精品解析：湖南省G30联盟2026-2027学年高三8月第一次联考数学试题

数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入离心率公式即可计算. 【详解】由离心率公式得：. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， 所以. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量模的平方等于向量自身平方的性质，将两个已知模长等式分别平方后相加，消去数量积项即可求得结果. 【详解】由，得. 由，得. 所以，则. 4. 下列表格记录的是2022年和2023年湖南部分城市常住人口的数据（单位：万人），则由表中数据可知，年度增量数据的40%分位数对应的城市为（ ） 城市 2023年常住人口 2022年常住人口 年度增量 长沙市 1051.31 1042.06 +9.25 湘潭市 270.12 270.27 -0.15 张家界市 149.69 150.40 -0.71 娄底市 374.32 376.01 -1.69 株洲市 385.20 387.11 -1.91 岳阳市 499.14 501.75 -2.61 常德市 518.68 521.30 -2.62 A. 株洲市 B. 岳阳市 C. 娄底市 D. 张家界市 【答案】A 【解析】 【分析】先把年度增量数据从小到大排，算出百分位数的位置，不是整数就向上取整，匹配对应的城市。 【详解】将数据从小到大排列：， 因为一共有7个城市，且，所以第3个数即为40%分位数， 所以年度增量数据的40%分位数为-1.91，对应的为株洲市. 5. 若函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式得，再逐一验证各选项对应的三角函数性质即可判断正误. 【详解】由辅助角公式化简函数： . 选项A：因为正弦函数的最大值为，因此的最大值为， 显然，故A错误； 选项B：因为正弦函数在对称轴位置取得最值， 将代入得：，为的最小值， 因此是的对称轴，故B正确； 选项C：令，解得 所以的单调递增区间为， 在区间内仅为增区间，为减区间，因此在上不单调递增，故C错误； 选项D：正弦函数关于点对称的充要条件是， 所以代入得：， 因此不是的对称中心，故D错误. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】因为， 所以 . 7. 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算可得原式等于，利用基本不等式可求出的最大值，即可求得答案. 【详解】由可知， ， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 结合，则，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 8. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性和平移法求出取得最小值时的长度，再利用几何法得到直线与底面所成的角为，然后在中即可计算的正切值． 【详解】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为上的奇函数，为上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解. 【详解】选项AB，为上的奇函数，则，，，所以，A错；B正确； 选项C，由B，得，又为上的偶函数，则，，所以，，C正确； 选项D，由为上的偶函数，得，所以，D错. 10. 在中，，，，为直线上一点，且，则（ ） A. 为钝角 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，已知三边长，求，使用余弦定理求解即可； 选项B，在中，已知直角边，只需求出即可求出，而可在中用余弦定理即可求得； 选项C，是的斜边，目前已知直角边和的余弦值，运用直角三角形中的三角函数公式即可解决问题； 选项D，与互补，所以，而可在中运用直角三角形中的三角函数公式求得． 【详解】 选项A，由余弦定理可得，，所以为钝角； 选项B，由余弦定理可得，，是锐角，，所以， 因为，所以是直角三角形，在中，； 选项C，在中，； 选项D，因为，所以，即． 11. 已知抛物线，，，，则（） A. 与的准线重合 B. 由，，，的焦点构成的四边形的面积为 C. 同时与，，，相切的直线只有条 D. ，，，所围成封闭图形的面积大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系，逐一分析每个选项，结合抛物线平移规律、判别式、对称性求解. 【详解】选项A：是右移个单位，准线为；是左移个单位，准线为；二者准线均为轴，完全重合，A选项正确； 选项B：由题可知焦点：，焦点：，焦点：，焦点：；四个点构成对角线长均为的菱形，面积，B选项错误； 选项C：斜率不存在时设直线为，代入得，令，解得；代入得，令，解得 ，无公共解，因此斜率不存在时无公切线； 斜率存在的直线为，联立与：代入得，令，化简得：；(1) 联立与：代入得，令，化简得：；(2) 联立与：代入得，令，化简得：；(3) 联立与：代入得，令，化简得：；(4) 联立(3)(4)得：，代入得，此时得到两条直线和， 代入(1)(2)验证：对：，，满足； 对：，，亦满足； 故这两条直线同时与四条抛物线相切，即公切线共有条；C选项正确； 选项D：由，得，则，则在点处的切线为直线与直线交于点． 同理可得在点处的切线为直线，与交于点与直线交于点， 又点，则的面积为的面积为． 所以所围成封闭图形的面积大于，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将5个颜色互不相同的小球排成一排，则不同的排法数为_______. 【答案】120 【解析】 【详解】5个颜色互不相同的小球排成一排，不同的排法数为. 13. 若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系列式求的值. 【详解】由得或， 所以曲线表示两个同心圆，如下图： 因为直线，即与曲线恰有三个公共点， 所以直线与圆相切. 所以. 所以. 14. 已知函数若，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】两段函数均为严格单调递增函数，若 且 ，则两点必然不在同一区间，分情况（1），（2），进行求解. 【详解】当 时，，一次函数单调递增，值域为 ,当 时，，对数函数单调递增，值域为, 两段函数均为严格单调递增函数，若 且 ，则两点必然不在同一区间，下面分类讨论， （1），由 ，得，整理得 ，由，可得， 由得 ， 令 ， ， 当 时，单调递减； 时 ，单调递增， 所以的最小值是，因为，所以，所以 ； （2），由 ，得，即 ，,因为，因此 ，即 ， 由得，, 令 ，求导得 , 当 时，单调递增； 时 ，单调递减， 所以的最大值是 ，因为，所以，所以 ， 综上,则的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记，证明：. 【答案】（1） （2）因为， 所以. 所以，所以. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列式求解. （2）利用裂项求和法证明. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则. 所以. 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱锥中，，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的体积. （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，. 因为，，所以是等腰直角三角形， ，故，. 因为，所以是等腰三角形，则有， 所以. 又，满足，所以是等腰直角三角形，且. 因为平面，且，所以平面，又平面，故平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取底边中点，利用等腰三角形得到垂直，再用勾股逆定理证，得到平面，再进行面面垂直证明即可. （2）直接使用（1）中结论得到的高，再求得底面直角三角形的面积，最后利用锥体体积公式求解即可. （3）利用两两垂直的，，建系，求两个面的法向量，再计算二面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知，平面，三棱锥的高. 而， 所以. 【小问3详解】 由（1）可知，，，两两垂直，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则有，，，，，，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的正弦值. 17. 已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. （1）若点在上，且，求； （2）设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 【答案】（1）； （2）直线的斜率为或． 【解析】 【分析】（1）由双曲线的焦点坐标、渐近线方程以及可求得，再结合双曲线的定义即可求得，此题需要注意点只会在双曲线的左支上； （2）设出直线的斜率，用点斜式写出直线的方程，将直线与双曲线联立解方程组，求出点，再根据对称性求出点，最后用两点间的距离公式结合即可解决问题． 【小问1详解】 因为双曲线的两个焦点为，，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以，所以，所以双曲线， 因为，所以点一定在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得，因此，即； 【小问2详解】 因为过点的直线与的右支交于点（异于），所以直线的斜率必存在，可记为且， 所以直线的方程为，设， 由可得， 可得且，于是且， 代入直线的方程得，所以点， 因为关于的对称点为，所以，所以点， 又因为，所以， 整理得，解得或，均满足，故或， 所以直线的斜率为或． 18. 已知函数，. （1）求在上的单调区间. （2）证明：在上存在最大值. （3）判断（2）中的是否也是在上的最大值，并说明你的理由. 【答案】（1）函数在，上单调递减，在上单调递增. （2）因为，， 所以 . 设，， 则， 再设，， 则，当时，， 所以在上单调递减，又，， 所以唯一存在，使得当时，，进而，所以在上单调递增； 当时，，进而； 当时，，进而，所以在上单调递减. 又因为，，所以， 所以唯一存在，当时，，进而，所以在上单调递增； 当时，，进而，所以在上单调递减. 所以，当时，函数取得极大值，记为. （3）（2）中的不是在上的最大值．理由如下： 设，当时，， 则单调递减，所以， 所以当时，，所以． 当时，． 当时，， 所以存在，使得， 故（2）中的不是在上的最大值． 【解析】 【分析】（1）求导，分段讨论导函数的符号，确定函数的单调性. （2）通过多次求导，分析函数在上的单调性，确定函数的极大值. （3）判断函数的符号，即可得出结论. 【小问1详解】 因为. 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增； 当时，，所以，所以在上单调递增； 当时，，所以，所以在上单调递减. 又，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某判断规则基于次独立检测，每次检测成功的概率均为，其中，.若次检测中成功次数不小于，则判定为通过，否则判定为不通过.若一个具体的次检测结果满足：无论改变其中任意次检测结果，最终判定都不改变，则称这个检测结果是“稳定”的，其中. （1）当时，求一个随机检测结果是“稳定”的概率. （2）当时，记一个随机检测结果是“稳定”的概率为，证明：. （3）求一个随机检测结果是“稳定”的概率取得最小值时的（用含，的表达式表示）. 【答案】（1） （2）证明：设某个检测结果中成功次数为m. 若该结果通过，则，要使改变任意次检测结果后仍通过，只需考虑把次成功改为失败的情况， 故需，即；若该结果不通过，则，要使改变任意次检测结果后仍不通过， 只需考虑把次失败改为成功的情况，故需，即. 因此一个检测结果是“稳定”的充要条件为或. 于是， 当时，同理有. 两式作差得. 由组合数恒正、可知两项均大于0，因此即可得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“2-1稳定”的定义，确定成功次数分别为0，3，4的概率，进而求和即可. （2）根据“稳定”的定义，推导出的表达式，计算差值并化简，证明差值大于0即可. （3）构造函数，则，所以的最小值点等价于的最大值点，然后对求导，根据单调性确定最值点. 【小问1详解】 由“2-1稳定”可知此时，共进行4次独立检测，且通过条件为成功次数不小于2， 设成功次数为m，若原结果通过，则改变任意一次检测结果后仍通过，需有， 即， 若原结果不通过，则改变任意一次检测结果后仍不通过，需有， 即， 故“2-1稳定”的检测结果对应，； 每次检测成功概率为，次独立检测，总事件数为. 成功次数为0的概率：； 成功次数为3的概率：； 成功次数为4的概率：； 总概率为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，非“稳定”的情况对应成功次数满足. 记，则，所以的最小值点等价于的最大值点. 由， 得 ， 因为，所以，所以的正负由的正负决定. ，令，得，解得. 因为函数在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此在处取得最大值，在处取得最小值. 故所求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列表格记录的是2022年和2023年湖南部分城市常住人口的数据（单位：万人），则由表中数据可知，年度增量数据的40%分位数对应的城市为（ ） 城市 2023年常住人口 2022年常住人口 年度增量 长沙市 1051.31 1042.06 +9.25 湘潭市 270.12 270.27 -0.15 张家界市 149.69 150.40 -0.71 娄底市 374.32 376.01 -1.69 株洲市 385.20 387.11 -1.91 岳阳市 499.14 501.75 -2.61 常德市 518.68 521.30 -2.62 A. 株洲市 B. 岳阳市 C. 娄底市 D. 张家界市 5. 若函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 6. （ ） A. B. C. D. 7. 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为上的奇函数，为上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，为直线上一点，且，则（ ） A. 为钝角 B. C. D. 11. 已知抛物线，，，，则（） A. 与的准线重合 B. 由，，，的焦点构成的四边形的面积为 C. 同时与，，，相切的直线只有条 D. ，，，所围成封闭图形的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将5个颜色互不相同的小球排成一排，则不同的排法数为_______. 13. 若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 14. 已知函数若，且，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记，证明：. 16. 如图，在三棱锥中，，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的体积. （3）求二面角的正弦值. 17. 已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. （1）若点在上，且，求； （2）设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 18. 已知函数，. （1）求在上的单调区间. （2）证明：在上存在最大值. （3）判断（2）中的是否也是在上的最大值，并说明你的理由. 19. 某判断规则基于次独立检测，每次检测成功的概率均为，其中，.若次检测中成功次数不小于，则判定为通过，否则判定为不通过.若一个具体的次检测结果满足：无论改变其中任意次检测结果，最终判定都不改变，则称这个检测结果是“稳定”的，其中. （1）当时，求一个随机检测结果是“稳定”的概率. （2）当时，记一个随机检测结果是“稳定”的概率为，证明：. （3）求一个随机检测结果是“稳定”的概率取得最小值时的（用含，的表达式表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $