4.5.3 函数模型的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，以"基础理解-综合应用-拓展探究"分层设计，通过国防、生活等真实情境，强化从单一函数模型到复杂问题解决的知识巩固路径，培养数学建模与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|指数、对数、二次函数模型直接应用|选择题1-6结合钱学森弹道、药物浓度等情境，考查模型参数求解与判断| |综合应用|多模型对比与实际问题分析|多选题9-11涉及保鲜时间、利润函数等，需综合函数性质与数据处理| |拓展探究|复杂情境下的数学建模|解答题15-16通过声强级、企业利润问题，要求构建函数关系并优化求解，体现数学思维与语言表达|

4.5.3 函数模型的应用【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强.关心国防建设的某高一学生，在学习了“函数的应用”后，用的图象拟合某一钱学森弹道，其中（单位：千公里）表示弹道横向位移，（单位：千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据：，则分别为（      ）  A.1，3 B.3，1 C. D. 2.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是(　　) A.9：00 B.8：40 C.8：30 D.8：00 3.（2023·陕西省汉中市汉台中学月考）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则 ，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到，参考数据（ ） A. B. C. D. 4.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系式为y＝y0·ekt.其中y0为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10%，则n的值约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) （      ）  A.20 B.16 C.12 D.7 5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是 （      ）  A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5 C.y＝30＋lg(x－1) D.y＝50 6.有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型适合的是 （      ）  A.y＝logax(a＞1) B.y＝ax＋b(a＞1) C.y＝ax2＋b(a＞0) D.y＝logax＋b(a＞1) 7.（2025-2026·甘肃庆阳高一上期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.07元 超过但不超过的部分 4.07元 超过的部分 6.07元 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（ ） A. B. C. D. 8.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 要使收入每天达到最高，则每间应定价为(　　) A.20元 B.18元 C.16元 D.14元 二、多选题（共3小题） 9.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y = ekx + b（e = 2.718…，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是(　　) A.k < 0 B.储存温度越高保鲜时间越长 C.在10℃的保鲜时间是60小时 D.在30℃的保鲜时间是20小时 10.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.6 B.9 C.8 D.7 11.已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（单位：万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是 （      ）  A.甲工厂今年5月份的利润为86万元 B.乙工厂今年3月份的利润为18万元 C.今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润 D.从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润 三、填空题（共3小题） 12.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得.把温度是100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于                   .(保留三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693) 13.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭（除燃料外）的质量m(kg)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的                   倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒. 14.一个成人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，假设该成人有事需驾车外出，至少要经过                   小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 四、解答题（共2小题） 15.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)=alga为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍. 16.（2025-2026·福建泉州高一上期中）某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足75台时，（万元）；当年产量不少于台时，（万元）.若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完. (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2) 年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.3 函数模型的应用【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强.关心国防建设的某高一学生，在学习了“函数的应用”后，用的图象拟合某一钱学森弹道，其中（单位：千公里）表示弹道横向位移，（单位：千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据：，则分别为（      ）  A.1，3 B.3，1 C. D. 【答案】B 【解析】将分别代入，可得解得 2.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是(　　) A.9：00 B.8：40 C.8：30 D.8：00 【答案】A 【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)， 代入函数的解析式，可得1－a＝1，解得a＝1，所以y＝ 令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25， 解得0<t≤2.5或t≥30， 所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00. 3.（2023·陕西省汉中市汉台中学月考）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则 ，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到，参考数据（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得方程组：， 化简可得：，所以， 大约需要放置能达到最佳饮用口感． 故选：B. 4.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系式为y＝y0·ekt.其中y0为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10%，则n的值约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) （      ）  A.20 B.16 C.12 D.7 【答案】B 【解析】由题意可得y0·e2k＝y0·， 则e2k＝，即ek＝()， 则经过n年时，有y0·enk＝y0·， 即enk＝，则(ek)n＝，则()＝， 所以＝log＝＝≈＝8， 则n＝16. 5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是 （      ）  A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5 C.y＝30＋lg(x－1) D.y＝50 【答案】A 【解析】由于给出的指数型函数的底数大于1，且系数为正数，则其增长速度随着时间的推移越来越快，所以y＝10×1.05x是更有前途的生意.故选A. 6.有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型适合的是 （      ）  A.y＝logax(a＞1) B.y＝ax＋b(a＞1) C.y＝ax2＋b(a＞0) D.y＝logax＋b(a＞1) 【答案】C 【解析】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A、D中的函数模型增长速度越来越慢，B中的函数模型增长速度保持不变，故选C. 7.（2025-2026·甘肃庆阳高一上期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.07元 超过但不超过的部分 4.07元 超过的部分 6.07元 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设此户居民本月用水量为,水费为元. 由时,得； 由时,得； 故,此时. 由,得,解得. 答案为D. 8.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 要使收入每天达到最高，则每间应定价为(　　) A.20元 B.18元 C.16元 D.14元 【答案】C 二、多选题（共3小题） 9.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y = ekx + b（e = 2.718…，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是(　　) A.k < 0 B.储存温度越高保鲜时间越长 C.在10℃的保鲜时间是60小时 D.在30℃的保鲜时间是20小时 【答案】AC 10.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.6 B.9 C.8 D.7 【答案】BC 【解析】设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×n≤，即n≤，由nlg ≤－lg 20， 即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 得n≥≈7.4. 11.已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（单位：万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是 （      ）  A.甲工厂今年5月份的利润为86万元 B.乙工厂今年3月份的利润为18万元 C.今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润 D.从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润 【答案】ACD 【解析】依题意，由有解得∴f(x)＝4x2－4x＋6. 由有解得∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5. ∴甲工厂今年5月份的利润为f(5)＝86万元，A正确； 乙工厂今年3月份的利润为g(3)＝14万元，B错误； 作函数图象如图，从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当1<x<5时，有f(x)>g(x)；当5<x≤12时，有f(x)<g(x)． ∴今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润，C正确； 从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润，D正确．故选ACD. 三、填空题（共3小题） 12.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得.把温度是100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于                   .(保留三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693) 【答案】4.58 【解析】依题意将θ1＝100，θ0＝10，θ＝40代入公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t， 可得e－0.24t＝解得t＝≈4.58. 13.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭（除燃料外）的质量m(kg)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的                   倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒. 【答案】e6－1 【解析】当v＝12000m/s时，2000·ln＝12000，所以ln＝6.所以＝e6－1. 14.一个成人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，假设该成人有事需驾车外出，至少要经过                   小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 【答案】5 【解析】设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有nlg＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车． 四、解答题（共2小题） 15.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)=alga为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍. 【答案】解：(1)设90 dB对应的声强是x1，60 dB对应的声强是x2， 则=1 000， 因为 所以30=alg 所以30=3a，所以a=10， 所以f(x)=10lgx∈(0，+∞). (2)设喷气式飞机起飞时的声强为x3， 所以 所以9=lg所以=109， 故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的109倍. 16.（2025-2026·福建泉州高一上期中）某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足75台时，（万元）；当年产量不少于台时，（万元）.若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完. (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2) 年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？ 【答案】解：(1) 由利润=售价×产量-变动成本-固定成本, 当且时,, 得; 当且时,, 得. 故. (2)当且时,图象开口向下,对称轴为, 故时,; 当且时,由（当且仅当时等号成立）, 得. 综上,当年产量为90台时,该企业获利最大,最大利润为1500万元. 学科网（北京）股份有限公司 $