　　） （1） （2） （3） （4） A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4) 【答案】C 【解析】【解答】解：①×3，②×2得， ①×2，②×3得， 故选C． 【分析】根据加减消元法，将某个未知数的系数化为相同. 5．已知方程组 和 有相同的解，则a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：解方程组 ，得 ， 代入方程组 ，得到 ， 解得 ， 故选A． 【分析】可以首先解方程组 ，求得方程组的解，再代入方程组 ，即可求得a，b的值． 6．一服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成一批盲盒，一个目盒搭配1个玩偶和2个玩偶，已知每米布料可做1个玩偶或3个玩偶，现计划用136米这种布料生产这批宣盒(不考虑布料的损耗)，设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得， 故答案为：B. 【分析】根据题意可知：生产玩偶A的布的米数＋生产玩偶B的布的米数＝总的布的米数，生产的总的玩偶A的个数的2倍与生产的总的玩偶B的个数相同，然后即可列出相应的二元一次方程组. 7．甲、乙两种商品原来每件的售价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的售价和比原来的售价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来每件的售价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解： 设甲、乙两种商品原来每件的售价分别为x元、y元，依题意列方程组的： . 【分析】根据 甲、乙两种商品原来每件的售价和为100元 和 甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的售价和比原来的售价和提高了20% 作为相等关系，分别列方程，组成方程组即可. 8．在方程组 的解中，x、y的和等于9，则7m+2的算术平方根为（　　） A．7 B．±7 C． D．± 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得x+y=9， 解方程组得， 将代入6x+5y=7m+2中，得6×4+5×5=7m+2， ∴7m+2=49， ∵49的算术平方根为7，∴7m+2的算术平方根为7. 故答案为：A. 【分析】由题意得x+y=9，联立，解出x，y的值，然后将其代入6x+5y=7m+2中，从而求出7m+2的值，最后求出算术平方根即可. 9．七年级三个班组织部分同学参加数学和英语竞赛，且每人只允许参加其中一种，参加英语竞赛的人数是参加数学竞赛人数的，且比参加数学竞赛的少10人．已知，一班参赛人数占总参赛人数的，二班和三班参赛人数之比为5：6，则三个班的参赛人数分别是（　　） A．22，15，18 B．33，25，30 C．44，30，36 D．55，25，30 【答案】C 【解析】【解答】解：设参加数学竞赛的人数是x，则参加英语竞赛的人数是x，由题意得，x﹣x=10 解得：x=60，则参加英语和数学竞赛的总人数是110人， 一班参赛人数是110×=44人， 二班、三班才赛人数总和是110﹣44=66人，二班为66×=30，三班为66﹣30=36 综上，一班参赛人数44人，二班30人，三班36人． 故选C． 【分析】设参加数学竞赛的人数是x，则参加英语竞赛的人数是x，由题意得，x﹣x=10，据此求得x的值，则题目即可求解． 10．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组 ，甲符合题意地解得 乙看错了方程②中的系数c，解得 ，则 的值为（　　） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【解析】【解答】把 代入得： ，解得：c=4，把 代入得：3a+b=5，联立得： ，解得： ，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25． 故答案为：B． 【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．方程 是关于 x，y的二元一次方程，则 m=　 　. 【答案】5 【解析】【解答】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ， 解得或， 解得， ． 故答案为：5 . 【分析】根据二元一次方程的定义得到|4-m|=1，m-3≠0，求出m的值解答即可． 12．直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：∵直线与相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：. 【分析】两一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解，据此解答. 13．已知，则的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：依题意，，得， 则， ∴． 故答案为： 【分析】首先根据，得，进而得出，进而整体代入，即可得出． 14．已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得：， ②①得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴，即， ∴， ∴的算术平方根的值为； 故答案为：． 【分析】本题主要考查了同解方程组，求解算术平方根；先解方程组得到 x、y 的值；将这组解代入另外两个含参数的方程组，分别求出 m、n，最后计算 2m − n 的值并取算术平方根。 15．某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下。若这个班的数学平均成绩是69分，则x=　 　 ，y=　 　 【答案】18；4 【解析】【解答】解： 【分析】根据题意和表格中的信息可列方程组2+x+10+y+4+2=40，50×2+60x+70×10+80y+90×4+100×2=69×40，解方程组即可求解。 16．若满足方程组 的x与y互为相反数，则m的值为　 　． 【答案】11． 【解析】【解答】解： ， ①+②得：5x＝3m+2， 解得：x＝ ， 把x＝ 代入①得：y＝ ， 由x与y互为相反数，得到 ＝0， 去分母得：3m+2+9﹣4m＝0， 解得：m＝11， 故答案为：11 【分析】把m看做已知数表示出x与y，代入x+y＝0计算即可求出m的值． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）解：将代入，可得，解得. 再将代入到，可得. 即方程组的解为 （2）解： 设. 将②×3-①，得，解得. 将代入②，可得，解得. 即方程组的解为 【解析】【分析】（1）利用代入消元法，直接将代入，先消去y解x，再解y； （2）利用加减消元法，将②×3-①，先消去y解x，再解y. 18． 在解方程组 时， 由于粗心， 甲看错了方程组中的 ， 解得 乙看错了方程组中的 ， 解得 （1） 甲把 看成了什么？ 乙把 看成了什么？ （2） 请你根据以上两种结果， 求出原方程组的正确解． 【答案】（1） 解：由题意可知，把 代入ax+5y=10，得 a=-5． 把代入4x-by=-4得 b=6． 甲把 看成了 -5 ， 乙把 看成了 6. （2）解：由题意可知，把 代入方程4x-by=-4，得 b=8． 把代入方程ax+5y=10，得： a=-2． 把 代入原方程组， 原方程组为 解得：. 原方程组的解为 【解析】【分析】（1）由于甲把方程组中的a看错了，求出了方程组的解，那就将错就错，把求出的方程组的解带入到含a的方程中，即可求出看错的a的值.同样的方法：由于乙把方程组中的b看错了，求出了方程组的解，那就将错就错，把求出的方程组的解带入到含b的方程中，即可求出看错的b的值. （2）由甲粗心，看错a求得方程组的解为，但是没有看错b，此解对于含b的方程来讲是正确的，所以可把此解代入含b的方程中，进而求出b的正确值；同样的方法，可以求出a的正确值。然后把求得的a、b的正确值代入原方程组，求出正确的原方程组，然后解出此方程组，得到的解即为原方程组的正确的解. 19．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加.某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A型销售数量（台) B型销售数量（台) 总利润（元) 5 10 2 000 10 5 2 500 （1）一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？ （2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中 B型空气净化器的进货量不少于 A 型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案. 【答案】（1）解：设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元， 根据题意得： 解得： 答：一台A型空气净化器的销售利润为200元，台B型空气净化器的销售利润为100元. （2）解：设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器(100-m)台， ∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍， ∴100-m≥2m， 解得： 设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元， 根据题意得：w=200m+100(100-m) =100m+10000 ∴w的值随着m的增大而增大， ∴当m=33时，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300， 此时100-m=67 答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型：空气净化器67台. 【解析】【分析】(1)设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组解之即可得出结论； (2)设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器(100-m)台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题. 20．设甲数为x，乙数为y，根据下列语句，列出二元一次方程： （1）甲数的一半与乙数的的和为100． （2）甲数与乙数的2倍的和为-5． （3）甲数的2倍与乙数的的差为-1． （4）甲数翻一番后与乙数的差的一半等于9． 【答案】（1）解：设甲数为x，乙数为y， ∴. （2）解：设甲数为x，乙数为y， ∴. （3）解：设甲数为x，乙数为y， ∴. （4）解：设甲数为x，乙数为y， ∴. 【解析】【分析】设甲数为x，乙数为y，根据题意列方程即可求解. 21．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数），例如：点的2阶点为点即． （1）若点的3阶点为点，求点P的坐标； （2）若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动5个单位得到点，点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，求点P的坐标． 【答案】（1）解：∵点的阶点为点，∴， 解得：， ∴． （2）解：∵点的阶点为点，∴， 即， ∵点先向右移动个单位，再向下移动5个单位得到点， ∴， 即， ∵点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标． 【解析】【分析】（1）根据“点的阶点”的定义，列方程组，求得方程组的解，即可得到答案； （2）根据“点的阶点”的定义得到，再由平移的规律，得到，结合点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案． （1）解：∵点的阶点为点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵点的阶点为点， ∴， 即， ∵点先向右移动个单位，再向下移动5个单位得到点， ∴， 即， ∵点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标． 22．新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． （1）请写出方程的共轭二元一次方程； （2）若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 【答案】（1）解：方程4x+y=3的共轭二元一次方程为x+4y=3； （2）解：在方程中，当时，；当时，， 所以， 解得 所以方程为， 它的共轭二元一次方程为． 【解析】【解答】解：（1）由共轭二元一次方程的定义可得，方程4x+y=3的共轭二元一次方程为x+4y=3； 【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义解答； （2）由题意易得x=-1，y=2与x=2，y=1是方程x+ky=b的两个解，根据二元一次方程解的定义，将这两个解分别代入x+ky=b可得关于字母k、b的二元一次方程组，解该方程组求出k、b的值，从而求出原方程，最后根据共轭二元一次方程的定义解答即可. （1）（1）由共轭二元一次方程的定义可得，方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）（2）在方程中，当时，； 当时，， 所以，解得 所以方程为， 它的共轭二元一次方程为． 23．某商场为了促进消费， 在母亲节期间推出赠送优惠券活动， 其中优惠券分为三种类型 (见下表)． 型 型 型 满 368 减 100 满 168 减 68 满 50 减 20 在此次活动中， 小温领到了三种不同类型优惠券若干张， 准备给妈妈买礼物． （1）若小温同时使用三种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 520 元， 已知他用了1 张 型优惠券， 4 张 型优惠券，则他用了　 　张 B 型优惠券． （2）若小温同时使用了 5 张 A， B 型优惠券， 共优惠了 404 元， 则他使用了 型优惠券各几张？ （3）若小温共领到三种不同类型的优惠券各 16 张 (部分未使用)， 他同时使用 ， C 型中的两种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 708 元， 请问有哪几种优惠券使用方案？ (请写出具体解题过程) 【答案】（1）5 （2）解：设小温用了m张 A型优惠券，则用了（5-m）张B 型优惠券，根据题意得： 100m+68(5-m）=404. 解得：m=2. 故5-m=3（张）. 答：小温用了2张A型优惠券，用了3张B 型优惠券. （3）解：设小温用A型优惠券a张，用B型优惠券b张，用C型优惠券c张，a，b，c都是小于等于16的自然数，由题意：同时使用其中的两种不同类型的优惠券消费， 可得：①使用A，B两种优惠券，有100a+68b=708. 化简得：25a+17b=177. 可得：b=6，a=3. ②使用A，C两种优惠券，有100a+20c=708. 化简得：25a+5c=177. 此时a，c无整数解 ③使用B，C两种优惠券，有68b+20c=708. 化简得：17b+5c=177. 可得：b=6，c=15. 综上述：有两种优惠券使用方案：①用3张A型优惠券，6张b型优惠券；②用6张B型优惠券，15张C型优惠券. 【解析】【解答】解：（1）设小温用x张 B 型优惠券，根据题意得： 100+68x+4×20=520 解得：x=5. 故共用了5张B型优惠券， 故答案为：5. 【分析】（1）根据题意得：用A型优惠券得到的优惠+用B型优惠券得到的优惠+用C型优惠券得到的优惠=520，设小温用x张 B 型优惠券，代入列方程，求解即可. （2）根据题意得：用A型优惠券得到的优惠+用B型优惠券得到的优惠=404，设小温用m张A型优惠券，代入列方程，求解即可. （3）设小温用A型优惠券a张，用B型优惠券b张，用C型优惠券c张，a，b，c都是小于等于16的自然数，分三种情况讨论，分别列二元一次方程，求解即可确定使用方案. $