4.5.2 用二分法求方程的近似解 专项分层训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以概念理解为基础，分题型构建“知识回顾-方法技巧-典例应用”三层训练体系，系统覆盖二分法全流程，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|约6题|两步判断法（连续性+端点异号）、关键词抓法|从定义到适用条件，明确二分法局限性| |确定零点区间|约6题|代入验证法、单调函数唯一零点判定|零点存在定理应用，提供初始区间| |精确度问题|约5题|区间长度判断法、精确度与精确到区分|建立误差控制逻辑，理论到操作标准| |区间等分次数|约5题|不等式法（(b-a)/2ⁿ<ε求n）、幂次估值|区间长度衰减规律，数学建模解决次数计算| |求近似解过程|约5题|四步流程（定区间-求中点-判符号-缩区间）|二分法完整操作链，体现程序化思维| |求零点近似值|约5题|终区间选取法、精确度达标判断|从过程到结果，落实近似值合理取值|

人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网 - 徽率数学 第四章 指数函数与对数函数 专项分层训练 §4.5.2 用二分法求方程的近似解 二分法的概念理解题型01 · 知识回顾 1. 二分法定义：对于在区间上连续不断且满足的函数，不断把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2. 使用二分法的两个必要条件 ① 函数在区间上图像连续不断。 ② 区间端点函数值异号。 3. 二分法只能求变号零点；不变号零点（ touching x 轴，如的零点）不能用二分法求解。 · 方法与技巧 1. 判断能否用二分法两步：先看函数在区间是否连续；再看端点函数值乘积是否小于 0。 2. 易错辨析： ① ，区间内仍可能存在偶数个零点，不可以用二分法。 ② 不变号零点，即使图像与 x 轴接触，不能使用二分法。 3. 概念选择题抓关键词：连续不断、端点异号、变号零点。 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 A． B． C． D． 2．下列函数中能用二分法求零点的是 A． B． C． D． 3．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　) A． B． C． D． 4．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 6．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 确定零点(根)所在的区间题型02 · 知识回顾 1. 零点存在定理：在连续，内至少有一个变号零点。 2. 二分法的起点就是确定零点初始区间；区间端点函数值必须一正一负。 3. 若函数单调，则时区间内有且仅有一个变号零点。 · 方法与技巧 1. 步骤： ① 确认函数连续性。 ② 代入自变量计算函数值，寻找两个点使得函数值符号相反。 ③ 零点就在这两个数构成的开区间内。 2. 选择题技巧：直接代入选项区间端点验算函数正负。 3. 注意：得到的是开区间，不是闭区间。 1．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 2．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 3．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是______． 4．小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 5．函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程可得，，，则方程的解所在区间为（     ） A． B． C． D．不能确定 6．用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 二分法精确度问题题型03 · 知识回顾 1. 精确度：若区间满足，则停止计算，此时区间内任意值都可以作为零点的近似解。 2. 区分两个概念：①精确度：看区间长度小于就停止；②精确到小数点后位：要对结果四舍五入，和精确度规则不一样. 3. 停止计算条件：。 · 方法与技巧 1. 核心判断：只要区间两端点之差的绝对值小于精确度，计算终止。区间中任意数均可作为零点近似值。 2. 审题重点：看清题目是 “精确度” 还是 “精确到小数点几位”，二者不要混淆。 3. 做题套路：算出新区间，计算区间长度，对比；满足条件即可停止，不需要继续二分。 4. 易错：不要把端点函数值的大小当作判断停止的依据。 1．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 2．函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 3．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 5．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 二分法区间等分次数问题题型04 · 知识回顾 1. 设初始区间长度为。 每经过 1 次二分，区间长度变为原来； 经过次二分后，区间长度 。 2. 要求满足精确度，即： 解此不等式求出最小正整数，就是最少二分次数。 · 方法与技巧 1. 解题步骤 ① 写出初始区间长度。 ② 列不等式 。 ③ 变形：。 ④ 估算求出满足不等式的最小整数。 2. 技巧：利用的幂次估值，不需要复杂对数计算。 3. 注意：必须取整数，不等式成立才停止，向上取整。 1．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 3．用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是_________________. 5．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 二分法求方程近似解的过程题型05 · 知识回顾 1. 方程的根等价函数的零点。 2. 二分法完整流程：定初始区间→求中点→判断中点函数值符号→缩小区间→检验精确度，达到精度停止。 3. 中点公式：。 · 若：就是精确零点。 · 若：零点落在。 · 若：零点落在。 · 方法与技巧 1. 标准操作步骤 ① 确定初始区间，验证。 ② 求区间中点，计算。 ③ 判断： 如果，为零点； 如果，令； 如果，令。 ④ 判断区间长度，满足精度停止；不满足回到第二步循环。 2. 书写大题时，每一步要写新区间；不要跳步。 3. 易错：缩小区间时只修改其中一个端点，不是两个同时改动。 1．用二分法求函数的一个零点，其参考如下数据： 由此可得到的方程的一个近似解（精确到）为 A．1.55 B．1.56 C．1.57 D．1.58 2．用二分法计算函数的一个正数零点的近似值,其参考数据如下:,,,,.那么方程的一个正的近似解(精确度0.1)为 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 3．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 4．若用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下： 0.5 1 0.75 0.625 0.5625 1 0.462 0.155 则方程的一个近似根（精度为0.1）为（    ） A．0.56 B．0.57 C．0.65 D．0.8 5．函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：                                                   那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44 用二分法求零点的近似值题型06 · 知识回顾 1. 达到精确度要求之后，区间里面任意数值都可以作为零点近似值，常取区间中点或者区间端点。 2. 二分法得到的是近似值，不一定是方程精确根。 3. 只对连续函数的变号零点有效。 · 方法与技巧 1. 解题步骤 ① 确定零点初始区间。 ② 反复取中点，依据中点函数符号不断压缩零点区间。 ③ 每一轮更新零点所在区间。 ④ 当区间长度小于题目给定精确度，终止运算。 ⑤ 从最终区间选取近似值（中点、左端点、右端点均可）。 2. 答题规范：写出最终区间，再给出近似零点。 3. 易错点：没有达到精确度条件不要提前停止；不变号零点不能用二分法求近似值。 1．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表： 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为 A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 2．已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（    ） A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89 4．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 5．某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为__________． 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 8．（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上有零点 B．已经达到精确度，可以取作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 9．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 10．（2025高二·北京·学业考试）为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”． 假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者． （1）写出的值； （2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值； （3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值． 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为______． 1．（2003·上海·高考真题）方程的根___________．（结果精确到0.1） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网 - 徽率数学 第四章 指数函数与对数函数 专项分层训练 §4.5.2 用二分法求方程的近似解 二分法的概念理解题型01 · 知识回顾 1. 二分法定义：对于在区间上连续不断且满足的函数，不断把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2. 使用二分法的两个必要条件 ① 函数在区间上图像连续不断。 ② 区间端点函数值异号。 3. 二分法只能求变号零点；不变号零点（ touching x 轴，如的零点）不能用二分法求解。 · 方法与技巧 1. 判断能否用二分法两步：先看函数在区间是否连续；再看端点函数值乘积是否小于 0。 2. 易错辨析： ① ，区间内仍可能存在偶数个零点，不可以用二分法。 ② 不变号零点，即使图像与 x 轴接触，不能使用二分法。 3. 概念选择题抓关键词：连续不断、端点异号、变号零点。 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据二分法求零点的条件，直接判断，即可得出结果. 【详解】能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A、B、D能满足此条件，C不满足． 故选：C． 2．下列函数中能用二分法求零点的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，在区间上有，则在区间上存在零点.由此对四个选项中的图像逐一分析，从而判断出能够采用二分法求零点的选项. 【详解】在A中，函数无零点，在B和D中，函数有零点，但它们在零点两侧的函数值的符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图像是连续不断的，且图像与轴有交点，并且其零点两侧的函数值异号，所以C中的函数能用二分法求其零点． 故选C. 3．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴． 【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续． 故选C． 4．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断各个选项中函数的零点及在零点左右两侧函数值是否异号即可. 【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点. 故选：B. 5．下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 6．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 确定零点(根)所在的区间题型02 · 知识回顾 1. 零点存在定理：在连续，内至少有一个变号零点。 2. 二分法的起点就是确定零点初始区间；区间端点函数值必须一正一负。 3. 若函数单调，则时区间内有且仅有一个变号零点。 · 方法与技巧 1. 步骤： ① 确认函数连续性。 ② 代入自变量计算函数值，寻找两个点使得函数值符号相反。 ③ 零点就在这两个数构成的开区间内。 2. 选择题技巧：直接代入选项区间端点验算函数正负。 3. 注意：得到的是开区间，不是闭区间。 1．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用函数的零点存在定理可得出结论. 【详解】由题意得，设， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 所以，所以函数在区间有零点， 即在区间上，方程有近似解， 故选：C. 2．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得，，由零点存在定理可得结果. 【详解】设，在上单调递增. ∵，. ∴根据函数的零点存在性定理得出：的零点在区间内； 方程的解所在的区间为， 故选：B. 3．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是______． 【答案】1.5/ 【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解. 【详解】设函数，易得函数为严格增函数， 因为，， 所以下一个有根区间是， 那么下一个取的点是． 故答案为： 4．小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 【答案】 【分析】设，计算，，，，得到答案. 【详解】设，则，， ，；，， 故近似解所在的区间为. 故答案为： 5．函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程可得，，，则方程的解所在区间为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用二分法可得结论. 【详解】因为，故方程的解所在区间为. 故选：A. 6．用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上. 【详解】令， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， ， 所以在上有唯一零点，即，故， 所以方程的根落在区间上， 故选：B. 二分法精确度问题题型03 · 知识回顾 1. 精确度：若区间满足，则停止计算，此时区间内任意值都可以作为零点的近似解。 2. 区分两个概念：①精确度：看区间长度小于就停止；②精确到小数点后位：要对结果四舍五入，和精确度规则不一样. 3. 停止计算条件：。 · 方法与技巧 1. 核心判断：只要区间两端点之差的绝对值小于精确度，计算终止。区间中任意数均可作为零点近似值。 2. 审题重点：看清题目是 “精确度” 还是 “精确到小数点几位”，二者不要混淆。 3. 做题套路：算出新区间，计算区间长度，对比；满足条件即可停止，不需要继续二分。 4. 易错：不要把端点函数值的大小当作判断停止的依据。 1．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 2．函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 3．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解二分法求零点的原理，二分法是不断将区间一分为二，根据函数值的正负来确定零点所在的子区间.然后根据已知条件，分析近似值与真实零点的误差范围. 【详解】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么. 已知，那么，. 由于，所以，. 所以近似值与真实零点的误差的取值范围是. 故选：B. 4．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 5．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 【答案】D 【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值． 【详解】对于A，由，且连续，则根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误； 对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确． 故选：D． 二分法区间等分次数问题题型04 · 知识回顾 1. 设初始区间长度为。 每经过 1 次二分，区间长度变为原来； 经过次二分后，区间长度 。 2. 要求满足精确度，即： 解此不等式求出最小正整数，就是最少二分次数。 · 方法与技巧 1. 解题步骤 ① 写出初始区间长度。 ② 列不等式 。 ③ 变形：。 ④ 估算求出满足不等式的最小整数。 2. 技巧：利用的幂次估值，不需要复杂对数计算。 3. 注意：必须取整数，不等式成立才停止，向上取整。 1．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 2．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 3．用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二分法的特征计算即可. 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 4．已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是_________________. 【答案】 【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足（精确度）确定即可. 【详解】设需要计算次，则满足， 即，由于，， 所以将区间等分的次数至少是次. 故答案为：. 5．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 二分法求方程近似解的过程题型05 · 知识回顾 1. 方程的根等价函数的零点。 2. 二分法完整流程：定初始区间→求中点→判断中点函数值符号→缩小区间→检验精确度，达到精度停止。 3. 中点公式：。 · 若：就是精确零点。 · 若：零点落在。 · 若：零点落在。 · 方法与技巧 1. 标准操作步骤 ① 确定初始区间，验证。 ② 求区间中点，计算。 ③ 判断： 如果，为零点； 如果，令； 如果，令。 ④ 判断区间长度，满足精度停止；不满足回到第二步循环。 2. 书写大题时，每一步要写新区间；不要跳步。 3. 易错：缩小区间时只修改其中一个端点，不是两个同时改动。 1．用二分法求函数的一个零点，其参考如下数据： 由此可得到的方程的一个近似解（精确到）为 A．1.55 B．1.56 C．1.57 D．1.58 【答案】B 【分析】根据零点存在定理可判断该方程的近似解. 【详解】因为，， 且精确到为，精确到为， 故方程的近似解为，故选B. 2．用二分法计算函数的一个正数零点的近似值,其参考数据如下:,,,,.那么方程的一个正的近似解(精确度0.1)为 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【解析】利用二分法的方法判断出方程的根分布的区间，据精确度求出根的近似值． 【详解】解： ,,,， 由二分法知，方程的根在区间 精确到时，方程的近似根为 故选：． 3．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 4．若用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下： 0.5 1 0.75 0.625 0.5625 1 0.462 0.155 则方程的一个近似根（精度为0.1）为（    ） A．0.56 B．0.57 C．0.65 D．0.8 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理和精确度要求即可得解. 【详解】由表格知在区间两端点处的函数值符号相反，且区间长度不超过0.1，符合精度要求， 因此，近似值可取此区间上任一数． 故选：B 5．函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：                                                   那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44 【答案】C 【分析】根据二分法的定义和精确度的要求分析判断即可 【详解】由所给数据可知，函数在区间内有一个根， 因为，， 所以根在内， 因为，所以不满足精确度， 继续取区间中点， 因为 ，， 所以根在区间， 因为，所以不满足精确度， 继续取区间中点， 因为，， 所以根在区间内， 因为满足精确度， 因为，所以根在内， 所以方程的一个近似解为， 故选：C 用二分法求零点的近似值题型06 · 知识回顾 1. 达到精确度要求之后，区间里面任意数值都可以作为零点近似值，常取区间中点或者区间端点。 2. 二分法得到的是近似值，不一定是方程精确根。 3. 只对连续函数的变号零点有效。 · 方法与技巧 1. 解题步骤 ① 确定零点初始区间。 ② 反复取中点，依据中点函数符号不断压缩零点区间。 ③ 每一轮更新零点所在区间。 ④ 当区间长度小于题目给定精确度，终止运算。 ⑤ 从最终区间选取近似值（中点、左端点、右端点均可）。 2. 答题规范：写出最终区间，再给出近似零点。 3. 易错点：没有达到精确度条件不要提前停止；不变号零点不能用二分法求近似值。 1．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表： 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为 A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【解析】根据二分法的思想,确定函数零点所在区间,并确保精确度为0.1即可. 【详解】根据二分法的思想,因为, 故的零点在区间内, 但区间的长度为,不满足题意, 因而取区间的中点, 由表格知, 故的零点在区间内, 但区间的长度为,不满足题意, 因而取区间的中点, 可知区间和中必有一个存在的零点, 而区间长度为, 因此是一个近似解, 故选:B. 2．已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 3．已知函数的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（    ） A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89 【答案】B 【分析】由表格数据结合零点存在性定理得出零点的近似值. 【详解】根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57 故选：B 4．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 5．某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为__________． 【答案】2.75 【分析】计算出，，，结合二分法得到答案. 【详解】， ，， 故由零点存在性定理知，内存在零点，下一步需计算. 故答案为：2.75 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零点所在区间及零点的近似值. 【详解】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理和二分法，不断将区间一分为二后计算即可求得. 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02得，求出. 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以； 故选：C 6．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 7．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【分析】在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间，根据二分法基本原理满足，，即可判断近似值. 【详解】∵与都是R上的单调递增函数， ∴是R上的单调递增函数， ∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，， ∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为， ∴，A错误；方程有实数解，B正确； ，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确； ，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误. 故选：BC. 8．（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上有零点 B．已经达到精确度，可以取作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 【答案】AD 【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值． 【详解】对于A项：，由函数零点存在定理知，方程在区间有实根，故A正确； 对于B项：，没有达到精确度的要求，故B错误； 对于C、D项：由，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故C错误，D正确； 故选：AD. 9．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用函数的零点判定定理推出结果即可． 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 10．（2025高二·北京·学业考试）为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”． 假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者． （1）写出的值； （2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值； （3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值． 【答案】（1）；（2）感染者人数可能的取值为，，；（3）． 【分析】（1）由图可计算得到的取值； （2）当经过轮共次检测后确定所有感染者，只需第轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果； （3）当所需检测次数最大时，需有名感染者，并在第轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为的组，每组个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果. 【详解】（1）由题意知：第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；； （2）由（1）可知：若只有个感染者，则只需次检测即可； 经过轮共次检测查出所有感染者，比只有个感染者多次检测，则只需第轮时，对两组都都进行检查，即对最后个人进行检查，可能结果如下图所示： 感染者人数可能的取值为，，. （3）若没有感染者，则只需次检测即可； 若只有个感染者，则只需次检测即可； 若有个感染者，若要检测次数最多，则第轮检测时，个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为的组，每组个感染者，此时每组需要次检测；此时两组共需次检测； 若有个感染者，且检测次数最多，共需次检测. 综上所述：所需总检测次数的最大值为. 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为______． 【答案】1.875 【分析】用二分法求函数在区间内的零点，精确到，已知，，通过反复取中点并判断函数值符号，逐步缩小区间，直到零点所在区间的长度小于 ，即可得到精确到 的近似解. 【详解】根据二分法原理，方程的根即函数的零点， 初始区间为（因， 第一个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第二个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第三个值：取区间的中点，计算得：，新区间为； 第四个值：取区间的中点，计算得： ， 由于，新区间为。此时区间长度， 满足精度要求，且区间两端点的值精确到均为，因此得出近似解为 此时区间两端精确到均为，即近似解为. 综上，所取四个值依次为，第三个值为. 故答案为： 1．（2003·上海·高考真题）方程的根___________．（结果精确到0.1） 【答案】2.6 【分析】首先确定根在之间，设，通过二分法结合计算器确定其答案. 【详解】设，函数单调递增， 且 ， ， 结果保留到,则. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $