4.5.3函数模型的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“基础全面练+综合应用练”分层设计，通过生活情境问题链实现从单一函数模型应用到综合建模的进阶，强化数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|分段函数、指数/对数/幂函数模型直接应用|结合声强级、视力记录等生活情境，通过选择、填空、解答题（如第10题销售奖励方案）巩固公式应用与基本运算| |综合应用练|函数模型选择、多步逻辑推理与参数求解|以舆情指数分析（第13题）、污染物浓度等复杂问题为载体，考查模型构建与实际问题解决能力，体现数学思维的严谨性|

　函数模型的应用 (时间:45分钟　分值:75分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·长春高一检测)根据统计,一名工人组装第x件产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时5分钟,那么c和a的值分别是 (　　) A.75,25　 B.75,16 C.60,144　 D.60,16 2.(5分)(2025·达州高一检测)声强级L(单位:dB)公式L=10lg ,其中I为声强(单位:W/m2),繁忙的交通道路声强约为10-5W/m2,其声强级为 (　　) A.60 dB　 B.70 dB C.80 dB　 D.90 dB 3.(5分)(2025·松原高一检测)核燃料是重要的能量来源之一,在使用核燃料时,为了冷却熔化核燃料,可以不断向反应堆注入水,但会产生大量放射性核元素污染的冷却水,称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚,它有可能辐射损伤细胞和组织,影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年,半衰期公式为:N=N0(,N0为初始值,T为半衰期,t为时间,则氚含量变成初始量的大约需要经过 (　　) (lg 2≈0.301 0) A.155年　 B.159年 C.162年　 D.166年 4.(5分)某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下 (　　) A.0.015克 B.(1-0.5%)3克 C.0.925克 D.克 5.(5分)某工厂生产一种溶液,按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,若使这种溶液的杂质含量达到市场要求,则过滤次数最少为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　　) A.7　 B.8　 C.9　 D.10 6.(5分)(多选)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,则 (　　) A.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为162 cm3/s B.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为152 cm3/s C.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为4 cm D.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为3 cm 7.(5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据M与小数记录法的数据N满足M=5+lg N.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6,则其视力的小数记录法的数据约为　　.(参考数据:≈2.512)  8.(5分)西北某地区大力兴建防风林带,计划每年通过种植新的苗木使护沙林面积以相同的增长率增加.若通过5年时间可以使面积增加到原来的2倍,则增长率约为　　;以此速率增加,要使护沙林面积达到原来的5倍及以上,至少需要种植新苗木　　年(参考数据:lg 2≈ 0.30,≈1.15).  9.(5分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为　　个单位.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,其飞行速度是　　.  10.(10分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式; (2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 【综合应用练】 11.(5分)(2025·亳州高一检测)已知某种污染物的浓度C(单位:摩尔/升)与时间t(单位:天)的关系满足C=C0ek(t-1),其中C0是初始浓度(即t=1时该污染物的浓度),k是常数,第2天(即t=2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升,第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升,若第n天测得该污染物的浓度变为27C0,则n= (　　) A.4　 B.5　 C.6　 D.7 12.(5分)(多选)(2025·朝阳高一检测)按复利计算利息的储蓄,本金为a(单位:万元),每期利率为r,本利和为y(单位:万元),存期数为x.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金,当存期数为2时,本利和为1.1万元,当存期数为4时,本利和为1.21万元,则 (　　) A.y=a(1+r)x B.r>5% C.甲的本金为1万元 D.当存期数为8时,甲的本利和超过1.44万元 13.(10分)(2026·广东高一检测)舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格: 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①f(x)=ax++c; ②f(x)=plogqx+g;③f(x)=m×nx+s,其中含x的项的系数均不为0. (1)请根据表格数据从①,②,③中选择一个最合适的函数模型,求出其函数解析式,并预测第4天时的舆论场指数; (2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值. 　答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2025·长春高一检测)根据统计,一名工人组装第x件产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时5分钟,那么c和a的值分别是 (　　) A.75,25　 B.75,16 C.60,144　 D.60,16 【解析】选C.由题意可得:a>4,故,则. 2.(5分)(2025·达州高一检测)声强级L(单位:dB)公式L=10lg ,其中I为声强(单位:W/m2),繁忙的交通道路声强约为10-5W/m2,其声强级为 (　　) A.60 dB　 B.70 dB C.80 dB　 D.90 dB 【解析】选B.在L=10lg 中,当I=10-5 W/m2时,L=10lg =10lg 107=70, 所以所求声强级为70 dB. 3.(5分)(2025·松原高一检测)核燃料是重要的能量来源之一,在使用核燃料时,为了冷却熔化核燃料,可以不断向反应堆注入水,但会产生大量放射性核元素污染的冷却水,称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚,它有可能辐射损伤细胞和组织,影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年,半衰期公式为:N=N0(,N0为初始值,T为半衰期,t为时间,则氚含量变成初始量的大约需要经过 (　　) (lg 2≈0.301 0) A.155年　 B.159年 C.162年　 D.166年 【解析】选B.设氚含量变成初始量的大约需要经过t年,则(,=lo, 两边同时取倒数:=-lg lg 2, 两边同时取倒数整理得:t=≈≈159年. 4.(5分)某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下 (　　) A.0.015克 B.(1-0.5%)3克 C.0.925克 D.克 【解析】选D.设每年减少的比例为x, 因此1克这种放射性元素,经过100年后剩余1×(1-x)100克,依题意得(1-x)100=0.5, 所以x=1-,3年后剩余为(1-x)3,将x的值代入,得结果为. 5.(5分)某工厂生产一种溶液,按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,若使这种溶液的杂质含量达到市场要求,则过滤次数最少为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　　) A.7　 B.8　 C.9　 D.10 【解析】选B.设经过n次过滤,这种溶液的杂质含量达到市场要求,则×()n≤, 即()n≤,两边取对数,得nlg ≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥≈7.4. 6.(5分)(多选)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,则 (　　) A.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为162 cm3/s B.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为152 cm3/s C.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为4 cm D.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为3 cm 【解析】选AC.依题意可设v=kr4,k为常数.当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,所以1 250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,故A正确,B错误. 由2r4≥512,解得r≥4,故C正确,D错误. 7.(5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据M与小数记录法的数据N满足M=5+lg N.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6,则其视力的小数记录法的数据约为　0.4　.(参考数据:≈2.512)  【解析】将M=4.6代入M=5+lg N,得lg N=-0.4,则N=10-0.4=≈≈0.398,则其视力的小数记录法的数据约为0.4. 8.(5分)西北某地区大力兴建防风林带,计划每年通过种植新的苗木使护沙林面积以相同的增长率增加.若通过5年时间可以使面积增加到原来的2倍,则增长率约为　15%　;以此速率增加,要使护沙林面积达到原来的5倍及以上,至少需要种植新苗木　12　年(参考数据:lg 2≈ 0.30,≈1.15).  【解析】设增长率为x,初始面积记为m,依题意可得m(1+x)5=2m,即1+x=, 故x=-1≈0.15,即增长率约为15%; 设种植n年后,护沙林面积达到原来的5倍及以上,则m(1+x)n≥5m,即(1+x)n≥5, 因为1+x=,则≥5,即≥log25=-1,n≥-5≈11.67, 所以至少需要种植新苗木12年. 9.(5分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为　10　个单位.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,其飞行速度是　15 m/s　.  【解析】由题意,燕子静止时v=0,即5log2=0, 解得q=10;当q=80时,v=5log2=15(m/s). 10.(10分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式; 【解析】(1)根据题意可知,当销售利润0≤x≤20时,y=0.1x; 当x>20时,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15); 所以可得奖金y关于销售利润x的关系式为y=. (2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 【解析】(2)易知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元, 所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31; 即业务员老江的销售利润是31万元. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·亳州高一检测)已知某种污染物的浓度C(单位:摩尔/升)与时间t(单位:天)的关系满足C=C0ek(t-1),其中C0是初始浓度(即t=1时该污染物的浓度),k是常数,第2天(即t=2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升,第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升,若第n天测得该污染物的浓度变为27C0,则n= (　　) A.4　 B.5　 C.6　 D.7 【解析】选D.由题设,可得ek=,由C0ek(n-1)=27C0,则=27=33, 可得=3⇒n=7. 12.(5分)(多选)(2025·朝阳高一检测)按复利计算利息的储蓄,本金为a(单位:万元),每期利率为r,本利和为y(单位:万元),存期数为x.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金,当存期数为2时,本利和为1.1万元,当存期数为4时,本利和为1.21万元,则 (　　) A.y=a(1+r)x B.r>5% C.甲的本金为1万元 D.当存期数为8时,甲的本利和超过1.44万元 【解析】选ACD.由题意得y=a(1+r)x,则解得 因为(1+5%)2=1.102 5>(1+r)2=1.1,所以r<5%,A,C正确,B错误. 当x=8时,y=(1+r)8=(1+r)4·(1+r)4=1.212>1.22=1.44,D正确. 13.(10分)(2026·广东高一检测)舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格: 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①f(x)=ax++c; ②f(x)=plogqx+g;③f(x)=m×nx+s,其中含x的项的系数均不为0. (1)请根据表格数据从①,②,③中选择一个最合适的函数模型,求出其函数解析式,并预测第4天时的舆论场指数; 【解析】(1)因为舆论场指数12,48,156,增长速度越来越快,所以应该选择模型③来刻画数据. 由题意得:. 因为(m·n2+s)-(m·n+s)=36,所以mn(n-1)=36; 由(m·n3+s)-(m·n2+s)=156-48,所以mn2(n-1)=108. 所以⇒n=3,将n=3代入mn(n-1)=36,可得m=6. 将m=6,n=3代入m·n+s=12,可得s=-6. 所以函数解析式为f(x)=6·3x-6. 令x=4,得f(4)=6×34-6=480, 即预测第4天时的舆论场指数为480. (2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值. 【解析】(2)因为本次舆情不是严重的,即f(x)≤t·9x在x≥1时恒成立. 所以6·3x-6≤t·9x⇒t≥6[-]=6[-],x≥1. 设u=,x≥1,则u∈(0,]. 又y=-u2+u在(0,]上单调递增,所以=-+. 所以t≥6×.所以t的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $