第27章 二次函数 章末复习与综合测试 讲义 2026—2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

该初中数学讲义以二次函数章末复习为核心，通过思维导图构建知识网络，结合表格系统梳理概念、图像性质、方程联系及建模步骤，明确三种解析式互化、图像读性质等重难点，呈现知识内在逻辑与递进关系。 讲义亮点在于分层练习设计，入门测限时诊断基础，典例精讲覆盖概念辨析、图像分析、实际建模等题型，如通过抛物线形拱桥问题培养模型意识，结合图像判断a、b、c符号发展几何直观。配套出门测与作业实现巩固提升，助力教师精准教学与学生自主复习。

第07讲 二次函数章末复习与综合测试（原卷版·学生用） 沪教版五四学制 · 2024新课标 · 九年级上册 第27章 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 8 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 1. 二次函数 y = −(x − 2)² + 5 的开口方向是______，顶点坐标是______。 2. 抛物线 y = x² − 4x 的对称轴是直线______，顶点坐标是______。 3. 把 y = x² − 6x + 5 配方，得 y = ______。 4. 抛物线 y = 2x² + 1 可由 y = 2x² 向______平移______个单位得到。 5. 抛物线 y = x² − 2x − 3 与 y 轴的交点坐标是______。 6. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像过点 (0, −2)，则 c = ______。 7. 二次函数 y = x² − 4x + 5 的最小值是______。 8. 顶点式 y = a(x − h)² + k 中，对称轴是直线______。 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 梳理二次函数概念、三种解析式与图像性质（开口/对称轴/顶点/增减/最值） ★★★ 2 掌握配方法化顶点式，能由图像与条件确定解析式 ★★★ 3 理解函数与方程联系，会读图求函数值范围与近似根 ★★★ 4 能综合运用二次函数解决最值、抛物线形实际与面积问题 ★★★ ⭐ 学习重点 三种解析式的互化与确定；由图像读性质与范围；实际最值问题的建模。 🔥 学习难点 图像与 a、b、c 符号关系的综合判断；含参最值与定义域限制；多问综合应用。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 知识点 01 概念与三种形式 形如 y = ax² + bx + c（其中 a、b、c 是常数，且______）的函数叫做二次函数。 顶点式 y = a(x − h)² + k 中，对称轴是直线______，顶点坐标是______。 交点式：若抛物线与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)，可设 y = ______，再代入另一点求 a。 🔑 知识点 02 图像与性质 对称轴 x = ______，顶点坐标 (______, ______)。 a > 0 开口向______，有最______值；a < 0 开口向______，有最______值。|a| 越大开口越______。 a > 0 时，对称轴左侧 y 随 x 增大而______，右侧______。图像左右平移：______；上下平移：______。 🔑 知识点 03 与一元二次方程的联系 抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的______就是方程 ax² + bx + c = 0 的根。Δ > 0 时有______个交点；Δ = 0 时有______个交点；Δ < 0 时______交点。 由图读范围：a > 0 且与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)（x₁ < x₂）时，当 x₁ < x < x₂，y______0；当 x < x₁ 或 x > x₂ 时，y______0。 🔑 知识点 04 待定系数与建模步骤 求解析式三思路：已知三点用______式；已知顶点用______式；已知两交点用______式。 解决抛物线形实际问题的步骤：建______→找______→设______→代点求 a→按题意计算。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型 1 二次函数的概念与基本形式 例题 1 已知 y = (m − 2)x|m| + (m − 3)x + 1 是关于 x 的二次函数，求 m 的值。 例题 2 抛物线 y = −2x² + 4x − 1 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ） A. 向下，x = 1，(1, 1) B. 向下，x = 2，(2, −1) C. 向上，x = 1，(1, −1) D. 向下，x = 1，(1, −1) 变式 1 二次函数 y = x² − 2x + 3 的图像与 y 轴的交点坐标是______，顶点坐标是______。 变式 2 若二次函数 y = ax² 的图像开口比 y = 3x² 的图像窄，则 a 的取值范围是______。 📌 题型 2 由图像判断 a、b、c 与代数式的符号 例题 3 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像如图所示（与 x 轴交于 (−1, 0)、(3, 0)）。（1）判断 a、b、c 的符号；（2）判断 b² − 4ac 的符号；（3）求 a − b + c 的值。 图2 抛物线 y=x²−2x−3 的图像 例题 4 点 A(−2, y₁)、B(0, y₂)、C(3, y₃) 在抛物线 y = x² − 2x − 3 上，比较 y₁、y₂、y₃ 的大小。 变式 1 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向上，对称轴为 x = −2，与 y 轴交于正半轴，则 a______0，b______0，c______0。 变式 2 已知二次函数 y = ax² + bx + c（a > 0）的对称轴为直线 x = 2，且当 x = 0 时 y < 0，则 b______0，c______0。 📌 题型 3 待定系数法求解析式 例题 5 已知二次函数的图像经过 A(0, 1)、B(1, 0)、C(−1, 4) 三点，求它的解析式。 例题 6 已知抛物线的顶点为 (2, −1)，且经过点 (0, 3)，求抛物线的解析式。 变式 1 把抛物线 y = 2x² 先向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是______。 变式 2 已知抛物线与 x 轴交于 (−3, 0)、(1, 0) 两点，且过点 (0, −6)，求抛物线的解析式。 📌 题型 4 二次函数与一元二次方程、范围的综合 例题 7 抛物线 y = x² − 2x − 8 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧）。（1）求 A、B 的坐标；（2）当 x 在什么范围内时，y ≤ 0？ 例题 8 已知抛物线 y = x² + 2x + k 与 x 轴没有交点。（1）求 k 的取值范围；（2）此时对任意实数 x，y 的值与 0 的大小关系如何？ 变式 1 利用抛物线 y = x² − 2x − 3 的图像，解一元二次不等式 x² − 2x − 3 < 0。 变式 2 抛物线 y = x² − 2x + m 与 x 轴的两个交点位于 x 轴的正半轴上，求 m 的取值范围。 📌 题型 5 实际应用综合 例题 9 一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 AB = 8 m，拱桥最高点（拱顶）离水面 4 m。以拱顶为原点、铅直向下为正方向建立平面直角坐标系。（1）求桥拱所在抛物线的解析式；（2）当水面上升 1 m 时，水面宽度为多少米（结果保留根号）？ 图3 抛物线形拱桥示意图 例题 10 某商店以每件 40 元的进价购进一批商品，若按每件 60 元销售，每月可售出 100 件；售价每降低 1 元，每月多售出 2 件。设每件售价为 x 元（40 ≤ x ≤ 60）。（1）求每月利润 y（元）与售价 x（元）的函数关系式；（2）售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 变式 1 例 10 中若条件改为“售价每上涨 1 元，每月少售出 2 件”（x ≥ 60，x ≤ 110），则最大利润又是多少？ ✅ 出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 8 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 1. 抛物线 y = −x² + 4x − 1 的顶点坐标是______，对称轴是______。 2. 抛物线 y = x² + bx + 3 的对称轴为直线 x = 2，则 b = ______。 3. 把抛物线 y = x² − 2x 先向右平移 1 个单位、再向上平移 4 个单位，所得抛物线的解析式是______。 4. 抛物线的顶点为 (−1, −4)，且经过点 (0, −3)，则它的解析式为______。 5. 抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴的交点坐标是______，与 y 轴的交点坐标是______。 6. 点 A(−1, y₁)、B(3, y₂) 在抛物线 y = x² − 2x + 1 上，则 y₁______y₂（填“>”“<”或“=”）。 7. 二次函数当 x = 1 时取得最大值 4，且图像过点 (0, 2)，则它的解析式是______。 8. 抛物线 y = x² − 2x + m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是______。 🏠 课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 5 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 求抛物线 y = −x² + 2x + 8 的顶点坐标、最大值，以及与 x 轴的交点坐标。 2. 已知抛物线经过 (−1, 0)、(3, 0)、(0, 6) 三点，求它的解析式。 3. 当 2 ≤ x ≤ 5 时，求二次函数 y = x² − 4x + 5 的最大值与最小值。 4. 抛物线 y = −x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），顶点为 D。（1）求 A、B、D 的坐标；（2）求 △ABD 的面积；（3）当 x 在什么范围内时，y > 0？ 5. 用总长为 30 m 的篱笆围一个矩形花圃（一面靠墙，墙长 18 m）。设垂直于墙的一边长为 x m，面积为 S m²。（1）写出 S 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围；（2）当 x 取何值时 S 最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数章末复习与综合测试（解析版·教师用） 沪教版五四学制 · 2024新课标 · 九年级上册 第27章 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 8 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 1. 二次函数 y = −(x − 2)² + 5 的开口方向是向下，顶点坐标是(2, 5)。 答案：a = −1 < 0 开口向下，顶点 (2, 5)。 2. 抛物线 y = x² − 4x 的对称轴是直线x = 2，顶点坐标是(2, −4)。 答案：配方 y = (x − 2)² − 4。 3. 把 y = x² − 6x + 5 配方，得 y = (x − 3)² − 4。 答案：y = (x − 3)² − 4。 4. 抛物线 y = 2x² + 1 可由 y = 2x² 向上平移1个单位得到。 答案：上加下减，向上平移 1 个单位。 5. 抛物线 y = x² − 2x − 3 与 y 轴的交点坐标是(0, −3)。 答案：令 x = 0 得 y = −3。 6. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像过点 (0, −2)，则 c = −2。 答案：x = 0 时 y = c = −2。 7. 二次函数 y = x² − 4x + 5 的最小值是1。 答案：配方 y = (x − 2)² + 1，最小值 1。 8. 顶点式 y = a(x − h)² + k 中，对称轴是直线x = h。 答案：对称轴 x = h。 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 梳理二次函数概念、三种解析式与图像性质（开口/对称轴/顶点/增减/最值） ★★★ 2 掌握配方法化顶点式，能由图像与条件确定解析式 ★★★ 3 理解函数与方程联系，会读图求函数值范围与近似根 ★★★ 4 能综合运用二次函数解决最值、抛物线形实际与面积问题 ★★★ ⭐ 学习重点 三种解析式的互化与确定；由图像读性质与范围；实际最值问题的建模。 🔥 学习难点 图像与 a、b、c 符号关系的综合判断；含参最值与定义域限制；多问综合应用。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 知识点 01 概念与三种形式 形如 y = ax² + bx + c（其中 a、b、c 是常数，且______）的函数叫做二次函数。 （答案：a ≠ 0 顶点式 y = a(x − h)² + k 中，对称轴是直线______，顶点坐标是______。 （答案：x = h；(h, k) 交点式：若抛物线与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)，可设 y = ______，再代入另一点求 a。 （答案：a(x − x₁)(x − x₂) 🔑 知识点 02 图像与性质 对称轴 x = ______，顶点坐标 (______, ______)。 （答案：；， a > 0 开口向______，有最______值；a < 0 开口向______，有最______值。|a| 越大开口越______。 （答案：上；小；下；大；窄 a > 0 时，对称轴左侧 y 随 x 增大而______，右侧______。图像左右平移：______；上下平移：______。 （答案：减小；增大；左加右减；上加下减 🔑 知识点 03 与一元二次方程的联系 抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的______就是方程 ax² + bx + c = 0 的根。Δ > 0 时有______个交点；Δ = 0 时有______个交点；Δ < 0 时______交点。 （答案：横坐标；两；一；没有 由图读范围：a > 0 且与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)（x₁ < x₂）时，当 x₁ < x < x₂，y______0；当 x < x₁ 或 x > x₂ 时，y______0。 （答案：<；> 🔑 知识点 04 待定系数与建模步骤 求解析式三思路：已知三点用______式；已知顶点用______式；已知两交点用______式。 （答案：一般；顶点；交点 解决抛物线形实际问题的步骤：建______→找______→设______→代点求 a→按题意计算。 （答案：坐标系；关键点；解析式 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型 1 二次函数的概念与基本形式 例题 1 已知 y = (m − 2)x|m| + (m − 3)x + 1 是关于 x 的二次函数，求 m 的值。 解析：由二次项系数不为 0 且次数为 2：m − 2 ≠ 0 且 |m| = 2。由 |m| = 2 得 m = 2 或 m = −2，又 m ≠ 2，所以 m = −2。 例题 2 抛物线 y = −2x² + 4x − 1 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ） A. 向下，x = 1，(1, 1) B. 向下，x = 2，(2, −1) C. 向上，x = 1，(1, −1) D. 向下，x = 1，(1, −1) 解析：a = −2 < 0 开口向下；配方 y = −2(x² − 2x) − 1 = −2(x − 1)² + 1，对称轴 x = 1，顶点 (1, 1)。选 A。 变式 1 二次函数 y = x² − 2x + 3 的图像与 y 轴的交点坐标是______，顶点坐标是______。 解析：令 x = 0 得 y = 3，与 y 轴交点 (0, 3)；配方 y = (x − 1)² + 2，顶点 (1, 2)。 变式 2 若二次函数 y = ax² 的图像开口比 y = 3x² 的图像窄，则 a 的取值范围是______。 解析：|a| 越大开口越窄，开口比 3x² 窄需 |a| > 3，所以 a > 3 或 a < −3。 📌 题型 2 由图像判断 a、b、c 与代数式的符号 例题 3 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像如图所示（与 x 轴交于 (−1, 0)、(3, 0)）。（1）判断 a、b、c 的符号；（2）判断 b² − 4ac 的符号；（3）求 a − b + c 的值。 解析：（1）开口向上 ⇒ a > 0；对称轴 x = 在 y 轴右侧 ⇒ b < 0；图像与 y 轴交于负半轴 ⇒ c < 0。（2）与 x 轴有两个交点 ⇒ b² − 4ac > 0。（3）图像过 (−1, 0)，即 x = −1 时 y = 0 ⇒ a − b + c = 0。 图2 抛物线 y=x²−2x−3 的图像 例题 4 点 A(−2, y₁)、B(0, y₂)、C(3, y₃) 在抛物线 y = x² − 2x − 3 上，比较 y₁、y₂、y₃ 的大小。 解析：对称轴 x = 1。A、B、C 到对称轴的距离分别为 3、1、2，a > 0 离轴越远函数值越大，所以 y₁ > y₃ > y₂。 变式 1 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向上，对称轴为 x = −2，与 y 轴交于正半轴，则 a______0，b______0，c______0。 解析：开口向上 ⇒ a > 0；x = = −2 ⇒ b = 4a > 0；与 y 轴交于正半轴 ⇒ c > 0。所以 a > 0，b > 0，c > 0。 变式 2 已知二次函数 y = ax² + bx + c（a > 0）的对称轴为直线 x = 2，且当 x = 0 时 y < 0，则 b______0，c______0。 解析：a > 0，x = = 2 ⇒ b = −4a < 0；x = 0 时 y = c < 0。所以 b < 0，c < 0。 📌 题型 3 待定系数法求解析式 例题 5 已知二次函数的图像经过 A(0, 1)、B(1, 0)、C(−1, 4) 三点，求它的解析式。 解析：设 y = ax² + bx + c。过 (0, 1) 得 c = 1；过 (1, 0)、(−1, 4)：a + b + 1 = 0 且 a − b + 1 = 4，解得 a = 1，b = −2。解析式为 y = x² − 2x + 1。 例题 6 已知抛物线的顶点为 (2, −1)，且经过点 (0, 3)，求抛物线的解析式。 解析：设顶点式 y = a(x − 2)² − 1。代入 (0, 3)：4a − 1 = 3，a = 1。解析式 y = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 3。 变式 1 把抛物线 y = 2x² 先向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是______。 解析：左移 1：y = 2(x + 1)²；上移 3：y = 2(x + 1)² + 3。 变式 2 已知抛物线与 x 轴交于 (−3, 0)、(1, 0) 两点，且过点 (0, −6)，求抛物线的解析式。 解析：设交点式 y = a(x + 3)(x − 1)。代入 (0, −6)：a·3·(−1) = −6，a = 2。解析式 y = 2(x + 3)(x − 1) = 2x² + 4x − 6。 📌 题型 4 二次函数与一元二次方程、范围的综合 例题 7 抛物线 y = x² − 2x − 8 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧）。（1）求 A、B 的坐标；（2）当 x 在什么范围内时，y ≤ 0？ 解析：（1）令 y = 0：x² − 2x − 8 = 0，即 (x − 4)(x + 2) = 0，x = 4 或 −2，故 A(−2, 0)、B(4, 0)。（2）a = 1 > 0 开口向上，图像在两交点之间位于 x 轴下方，所以当 −2 ≤ x ≤ 4 时 y ≤ 0。 例题 8 已知抛物线 y = x² + 2x + k 与 x 轴没有交点。（1）求 k 的取值范围；（2）此时对任意实数 x，y 的值与 0 的大小关系如何？ 解析：（1）Δ = 4 − 4k < 0，得 k > 1。（2）a = 1 > 0 开口向上且与 x 轴无交点，图像全部在 x 轴上方，所以对任意 x，y > 0 恒成立。 变式 1 利用抛物线 y = x² − 2x − 3 的图像，解一元二次不等式 x² − 2x − 3 < 0。 解析：y = x² − 2x − 3 与 x 轴交于 (−1, 0)、(3, 0)，开口向上。由图像知 y < 0 时 −1 < x < 3，所以不等式的解集为 −1 < x < 3。 变式 2 抛物线 y = x² − 2x + m 与 x 轴的两个交点位于 x 轴的正半轴上，求 m 的取值范围。 解析：两交点都在正半轴 ⇒ 方程 x² − 2x + m = 0 有两个正根。需 Δ = 4 − 4m > 0 得 m < 1；两根之积 m > 0（由 x₁x₂ = m 且两根均为正）。故 0 < m < 1。 📌 题型 5 实际应用综合 例题 9 一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 AB = 8 m，拱桥最高点（拱顶）离水面 4 m。以拱顶为原点、铅直向下为正方向建立平面直角坐标系。（1）求桥拱所在抛物线的解析式；（2）当水面上升 1 m 时，水面宽度为多少米（结果保留根号）？ 解析：（1）设抛物线为 y = ax²。正常水位水面在 y = −4 处，水面半宽 4 m，故 A(4, −4) 在抛物线上：−4 = a·16，a = ，所以解析式为 y = 。（2）水面上升 1 m ⇒ 水面在 y = −3 处。令 = −3，得 x² = 12，x = ±2√3，水面宽 4√3 m。 图3 抛物线形拱桥示意图 例题 10 某商店以每件 40 元的进价购进一批商品，若按每件 60 元销售，每月可售出 100 件；售价每降低 1 元，每月多售出 2 件。设每件售价为 x 元（40 ≤ x ≤ 60）。（1）求每月利润 y（元）与售价 x（元）的函数关系式；（2）售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 解析：（1）销量为 100 + 2(60 − x) = 220 − 2x 件，每件利润为 x − 40 元，y = (x − 40)(220 − 2x) = −2x² + 300x − 8800。（2）配方 y = −2(x − 75)² + 2450。因 40 ≤ x ≤ 60 且对称轴 x = 75 不在范围内，而 y 在 40 ≤ x ≤ 60 上随 x 增大而增大，故 x = 60 时 y 最大，最大利润为 −2×(60 − 75)² + 2450 = 2000 元。 变式 1 例 10 中若条件改为“售价每上涨 1 元，每月少售出 2 件”（x ≥ 60，x ≤ 110），则最大利润又是多少？ 解析：销量 100 − 2(x − 60) = 220 − 2x，关系式不变：y = −2(x − 75)² + 2450。对称轴 x = 75 在 60 ≤ x ≤ 110 内，故 x = 75 时 y 最大为 2450 元。 ✅ 出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 8 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 1. 抛物线 y = −x² + 4x − 1 的顶点坐标是(2, 3)，对称轴是x = 2。 答案：配方 y = −(x − 2)² + 3。 2. 抛物线 y = x² + bx + 3 的对称轴为直线 x = 2，则 b = −4。 答案： = 2 ⇒ b = −4。 3. 把抛物线 y = x² − 2x 先向右平移 1 个单位、再向上平移 4 个单位，所得抛物线的解析式是y = (x − 2)² + 3。 答案：y = x² − 2x = (x − 1)² − 1，右 1 上 4 得 y = (x − 2)² + 3。 4. 抛物线的顶点为 (−1, −4)，且经过点 (0, −3)，则它的解析式为y = x² + 2x − 3。 答案：设 y = a(x + 1)² − 4，代入 (0, −3) 得 a = 1，y = (x + 1)² − 4 = x² + 2x − 3。 5. 抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴的交点坐标是(−1, 0)、(3, 0)，与 y 轴的交点坐标是(0, −3)。 答案：令 y = 0 得 x = −1 或 3。 6. 点 A(−1, y₁)、B(3, y₂) 在抛物线 y = x² − 2x + 1 上，则 y₁=y₂（填“>”“<”或“=”）。 答案：对称轴 x = 1，A、B 关于对称轴对称，y₁ = y₂ = 4。 7. 二次函数当 x = 1 时取得最大值 4，且图像过点 (0, 2)，则它的解析式是y = −2x² + 4x + 2。 答案：设 y = a(x − 1)² + 4，代入 (0, 2)：a + 4 = 2 ⇒ a = −2，y = −2x² + 4x + 2。 8. 抛物线 y = x² − 2x + m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是m < 1。 答案：Δ = 4 − 4m > 0 ⇒ m < 1。 🏠 课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 5 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 求抛物线 y = −x² + 2x + 8 的顶点坐标、最大值，以及与 x 轴的交点坐标。 答案：配方 y = −(x − 1)² + 9，顶点 (1, 9)，最大值 9。令 y = 0：x² − 2x − 8 = 0，x = 4 或 −2，与 x 轴交于 (−2, 0)、(4, 0)。 2. 已知抛物线经过 (−1, 0)、(3, 0)、(0, 6) 三点，求它的解析式。 答案：设 y = a(x + 1)(x − 3)，代入 (0, 6)：a·1·(−3) = 6 ⇒ a = −2，y = −2(x + 1)(x − 3) = −2x² + 4x + 6。 3. 当 2 ≤ x ≤ 5 时，求二次函数 y = x² − 4x + 5 的最大值与最小值。 答案：y = (x − 2)² + 1，对称轴 x = 2 在区间内。x = 2 时 y 最小 = 1；x = 5 时 y 最大 = 25 − 20 + 5 = 10。 4. 抛物线 y = −x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），顶点为 D。（1）求 A、B、D 的坐标；（2）求 △ABD 的面积；（3）当 x 在什么范围内时，y > 0？ 答案：（1）令 y = 0：x² − 2x − 3 = 0，x = 3 或 −1，A(−1, 0)、B(3, 0)；配方 y = −(x − 1)² + 4，D(1, 4)。（2）AB = 4，D 到 AB 距离 4，S△ABD = × 4 × 4 = 8。（3）开口向下，y > 0 时 −1 < x < 3。 5. 用总长为 30 m 的篱笆围一个矩形花圃（一面靠墙，墙长 18 m）。设垂直于墙的一边长为 x m，面积为 S m²。（1）写出 S 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围；（2）当 x 取何值时 S 最大？最大面积是多少？ 答案：（1）平行墙边长 30 − 2x m，S = x(30 − 2x) = −2x² + 30x。需 30 − 2x ≤ 18 且 > 0，故 6 ≤ x < 15。（2）S = −2(x − 7.5)² + 112.5，对称轴 x = 7.5 在 6 ≤ x < 15 内，所以 x = 7.5 m 时 S 最大，最大面积 112.5 m²（此时长 15 m ≤ 18 m）。 学科网（北京）股份有限公司 $