28.1 成比例线段与比例的基本性质 讲义 2026—2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦成比例线段与比例基本性质核心知识点，系统梳理线段的比、成比例线段概念，比例基本性质（内项积等于外项积）、合比与等比性质，以及比例中项、黄金分割等内容，构建从课前诊断（入门测）到知识梳理、典例精讲再到课后巩固（出门测、作业）的完整学习支架。 资料设计亮点突出，通过限时入门测与出门测精准诊断基础与巩固效果，知识梳理标注重要程度明确学习方向，典例分题型（如设k法求值、黄金分割计算）强化数学思维中的运算能力与推理意识，思维导图助力知识整合。课中辅助教师聚焦难点，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第08讲 成比例线段与比例的基本性质（解析版·教师用） 沪教版五四学制 · 2024新课标 · 九年级上册 第28章 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 8 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 1. 化简比：45:60 = 3:4。 答案：两边同除以 15。 2. 若 a:b = 2:3，且 a = 6，则 b = 9。 答案：6:b = 2:3，2b = 18，b = 9。 3. 在比例 2:3 = 4:x 中，x = 6。 答案：2x = 12，x = 6。 4. 线段 AB 的长为 8，点 C 在 AB 上且 AC:CB = 3:1，则 AC = 6。 答案：AC = 8 × = 6。 5. 若 = ，则 x:y = 2:3。 答案：交叉相乘 3x = 2y。 6. 若 = ，则 + b) = 。 答案：设 a = 3k，b = 4k， + b) = = 。 7. 9 与 4 的比例中项是±6。 答案：x² = 9 × 4 = 36，x = ±6。 8. 线段被一点黄金分割时，较长部分与全长的比约为0.618。 答案：黄金比 ≈ 0.618。 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解线段的比与成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例 ★★★ 2 掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质，会用设 k 法求值 ★★★ 3 理解比例中项的概念并会求比例中项 ★★★ 4 认识黄金分割与黄金比，能进行有关计算 ★★ ⭐ 学习重点 比例的基本性质与设 k 法；合比、等比性质的应用；成比例线段的判定。 🔥 学习难点 连比通比与等比性质的灵活变形；由比值求代数式；黄金分割的计算与理解。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 知识点 01 线段的比与成比例线段 两条线段长度的比，叫做这两条线段的______。求线段比时，两条线段的长度单位要______。 （答案：比；统一 如果 a、b、c、d 四条线段满足______（即 = ），就称这四条线段是成比例线段，其中 a、d 叫______，b、c 叫______。 （答案：a:b = c:d；外项；内项 🔑 知识点 02 比例的基本性质与比例中项 比例的基本性质：如果 = ，那么______（内项积等于外项积）。 （答案：ad = bc 若 b 是 a 与 c 的比例中项，则 b² = ______；线段的比例中项取______值。 （答案：ac；正 🔑 知识点 03 合比性质与等比性质 合比性质：如果 = ，那么 = ______， − b) = ______（b ≠ d 时可相减）。 （答案：； − d) 等比性质：如果 = = … = （b + d + … + n ≠ 0），那么 + d + … + n) = ______。 （答案： 🔑 知识点 04 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC 两段（AC > BC），如果______，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫______。 （答案：AC² = AB·BC（ = ）；黄金比 黄金比 = ______ ≈ ______（精确到 0.001）。 （答案：；0.618 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型 1 线段的比、连比与成比例线段的判定 例题 1 已知 a:b = 3:4，b:c = 2:5，求 a:b:c。 解析：把 b 在两个比中的份数统一成 4 与 2 的最小公倍数 4：b:c = 2:5 = 4:10，所以 a:b:c = 3:4:10。 例题 2 下列各组线段中，成比例线段的是（ ） A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B. 2 cm，3 cm，5 cm，6 cm C. 1 cm，2 cm，2 cm，4 cm D. 3 cm，4 cm，8 cm，10 cm 解析：A 中 ≠ ；B 中 ≠ ；C 中 = ，成比例，选 C；D 中 ≠ 。 变式 1 在比例尺为 1:5000 的地图上，量得一段公路的长为 3.2 cm，这段公路的实际长度为______m。 解析：实际距离 = 3.2 × 5000 = 16000 cm = 160 m。 变式 2 如图，点 C 在线段 AB 上，AB = 15 cm，且 AC:CB = 2:3，求 AC 的长。 解析：设 AC = 2k cm，CB = 3k cm，则 2k + 3k = 15，k = 3，所以 AC = 6 cm。 图2 线段 AB 被点 C 分成两段 📌 题型 2 比例基本性质与设 k 法求值 例题 3 若 a:b = 2:3，求 + b) 的值。 解析：设 a = 2k，b = 3k（k ≠ 0），则 + b) = = 。 例题 4 已知 = = （≠ 0），求 的值。 解析：设 = = = k，则 x = 3k，y = 4k，z = 5k， = = 。 变式 1 若 a:b:c = 2:3:4，求 + c) 的值。 解析：设 a = 2k，b = 3k，c = 4k，原式 = + 4k) = = 。 变式 2 已知 = ，求 a:b。 解析： = − 2 = ，所以 = ，即 a:b = 7:2。 📌 题型 3 比例中项 例题 5 已知 x 是 3 与 27 的比例中项，求 x 的值。 解析：由比例中项定义：x² = 3 × 27 = 81，所以 x = ±9。 例题 6 已知线段 a = 2 cm，b = 8 cm，则 a、b 的比例中项线段长为______cm。 解析：设比例中项线段为 x，则 x² = 2 × 8 = 16，线段取正值，x = 4 cm。 变式 1 已知 4 是 a 与 9 的比例中项，求 a 的值。 解析：4² = 9a，即 16 = 9a，a = 。 变式 2 求 2 与 4 的比例中项（数值）。 解析：x² = 2 × 4 = 8，x = ±2√2。 📌 题型 4 合比性质与等比性质 例题 7 若 = = （b + d ≠ 0），求 + d) 的值。 解析：由等比性质， + d) = 。 例题 8 若 = = （b − d ≠ 0），求 − d) 的值。 解析：由等比性质（推广到差）， − d) = 。 变式 1 若 = ，则 = ______， = ______。 解析：设 a = 2k，b = 3k： = = ； = = 。 变式 2 若 a:b:c = 2:3:4，且 a + b + c = 27，则 a = ______。 解析：设 a = 2k，b = 3k，c = 4k，则 9k = 27，k = 3，a = 6。 📌 题型 5 黄金分割 例题 9 如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC > BC），且 AB = 10 cm。求 AC 与 BC 的长（精确到 0.01 cm）。 解析：黄金比 = ≈ 0.618，AC = 10 × 0.618 ≈ 6.18 cm；BC = AB − AC ≈ 10 − 6.18 = 3.82 cm。 图3 线段 AB 的黄金分割示意图 例题 10 点 C 把线段 AB 黄金分割（AC > BC），AB = 4，求 AC、BC 的长（结果保留根号）。 解析：AC = AB × = 4 × = 2(√5 − 1)；BC = AB − AC = 4 − 2(√5 − 1) = 6 − 2√5。 变式 1 一个黄金矩形的长为 20 cm，则它的宽约为______cm（精确到 0.1 cm）。 解析：宽 = 20 × ≈ 20 × 0.618 = 12.4 cm。 变式 2 线段 AB = 8 cm，点 C 是 AB 的黄金分割点且 AC > BC，则 AC ≈ ______cm（精确到 0.01 cm）。 解析：AC = 8 × 0.618 ≈ 4.94 cm。 ✅ 出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 8 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 1. 若 a:b = 2:3，b:c = 4:5，则 a:b:c = 8:12:15。 答案：把 b 统一为 12：a:b = 8:12，b:c = 12:15。 2. 已知线段 2 cm、3 cm、6 cm、x cm 成比例线段，则 x = 9。 答案：2:3 = 6:x，2x = 18，x = 9。 3. 若 = = （b + d ≠ 0），则 + d) = 。 答案：等比性质直接得 。 4. 若 = ，则 = 。 答案： = + 1 = + 1 = 。 5. 若 x:y:z = 1:2:3，且 x + y + z = 24，则 z = 12。 答案：x + y + z = 6k = 24，k = 4，z = 3k = 12。 6. 4 与 16 的比例中项是±8。 答案：x² = 64，x = ±8。 7. 若 = ，则 = 。 答案：设 a = 2k，b = 5k， = = 。 8. 线段 AB = 10 cm，C 是 AB 的黄金分割点且 AC > BC，则 AC ≈ 6.2cm（精确到 0.1 cm）。 答案：AC = 10 × 0.618 ≈ 6.2 cm。 🏠 课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 5 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 若 a:b:c = 2:3:4，求 的值。 答案：设 a = 2k，b = 3k，c = 4k， = = 。 2. 已知 = = ，求 − y + z) 的值。 答案：设比值为 k，则 x = 2k，y = 3k，z = 5k，原式 = − 3 + 5)k = = 。 3. 点 C 把线段 AB 分成 AC 和 CB 两段，AB = 18 cm，AC:CB = 2:7，求 AC 和 CB 的长。 答案：设 AC = 2k，CB = 7k，2k + 7k = 18，k = 2，AC = 4 cm，CB = 14 cm。 4. 一件工艺品的主体设计成线段 AB（AB = 5 cm），装饰点 C 是 AB 的黄金分割点（AC > BC），求 AC 的长（精确到 0.01 cm）。 答案：AC = 5 × ≈ 5 × 0.618 = 3.09 cm。 5. 若 = = ，且 2a − b + c = 18，求 a + b + c 的值。 答案：设 = = = k，则 a = 2k，b = 3k，c = 5k。2a − b + c = 4k − 3k + 5k = 6k = 18，k = 3，a + b + c = 10k = 30。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 成比例线段与比例的基本性质（原卷版·学生用） 沪教版五四学制 · 2024新课标 · 九年级上册 第28章 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 8 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 1. 化简比：45:60 = ______。 2. 若 a:b = 2:3，且 a = 6，则 b = ______。 3. 在比例 2:3 = 4:x 中，x = ______。 4. 线段 AB 的长为 8，点 C 在 AB 上且 AC:CB = 3:1，则 AC = ______。 5. 若 = ，则 x:y = ______。 6. 若 = ，则 + b) = ______。 7. 9 与 4 的比例中项是______。 8. 线段被一点黄金分割时，较长部分与全长的比约为______。 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解线段的比与成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例 ★★★ 2 掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质，会用设 k 法求值 ★★★ 3 理解比例中项的概念并会求比例中项 ★★★ 4 认识黄金分割与黄金比，能进行有关计算 ★★ ⭐ 学习重点 比例的基本性质与设 k 法；合比、等比性质的应用；成比例线段的判定。 🔥 学习难点 连比通比与等比性质的灵活变形；由比值求代数式；黄金分割的计算与理解。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 知识点 01 线段的比与成比例线段 两条线段长度的比，叫做这两条线段的______。求线段比时，两条线段的长度单位要______。 如果 a、b、c、d 四条线段满足______（即 = ），就称这四条线段是成比例线段，其中 a、d 叫______，b、c 叫______。 🔑 知识点 02 比例的基本性质与比例中项 比例的基本性质：如果 = ，那么______（内项积等于外项积）。 若 b 是 a 与 c 的比例中项，则 b² = ______；线段的比例中项取______值。 🔑 知识点 03 合比性质与等比性质 合比性质：如果 = ，那么 = ______， − b) = ______（b ≠ d 时可相减）。 等比性质：如果 = = … = （b + d + … + n ≠ 0），那么 + d + … + n) = ______。 🔑 知识点 04 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC 两段（AC > BC），如果______，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫______。 黄金比 = ______ ≈ ______（精确到 0.001）。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型 1 线段的比、连比与成比例线段的判定 例题 1 已知 a:b = 3:4，b:c = 2:5，求 a:b:c。 例题 2 下列各组线段中，成比例线段的是（ ） A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B. 2 cm，3 cm，5 cm，6 cm C. 1 cm，2 cm，2 cm，4 cm D. 3 cm，4 cm，8 cm，10 cm 变式 1 在比例尺为 1:5000 的地图上，量得一段公路的长为 3.2 cm，这段公路的实际长度为______m。 变式 2 如图，点 C 在线段 AB 上，AB = 15 cm，且 AC:CB = 2:3，求 AC 的长。 图2 线段 AB 被点 C 分成两段 📌 题型 2 比例基本性质与设 k 法求值 例题 3 若 a:b = 2:3，求 + b) 的值。 例题 4 已知 = = （≠ 0），求 的值。 变式 1 若 a:b:c = 2:3:4，求 + c) 的值。 变式 2 已知 = ，求 a:b。 📌 题型 3 比例中项 例题 5 已知 x 是 3 与 27 的比例中项，求 x 的值。 例题 6 已知线段 a = 2 cm，b = 8 cm，则 a、b 的比例中项线段长为______cm。 变式 1 已知 4 是 a 与 9 的比例中项，求 a 的值。 变式 2 求 2 与 4 的比例中项（数值）。 📌 题型 4 合比性质与等比性质 例题 7 若 = = （b + d ≠ 0），求 + d) 的值。 例题 8 若 = = （b − d ≠ 0），求 − d) 的值。 变式 1 若 = ，则 = ______， = ______。 变式 2 若 a:b:c = 2:3:4，且 a + b + c = 27，则 a = ______。 📌 题型 5 黄金分割 例题 9 如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC > BC），且 AB = 10 cm。求 AC 与 BC 的长（精确到 0.01 cm）。 图3 线段 AB 的黄金分割示意图 例题 10 点 C 把线段 AB 黄金分割（AC > BC），AB = 4，求 AC、BC 的长（结果保留根号）。 变式 1 一个黄金矩形的长为 20 cm，则它的宽约为______cm（精确到 0.1 cm）。 变式 2 线段 AB = 8 cm，点 C 是 AB 的黄金分割点且 AC > BC，则 AC ≈ ______cm（精确到 0.01 cm）。 ✅ 出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 8 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 1. 若 a:b = 2:3，b:c = 4:5，则 a:b:c = ______。 2. 已知线段 2 cm、3 cm、6 cm、x cm 成比例线段，则 x = ______。 3. 若 = = （b + d ≠ 0），则 + d) = ______。 4. 若 = ，则 = ______。 5. 若 x:y:z = 1:2:3，且 x + y + z = 24，则 z = ______。 6. 4 与 16 的比例中项是______。 7. 若 = ，则 = ______。 8. 线段 AB = 10 cm，C 是 AB 的黄金分割点且 AC > BC，则 AC ≈ ______cm（精确到 0.1 cm）。 🏠 课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 5 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 若 a:b:c = 2:3:4，求 的值。 2. 已知 = = ，求 − y + z) 的值。 3. 点 C 把线段 AB 分成 AC 和 CB 两段，AB = 18 cm，AC:CB = 2:7，求 AC 和 CB 的长。 4. 一件工艺品的主体设计成线段 AB（AB = 5 cm），装饰点 C 是 AB 的黄金分割点（AC > BC），求 AC 的长（精确到 0.01 cm）。 5. 若 = = ，且 2a − b + c = 18，求 a + b + c 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $