4.5.3函数模型的应用同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一模型到复杂情境的知识进阶，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|指数/对数模型直接应用|如放射性衰变（题1）、国民生产总值计算（题12），强化概念理解| |情境层|模型建立与简单综合|如平均增长率（题2）、生物丰富度指数（题6），提升实际问题转化能力| |拓展层|复杂情境与多知识综合|如促销定价（题9）、成本优化（题20），融合分段函数与基本不等式，发展数学思维|

4.5.3 函数模型的应用 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某放射性物质的衰变满足（单位：克，单位：年）.若初始质量为100克，则质量减少到50克所需时间约为（）（   ） A．25年 B．34.65年 C．50年 D．69.3年 2．某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（    ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 4．Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．21h B．36h C．35h D．32h 5．地震发生时会释放大量能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系．若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则5.5级地震所释放的能量约为（   ）(参考数据:) A． 焦耳 B． 焦耳 C． 焦耳 D． 焦耳 6．某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好，若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（   ） A． B． C． D． 7．美国生物学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，则（   ） A． B． C． D． 8．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（   ） A． B． C． D． 9．某网店新年礼盒促销，其中四款礼盒的价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%．在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 二、多选题 10．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 11．某城市有一个面积为1的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（    ） A．步行道的宽度为m B．步行道的宽度为m C．步行道的宽度为5m D．草坪不可能为黄金矩形 三、填空题 12．某市年国民生产总值为亿元，计划在今后的年里，平均每年增长，问年该市国民生产总值可达________亿元．（精确到亿元） 13．已知某企业产品年投入成本万元时获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为________万元. 14．在金平区第二届高中数学建模比赛中，某参赛队围绕“基于无障碍的WIFI信号平面传播模型”，发现WIFI信号y（单位：dBm）与距离x（单位：m）的关系可拟合为对数函数模型若某两个设备分别位于距离发射源2m和6m的位置，则这两个位置的信号差的值为___________ 15．碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 16．物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过10分钟，物体的温度为，则再经过20分钟，物体的温度为___________． 17．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民一年的天然气费为元，则此户居民这一年使用的天然气用量为________. 四、解答题 18．已知某地区现有人口50万，人口的年自然增长率为r（）. (1)若，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系； (2)若，多少年后该地区人口总数超过60万人？（） 19．某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 20．已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为时的平均成本为.（备注：平均成本） (1)求的值并求当年产量为50时，总成本是多少？ (2)求的解析式； (3)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 21．要建造一个占地面积为 的矩形游泳池，并在四周修出宽的小路，如图所示.设所建的矩形游泳池的一边的长为 矩形游泳池与小路的占地总面积为 (1)求; (2)求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.5.3 函数模型的应用 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B B D A D D AC 题号 11 答案 ABC 1．B 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解. 【详解】根据题意， 故， 故选：B. 2．D 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，由题意列方程求解即可； 【详解】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 则，解得或（舍去）， 所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 故选：D. 3．A 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】由题意可得轿车价格与年份之间的函数关系式为，再根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】由题意知，轿车价格与年份之间的函数关系式为， ∴，故， ∴， 故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交． 故选：A. 4．B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意可确定，继而将代入公式，即可求得答案. 【详解】根据题意，，当时，，代入公式，得， 所以当时，（h）． 故选：B. 5．B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设，利用待定系数法求出方程，再把代入计算即可. 【详解】设， 则，解得， 所以，则， 当时，． 故选：B． 6．D 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】由， 因为经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15， 所以. 故选：D 7．A 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】代入数据得到方程组，解出即可. 【详解】依题意可得则解得． 故选：A. 8．D 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据题意1个感染者传染人数为，解出不等式即可. 【详解】因为，所以1个感染者传染人数为， 又1个感染者传染人数不超过1，所以，解得，即该地疫苗的接种率至少为， 故选：D. 9．D 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，设订单总价为元，当时，且，求解即可. 【详解】设订单总价为元，当时，实际支付元， 该笔订单店家得到的金额为， 根据题意，恒成立，即 即的最大值为10． 故选：D 10．AC 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 11．ABC 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用 【分析】设广场的宽为m，则长为m，步行道的宽度为m，根据黄金矩形的比例关系列出方程，求出，从而得到D正确，ABC错误. 【详解】设该广场的宽为m，则长为m， 所以， 设步行道的宽度为m，使得草坪为黄金矩形， 由于， 则， 解得：， 故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误. 故选：ABC 12． 【知识点】指数函数模型的应用（2）、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据已知可建立函数关系式，代入即可. 【详解】设该市国民生产总值在年后的第年为亿元，则： 第年：， 第年：，， 第年：， 第年：（亿元）． 故答案为：. 13． 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】 由与成正比，得：，计算即可. 【详解】与成正比，可设，则， 当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元， ，解得，， 时，则， 当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元. 故答案为： 14．8.6 dBm 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算即可得解. 【详解】依题意，这两个位置的信号差的值为 （dBm）. 故答案为：8.6 dBm 15． 【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒），根据所给条件及对数的运算性质求出，即可得解. 【详解】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒）， 则，，又 则 （米／秒）， 所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米）. 故答案为： 16．30 【知识点】指数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】首先根据及经过10分钟，物体的温度为，得出的值，再求出再经过20分钟，物体的温度即可． 【详解】由题意得，，，代入， 得，即， 所以， 所以， 由题意再经过20分钟，将代入， 即，得， 即再经过20分钟，物体的温度为， 故答案为：30． 17． 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】首先确定该户居民使用的天然气用量所在区间，将其设为，根据阶梯定价标准和总费用可构造方程求得的值. 【详解】年天然气用量为时，天然气费为； 年天然气用量为时，天然气费为； 该户居民这一年使用的天然气用量超过但不超过，可设为， 则，解得：， 此户居民这一年使用的天然气用量为. 故答案为：. 18．(1)； (2)21年. 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据人口的年自然增长率为1.2%，由此即可得出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系. （2）由年人口自然增长率为，得，代入，给给定数值求出. 【详解】（1） 现有人口50万，人口的年自然增长率为r， 则人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系为， 当时，. （2）由（1）及已知得，而，则， 又，因此，解得，又，则， 所以21年后该地区人口总数超过60万人. 19．(1) (2)，最小值为297600 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设底面长为x米，宽为米，由容积为立方米，列出水池的总造价关于的函数关系； （2）借助均值不等式即得解. 【详解】（1）设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米. 所以 即； （2）               ，                              当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600. 20．(1) (2) (3)年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）将代入中，可求的值，再求当时，总成本C的值； （2）由平均成本的定义，求的解析式； （3）根据函数解析式，利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）总成本与年产量之间的关系为， 将代入中， 可得，从而， 于是，当. （2）由（1）知. （3）因为， 当且仅当，即时，等号成立. 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 21．(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）求出游泳池另一边长，再利用矩形面积公式表示即可； （2）利用均值不等式求出最小值. 【详解】（1）游泳池另一边的长为， 则，； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故当时，取最小值，最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $