湖南衡阳市第一中学2026届高三上学期高考适应性测试（二）数学试题

**基本信息** 衡阳市一中2026届高考适应性数学测试，以高考真题结构为框架，通过基础题、创新题、综合题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数学建模等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、集合真子集、抛物线焦点、解三角形、函数性质、导数零点、双曲线离心率|基础巩固，覆盖高频考点| |多选题|3/18|导数极值条件、数列命题判断、正方体线面关系|多角度辨析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|百分位数计算、圆台侧面积、数列元素排序求和|注重数学运算与数据处理| |解答题|5/77|解三角形面积、三棱锥线面角、音乐素养概率模型、椭圆伴随圆新定义、导数综合证明|情境真实（如音乐教育），创新应用（如伴随圆定义），能力梯度分明|

衡阳市第一中学2026届高考适应性测试（二) 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“贴条形 码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息，点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试题卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.已知复数z满足i=1+3i(其中i是虚数单位)，则z的虚部是（) A.-1 B.1 C.-i D.i 2.已知集合M={x∈Zx2-2x-3<0},则M的真子集个数为（) A.3 B.5 C.7 D.8 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(,2),且F为抛物线C的焦点，若AF=3OF,则p=() A.吉 B.1 C.5 D.2 4.在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若 A=m4A,AC=Mm>0,n>0,则二+9的最小值为() nn A.3 B.8 C.9 D.9 5.已知a=log5a,a=log5b,0.5°=log。c则() A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a 6.设a=(W3,),b=(-sin2x,cos2x),f(x)=cos(a,b,则关于函数f(x)的性质中，下列说法错误的是（) A.f(x)的最小正周期是π 试卷第1页（共4页） B川可图象的-个对桥中心可以是合) 兀π C.f(x)的一个单调递增区间可以是 63 D.f(x)图象的一条对称轴可以是x= 6 7.已知函数f(x)= e,x20 (其中e为自然对数的底数)，若函数y=f(x)-ax2恰有三个零点，则() -x,x<0 e2 e e A.a> 4 B.ag 4 C.ax 2 D.a>2 8.已知两点M,P在双曲线C: F1(a>0,b>0)的右支上，点M与点N关于原点对称，P交y轴于点工 x2 y 若MMP=0,O=7ON.O元，则双曲线C的离心率为（） A.√5 B.√6 C.√7 D.2W5 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》 g已知函数J)++子则下列说法正确的是() A.a≥0是f(x)不存在极值点的充要条件 B.若出)存在两个极值点，。，则f(s)+f)> C.过坐标原点只能作曲线y=f(x)的一条切线 D.若f()有两个零点，则a=子 10.以下命题正确的有() 4设等差数列a,凸的前n项和分别为4，B若合十2 则9+9g-14 2h。23 1 B.数列{a}满足4二a1=4+十2，则=2 C.数列a}满足：4+受+学++是=n+1,则a-2 222 D.已知工为数列a,}的前”项积，若上+子-1，则数列亿}的前u项和为S=忙+21 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABC1D中，点F满足AF=AB,(0≤入≤1)，则() A.当入=0时，平面BDF⊥平面BDC B.任意入∈[0,1]，三棱锥B-ADF的体积是定值. 试卷第2页（共4页） C.存在A∈[0,1，使得AC与平面BDF所成的角为T D.当入=时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为109 9 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：14,30,37，a,41,52,53,55,58,80；乙组：17,22,32，b,45,47,51,59 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则a-b等于 13.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积 为 14.已知集合A={xx=2,n∈N,B={xx=2”-l,neN},将AUB的所有元素从小到大依次排列构成一个数 列{a},记Sn为数列{a}的前n项和，则使得S>8a1成立的n的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c,V3b-esinA=V3 acosC. (1)求角A的大小 (2)若a=3,D为BC边上一点，AD=2,2DB=DC,求△ABC的面积. 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC,，AC⊥BC,△PAC是边长为2的正三角形，BC=4, E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为I. (1)证明：直线11平面PAC; (2)设点Q在直线1上，直线PQ与平面AEF所成的角为Q,异面直线PQ与EF所成的角为B,求当AO为何值时， a+0-号 17.(15分)素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增 强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校 试卷第3页（共4页） 开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名， 课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的. (1)声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为P(0<p<1),设声乐班的学生中恰有3 名通过测试的概率为f(p),求∫(p)的极大值点P (2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学 习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进 行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为？，求？的分布列及数学期望， 18.(17分)如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的伴随圆”，过椭圆上一点M作x轴的 重线交其件面图于友议，称点N为点的件随E奥E吉+若1a6>0上的点气)的个什 随点”为(5,1 (1)求椭圆E的方程； (2)过点（-3,0)的直线1与椭圆E交于不同的两点A,B,点C与点A关于x轴对称. (i)证明：直线BC恒过定点； (ⅱ)记(i)中的直线BC所过的定点为T,若B,C在直线x=-3上的射影分别为B,C1(B,C1为不同的两点)， 记△7BB,△TCC,△TBC的面积分别为，及，及，求S+S的取值范围 19.(17分)已知函数fy)=nx+1)- x+1 (1)当a=1时，求f(x)的极值； (2)若f(x)≥0，求a的值： (3)求证：sin +sinI+sim<ih2(eN） n+1 n+2 2n 试卷第4页（共4页）数学答案二 题号 2 3 4 5 6 7 ⊙ 答案 A C c B A C A C 题号 11 答案 BC 12.8 9W10元 13. 14.19 3sinB-sinCsinA=3sinAcosC 15.(1)由正弦定理得 因为A+B+C=π 3sin(4+C)-sinCsind-sin cosc 3sinAcosC+3cosAsinC-sinCsinA=3sinAcosC 即 sinC(3cos4-sin4)=0 而nC0,故V5co4-sin1=0, 又因为csA≠0 所以tan4=V5 而0<A<π，故4= 3· (②解法-：出2DBDC知而-写C+号亚， 两边同时平方用a四-ad+号四+西CosB4c. 即4+音e2+号c,化简得6公+4c+2c=36.0 2 9 在AMBD中，由余弦定理得cos∠ADB=2+-C_5-c 2×2×14 在64CD中，由余弦定理得cos∠ADC=2+2-B8-B 2×2×28, 而∠ADB+∠ADC=元，所以cos∠ADB+coS∠ADC=0, 22+12-c2,22+2-b2 故2×2x1+2x2x2=0,即2c2+b=18② a 品 由①②得 2+4c2+2bc=2(2c2+b2） 由于b≠0，得b=2c,代入②得c2=3. bcsin∠B4C=c2sin∠BAC=35 所以△ABC的面积为2 2. πb2+c2-91 解法二：在AABC中，由余弦定理可得cos∠BAC=co 3 2bc 2 整理得b2+c2-bc=9,① 在aABD中，由余弦定理得cos∠ADB=2+P-c2_5-c2 2×2×1 4, 在a4CD中，由余弦定理得cos乙4DC=2+2-b_8-B 2×2×28, 而∠ADB+∠ADC=π，所以COS∠ADB+COS∠ADC=0, ,22+12-c2.22+22-b2 故2x2x+2x2x2-0,即22+682=18，② 由①②得2c2+b2=2b2+2c2-2bc, 由于b≠0，得b=2c,代入②得c2=3, 所以a1BC的面积为Sc-2 besin∠BAC=c'sin∠BAC- 3v5 2 16.(1)证明如下： 因为E,F分别是PC,PB的中点，则BC1IEF, 因为BC￠平面AEF,EFC平面AEF,从而BCII平面AEF, 因为BCC平面ABC,平面AEF∩平面ABC=I,则BCI, 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PACA平面ABC=AC,BC⊥AC,B 则BC⊥平面PAC, 所以直线I⊥平面PAC. (2)解法一：因为BC⊥平面PAC,PCc平面PAC,则BC⊥PC, 又BCIEF,则EF⊥PC, 因为△PAC为正三角形，E为PC的中点， CC平面ABC, 则AE⊥PC,AE∩EF=E,AE、EFc平面AEF,从而PC⊥平面AEF, 连接E0,则∠PQE=a,因为l1/EF,1⊥PA,则∠POA=6, aga-号0：在Po中.0.发 PO, 因为0+0 F2,则sina=cos0,得A0=1, 所以当A0=1时，a+0=交。 2 解法二：以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为'轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角 坐标系 2 则点4a0.8n40.a.店a传29） EF=(0,2,0), 设平面AEF的法向量” 2m=(x,y,z) m=-33 -x+ z=0 2 则 2 EF.m=2y=0 ，取=5得m=0 设点(2，a,0),则P=(a,3)】 所以sina=cos PO,m= PO.m 2 1 PO 214+a2 14+a2 Po·EF cos0=cos PO,EF= 2a lal PO.EF 24+a4+a, 因为a+0= 2,则sina=cos0,得4=l, 所以当A0=1时，a+0= 2 17.(1)24名学生中恰有3名通过测试的概率f(p)=C:p(1-p” 则f(p）=c[3p(-p"-21p'-p]=c-3p2--p1-8p）.0<p<, 1 令f'(p)=0,得P=8, 所以当0<p<g时，f'(p)>0,f(p)单调递增： 1 当8p<1时，f'(p)<0,f(p)单调递减， 致和)的级大丝店风-是 (2)利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名， 则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名， 所以5的所有可能取值为0,1,2,3， P6-0-是5.p6-)-答-号 则随机变量的分布列为 了 0 1 2 4 b 1 12 18 35 35 35 35 B(6)=0x35+1x 35 +2x18 35 3×412 357· x2y2 18.(1)烟为椭圆：a+=1(a>b>0) E 过点 其伴随圆x2+y2=a过点 巴 [31 a+4= 所以 2解得a2-4, (3+P=a2,rb=1. 所以椭圆E的方程为4+y=1. (2) (i)证明：当直线的斜率不为0时，设直线'的方程为=m-3,4(气，）B(,),则C(,), (ty- 6m 5 联立x=my-3,整理得(m2+4)y2-6m+5=0,则y+为=m+4'4=m+4' △=(6m-4×5(m2+4)=16(m-5>0,所以m2>5, ,y+y=+(x-x) 直线BC的方程为-x ,由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在x轴上 x=s+5=%+-刚-3+-3y 当y=0时，2+ y2+乃 y2+y1 5 2m. -2m%-3+）-2m业-3=+4-3= 4 y2+乃 y+2 6m 33 3, m2+4 即直线BC恒过定点(3 当直线倒斜率为0时、直线8C付方程为-0，位过（言0】 除上，直线8C恒过定克0 (i)解：法-：白照的率看在不为0,0. 设直线的方程为=mw-3(m>5)A(,),B(,).C(G,y) 9=s+3儿y_m,-3+3m 2 2 2 3,-任+3☒_my-3+3_my 2 2 S3= 5y+2, 6 由(i)知m(0y+乃)=6m m2+4≥0且=m2、 ->0. m4m3m6+l_3m(+3m[0,+广-2为 S+S2=2。 2= 则S, 5y+2 5y+2 5(y+2) 5(以+y) 6 50+⅓)2业7=3m 6m 2.5 m2+4 36m2+24-245 y+25m2+46m 5m2+4 3 m2+4 4-号”. 5=1372 因为>5，所以49，写引 72 S+S2 13 故S 的取值范围为)】 B T S+8S+8+区1g12G+3+5+3M+%-13+3+ 法二：SS 5 m2+46-24 由（1)知+5=m-3+m,-3=m(y+与）-6=m:6m m2+4: S+8-13+3 -24 m2+4_1372 5 55(m2+4） (剩余部分同解法一) 4 法三：由(i)知直线8C恒过定点70 易知直线BC的斜率不为O, 4 设直线BC的方程为x=少-3，B(:,),C(s,), 三+y2=l 4 联立 4整理得 x=0-3 9(t2+4)y2-24y-20=0 24t8t -20 +%g0+430+4,%y90+40, <0 则 △=(-24+4×20×9(+4>0恒成立， -++ 2 2 8+w.子 2 2 S3= 5-, 2 6 -20 因为49F+40,不纺设>0.%<0. <0 S+S2= 2 30+%0-⅓)+0-5） S 5(y2-3) y2-3 6 -+1}3 +1=80+32-32+1=13-32 Γ53(2+4 52+4)552+4), 32 。8 1332 因为r>0所以r+44,所5f+可0引，所以5 S+S2 故8的取值范围为5】 19.国④当a=1时，四-h(x+本，x>- . 则 当(，0)时，f()k0,f因单调莲减， 当xe(0+w）时，()>0，f(冈单调递指， 所以在=0处取得极小值0，无极大值： (2)由题意得 ①当≤0时，)>0，所以在+)上单调递增， 所以当(1,0时，f)f(0)=0,与(20矛盾， ②当“>0时，当1a-时，()k0,f因单调递减， 当e(a-l+)时，f()>0.f(单调运增， 所以f(am=f(a-)=lna-(a-) 因为f)20恒成立，所以na-(a-)20, 记g(a)=a-a-1),g(a)=L-1=1-a a 当ac(01)时，ga>0,8(a)单调递指， 当ae,+w）时.gak0.g(a)单调递减。 所以8(o)=s0=0,所ha-(a-1)s0, 又ma-(a-1)20 ha-(a-1)=0 所以 所以a=1: (3) 证明：先证sinr<x(x>0) 设h(=sinr-xx>0）.则h()=cosx-1≤0 所以（冈在区间Q,+切）上单调速减， 所以(<(0)=0 即sinr<r, 1 所以sin +sin-1 n+1 +sn111 1 十 n+2 2nn+1n+2 2n 再证n中h, n 由(2)可知血(x+1)≥x +1,当x=0时等号成立， n n 1 n"+'-ln(a+l）-ln, 即n+1 n 所以ano+yh(e+0,…e<he-hea-0, 11 层加可得m+2十…+2n<血(2m)=2 所以sin +sim1,+…+si<n2. n+1 n+2 2n 衡阳市第一中学2026届高考适应性测试（二） 数 学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试题卷上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 1、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．已知集合，则M的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 3．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（   ） A．3 B．8 C． D．9 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（   ） A．的最小正周期是 B．图象的一个对称中心可以是 C．的一个单调递增区间可以是 D．图象的一条对称轴可以是 7．已知函数（其中e为自然对数的底数），若函数恰有三个零点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知两点在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是不存在极值点的充要条件 B．若存在两个极值点，，则 C．过坐标原点只能作曲线的一条切线 D．若有两个零点，则 10．以下命题正确的有（    ） A．设等差数列，的前项和分别为，，若，则 B．数列满足，，则 C．数列满足：，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和为 11．在棱长为2的正方体中，点满足，则（    ） A．当时，平面平面． B．任意，三棱锥的体积是定值． C．存在，使得与平面所成的角为． D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于______. 13．已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为_________. 14．已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________ 4、 解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知中，角、、的对边分别是． (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，，求的面积． 16．（15分）如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.    (1)证明：直线平面； (2)设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，. 17．（15分）素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的． (1)声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为（），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点． (2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望． 18．（17分）如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为．    (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 19．（17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求的值； (3)求证：. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $