专题04成比例线段精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

本讲义聚焦成比例线段核心知识点，从线段的比（同一单位长度比、无单位正数、顺序性）切入，延伸至成比例线段定义（四条线段关系、内项外项及比例中项），系统梳理比例基本性质（交叉相乘）、合比性质、等比性质（分母和不为0）及黄金分割（0.618比值、两个分割点），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料通过题型分层（基础到拔高的六种题型）、解题思路指引（如成比例线段先排序验证）及易错点总结（单位统一、比例中项取正等），结合等高线、书画装裱等现实情境，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题04成比例线段精讲学案 核心立意 理解线段的比、成比例线段的概念，分清比例内项、外项与比例中项；掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，会判断四条线段是否成比例，能做比例式变形与求值；认识黄金分割与黄金比，培养比例转化思想。 线段的比 同一长度单位下，两条线段a、b的长度之比 a:b=； 线段的比是无单位的正数，具有顺序性，一般与所选长度单位无关。 成比例线段定义 四条线段a,b,c,d，若=，则称这四条线段为成比例线段； a、d 比例外项，b、c 比例内项； 若=，则b是a、c的比例中项，满足 b2=ac；线段的比例中项只取正值。 判断技巧：先把四条线段长度从小到大排序，再验证前两条之比=后两条之比。 比例核心性质 1. 基本性质：= ad=bc（交叉相乘，最常用）； 2. 合比性质：=； 3. 等比性质：若 黄金分割 点P分线段AB，较长段与全长之比 = 较短段与较长段之比，即=； 黄金比值：0.618；一条线段存在2个黄金分割点。 ① 判定成比例线段前，不统一长度单位直接计算； ② 四条线段不排序、忽略顺序性，随意写比例式，造成对应关系错误； ③ 使用等比性质时，漏掉分母之和不为0的限制条件； ④ 求线段比例中项时，保留负根（线段长度不能为负）； ⑤ 比例变形时混淆内外项，交叉相乘出错。 题型 考察方向 难度 题型一 比例的性质 ★★ 题型二 比例线段 ★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：比例的性质 解题思路：①根据题目选用比例基本性质、合比性质、等比性质；②使用等比性质必须先确认分母之和≠0；③常用交叉相乘进行比例变形、代换求值。 1．若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据条件式，结合比例的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2．若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 3．已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 4．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 题型二：比例线段 解题思路：①先统一两条线段的长度单位；②再计算比值；③线段之比为正数、不带单位，注意顺序性，a:b和b:a通常不相等。 5．若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求线段的比例关系． 利用将用来表示，从而求出线段的比值． 【详解】解：延长线段到点C，由，可知． 所以． 故选：D． 6．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 7．如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 【详解】解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 8．如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形和相似三角形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质、平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据平行四边形对角线平分面积可得，，再结合O为的中点可得，，并由和平行线分线段成比例的性质可得，，最后转化得到即可解答本题． 【详解】解：平行四边形， ， 点O为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型三：成比例线段 解题思路：①统一四条线段单位；②将四条线段长度从小到大排序；③验证前两条的比＝后两条的比；区分比例内项、外项、比例中项。 9．一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将较短线段的长度看作1份，则较长线段的长度为4份，两条线段的比为． 10．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 11．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】A、， 长分别为，，，的四条线段是成比例线段，符合题意； B、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； C、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； D、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 12．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 【答案】 【详解】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 题型四：黄金分割 解题思路：①找准全长、较长段、较短段；②套用关系式=0.618；③记住一条线段有2个黄金分割点。 13．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据题意可得，据此即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解： 故选：B ． 14．如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识，如图，点C是小提琴长的黄金分割点（），已知悦悦的琴长，则琴身的长为______．    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据“点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点”．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点C是小提琴长的黄金分割点（）， ， 故答案为：． 16．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，． 【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点， 令，设，则，则由，代值得，解得， ， ， 点分别是线段的黄金分割点， ，，， ，，， 将，代入求解即可得到，，， 故选：A． 【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键． 题型五：由平行判断成比例的线段 解题思路：①识别平行线；②直接运用平行线分线段成比例定理，找准对应线段；③写出正确的比例式，分清上下、左右对应关系。 17．如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理对选项进行判断． 【详解】解：， ，，，. C选项结论不成立. 故选：C． 18．如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据一组平行线分线段得到对应线段成比例，据此解答 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 19．四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 【答案】B 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是利用平行判断成比例的线段，进而得到线段的比例关系． 利用得到线段比例关系，再利用得到线段比例关系，再将两个比例关系相加求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 故选：B． 20．平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六：由平行截线求相关线段的长或比值 解题思路：①根据平行线写出对应线段比例式；②代入已知线段长度；③列方程求解线段长或比值；检验结果是否符合线段为正的要求。 21．如图，已知，那么________． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：15 ． 22．如图，，若，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，可得，代入相应数值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，，，且，则AC的长为_______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：，， ， ∵ ∴， 解得：． 24．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 解答题 1．已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 2．（1）若=，求代数式的值； （2）已知==≠0，求代数式的值． 【答案】（1）      （2） 【分析】（1）先把原式化为，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出，进而代入原式求解． 【详解】解：（1）∵=， ∴， ∴； （2）设===k，则， ∴=． 【点睛】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k表示a、b、c． 3．已知线段，满足． (1)求的值； (2)当线段是的比例中项且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，代数式求值，能根据题中所给等式，用b表示出a进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用b表示a，再进行计算． （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 又∵线段是的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 4．（1）解方程：； （2）如图，点C是的黄金分割点，且，，求的长． 【答案】（1），，（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，黄金分割： （1）十字相乘法进行因式分解，再进行求解即可； （2）根据黄金分割点的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）将原方程化为， ∴原方程的解为，． （2）∵点C是的黄金分割点，且，， ，即：． ∴． 5．三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （2）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． （2）解：①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04成比例线段精讲学案 核心立意 理解线段的比、成比例线段的概念，分清比例内项、外项与比例中项；掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，会判断四条线段是否成比例，能做比例式变形与求值；认识黄金分割与黄金比，培养比例转化思想。 线段的比 同一长度单位下，两条线段a、b的长度之比 a:b=； 线段的比是无单位的正数，具有顺序性，一般与所选长度单位无关。 成比例线段定义 四条线段a,b,c,d，若=，则称这四条线段为成比例线段； a、d 比例外项，b、c 比例内项； 若=，则b是a、c的比例中项，满足 b2=ac；线段的比例中项只取正值。 判断技巧：先把四条线段长度从小到大排序，再验证前两条之比=后两条之比。 比例核心性质 1. 基本性质：= ad=bc（交叉相乘，最常用）； 2. 合比性质：=； 3. 等比性质：若 黄金分割 点P分线段AB，较长段与全长之比 = 较短段与较长段之比，即=； 黄金比值：0.618；一条线段存在2个黄金分割点。 ① 判定成比例线段前，不统一长度单位直接计算； ② 四条线段不排序、忽略顺序性，随意写比例式，造成对应关系错误； ③ 使用等比性质时，漏掉分母之和不为0的限制条件； ④ 求线段比例中项时，保留负根（线段长度不能为负）； ⑤ 比例变形时混淆内外项，交叉相乘出错。 题型 考察方向 难度 题型一 比例的性质 ★★ 题型二 比例线段 ★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：比例的性质 解题思路：①根据题目选用比例基本性质、合比性质、等比性质；②使用等比性质必须先确认分母之和≠0；③常用交叉相乘进行比例变形、代换求值。 1．若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则________． 3．已知，则k的值为_________． 4．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型二：比例线段 解题思路：①先统一两条线段的长度单位；②再计算比值；③线段之比为正数、不带单位，注意顺序性，a:b和b:a通常不相等。 5．若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 6．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 7．如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是____________． 8．如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为________． 题型三：成比例线段 解题思路：①统一四条线段单位；②将四条线段长度从小到大排序；③验证前两条的比＝后两条的比；区分比例内项、外项、比例中项。 9．一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 10．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 11．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 12．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 题型四：黄金分割 解题思路：①找准全长、较长段、较短段；②套用关系式=0.618；③记住一条线段有2个黄金分割点。 13．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 14．如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 15．悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识，如图，点C是小提琴长的黄金分割点（），已知悦悦的琴长，则琴身的长为______．    16．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 题型五：由平行判断成比例的线段 解题思路：①识别平行线；②直接运用平行线分线段成比例定理，找准对应线段；③写出正确的比例式，分清上下、左右对应关系。 17．如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 18．如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 19．四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 20．平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 题型六：由平行截线求相关线段的长或比值 解题思路：①根据平行线写出对应线段比例式；②代入已知线段长度；③列方程求解线段长或比值；检验结果是否符合线段为正的要求。 21．如图，已知，那么________． 22．如图，，若，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 23．如图，，，且，则AC的长为_______． 24．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 解答题 1．已知，满足，求、、的值． 2．（1）若=，求代数式的值； （2）已知==≠0，求代数式的值． 3．已知线段，满足． (1)求的值； (2)当线段是的比例中项且时，求的值． 4．（1）解方程：； （2）如图，点C是的黄金分割点，且，，求的长． 5．三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $