26.2.2 第3课时 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象与性质，通过“知识链接”回顾y＝ax²、y＝ax²＋k的旧知，搭建前后知识脉络，以学习支架形式引导学生理解平移关系及图象特征。 资料以“自主探究+合作交流”为主线，通过平移实例归纳性质，结合典型例题与变式训练，培养学生抽象能力和推理意识，当堂检测与拓展延伸设计助力学生用数学语言表达函数关系，提升模型意识与应用能力。

第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象与性质（第3课时）——二次函数 y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质 【学习目标】 ① 理解二次函数 y＝ax²、y＝ax²＋k 与 y＝a(x－h)²＋k 图象之间的平移关系（口诀“左加右减、上加下减”）； ② 掌握 y＝a(x－h)²＋k 的开口方向、对称轴（直线 x＝h）、顶点坐标（h，k），以及增减性与最值； ③ 能由平移写出函数解析式，并比较函数值大小、利用增减性求给定自变量范围内的最值。 【学习重难点】 重点：y＝a(x－h)²＋k 的图象特征与平移规律“左加右减、上加下减”；顶点坐标（h，k）、对称轴 x＝h 与最值。 难点：结合图象确定给定自变量范围内的最值；函数值大小比较。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 抛物线 y＝ax² 的对称轴是________轴，顶点是（________，________）；当 a>0 时开口向________，有最________值。 2. 抛物线 y＝ax²＋k 可看作由 y＝ax² 向________平移________个单位得到（k>0 向上，k<0 向下），其对称轴是________轴，顶点是（0，________）。 3. 平移口诀：图象上下平移“上________下________”；左右平移“左________右________”（即“左加右减、上加下减”）。 【自主探究】 探究1　左右平移与上下平移的组合 将二次函数 y＝x² 的图象先左右平移、再上下平移，写出解析式并说出顶点坐标： 1. 向右移 2 个单位、再向上移 1 个单位，得到函数 y＝________，其顶点坐标为（________，________）； 2. 向左移 1 个单位、再向下移 2 个单位，得到函数 y＝________，其顶点坐标为（________，________）。 性质归纳：抛物线 y＝a（x－h＋k可由 y＝ax² 先向________平移________个单位（h>0 向右、h<0 向左），再向________平移________个单位（k>0 向上、k<0 向下）得到；其顶点是（________，________），对称轴是直线________；a 决定________（开口方向与大小），a>0 开口向________，a<0 开口向________。 探究2　利用增减性求最值 例3 已知 y＝2（x＋1－1。 (1) 当 －2≤x≤3 时，抛物线开口向上，顶点（－1，－1）在区间内，当 x＝________时，y 有最________值，最小值为________； (2) 当 0≤x≤3 时，顶点 x＝－1 不在区间内，函数在 [0,3] 上随 x 增大而________，最小值在 x＝________处取得，最小值为________。 变式3 已知 y＝－5（x－3＋2。 (1) 当 4≤x≤7 时，抛物线开口向下，当 x＝________时，y 有最大值________； (2) 当 1<x<6 时，对称轴 x＝3 在区间内，当 x＝________时，y 有最大值________。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 例1 将抛物线 y＝2（x－1先向右平移 2 个单位、再向下平移 2 个单位，得到的新函数解析式为 y＝________。（　　）A.2（x－3－2　B.2（x＋1－2　C.2（x－3＋2　D.2（x－1－2 变式1 (1) 把 y＝3x² 向左平移 2 个单位、再向上平移 5 个单位，得到 y＝________； 　　(2) 把 y＝－3（x－4＋1向下平移 1 个单位、再向右平移 5 个单位，得到 y＝________。 例2 关于抛物线 y＝2（x－3＋1，下列结论：① 开口向下；② 对称轴是直线 x＝－3；③ 顶点坐标是 (3,－1)；④ 当 x<3 时 y 随 x 增大而减小；⑤ 它由 y＝2x² 先向左平移 3 个单位、再向下平移 1 个单位得到。其中正确的结论是（填序号）________。 变式2 关于抛物线 y＝－4（x＋6－5，下列结论：A. 当 x＝－6 时有最大值 －5；B. 对称轴是直线 x＝6；C. 顶点坐标是 (6,－5)；D. x<－6 时 y 随 x 增大而减小。其中正确的是（　　）________。 【当堂检测】 1. 把抛物线 y＝－3向左平移 2 个单位、再向下平移 1 个单位，得到的抛物线是（　　）。A.－3（x－2－1　B.－3（x＋2＋1　C.－3（x＋2－1　D.－3（x－2＋1 2. 二次函数 y＝4（x－3＋7的顶点坐标是（　　）。A.(－3,7)　B.(3,7)　C.(3,－7)　D.(－3,－7) 3. 已知点 A(－1,y₁)、B(－2,y₂)、C(－3,y₃) 都在 y＝3（x＋1－1的图象上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　）。A.y₁<y₂<y₃　B.y₁<y₃<y₂　C.y₃<y₂<y₁　D.y₂<y₁<y₃ 4. 二次函数 y＝（x－1＋（m＋2）的顶点坐标为（h，k）＝（________，________），若该顶点在第四象限，则 m 的取值范围是________。 5. 已知 y＝（x－2－1。 　(1) 填表：x＝0,1,2,3,4 时对应的 y 值依次为________，________，________，________，________； 　(2) 当 x＝________时，y 有最小值，最小值为________； 　(3) 当 2≤x≤5 时，y 的最大值为________（在 x＝________处取得）； 　(4) 当 －2≤x≤3 时，y 的最小值为________，最大值为________（在 x＝________处取得）。 6. (综合) 已知二次函数 y＝－（x－1＋4，与 x 轴交于 A、B（A 在左、B 在右），与 y 轴交于 C。点 P 在对称轴上，使 PA＋PC 的值最小，则 P 点坐标为（________）。 【学习小结】 1. 平移规律：抛物线 y＝ax² 左右平移得 y＝a(x－h)²，再上下平移得 y＝a(x－h)²＋k，口诀“________”（左加右减、上加下减）。 2. 顶点与对称轴：y＝a(x－h)²＋k 的顶点是（________，________），对称轴是直线________。 3. 最值与开口：当 a>0 时，开口向________，有最________值；当 a<0 时，开口向________，有最________值。 【拓展延伸】 思考：① y＝a(x－h)²＋k 与 y＝ax² 的________相同（开口大小只与 |a| 有关，与 h、k 无关）；② y＝a(x－h)²＋k 与 y＝－a(x－h)²＋k 关于________轴对称，你能结合解析式说明理由吗？ 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. y；0；0；上；小。 2. 上(或下，依 k 符号)；|k|；y；k。 3. 加；减；加；减（左加右减、上加下减）。 二、自主探究 探究1 1. y＝(x－2)²＋1；顶点(2,1)。 　　　 2. y＝(x＋1)²－2；顶点(－1,－2)。 　　 性质归纳：右(h>0)/左(h<0)；上(k>0)/下(k<0)；h；k；直线 x＝h；a（开口方向与大小）；上；下。 探究2 例3 (1) x＝－1，y 有最小值 －1；(2) 随 x 增大而增大，最小值在 x＝0 处为 1。 　　 变式3 (1) x＝3 时最大值 2；(2) x＝3 时最大值 2。 三、合作交流 例1：y＝2(x－3)²－2，选 A。 变式1：(1) y＝3(x＋2)²＋5；(2) y＝－3(x－9)²。 例2：正确的结论是 ④（①开口向下错，a=2>0 向上；②对称轴应为 x＝3；③顶点应为(3,1)；④当 x<3 时 y 随 x 增大而减小，正确；⑤应右移3、上移1，非左3下1）。 变式2：正确的是 A（最大值 －5、对称轴 x＝－6、顶点(－6,－5)、x<－6 时 y 随 x 增大而增大）。 四、当堂检测 1. C（向左2、向下1：y＝－3(x＋2)²－1）。 2. B（顶点(3,7)）。 3. A（a=3>0，对称轴 x＝－1，越远离对称轴 y 越大，故 y₁<y₂<y₃）。 4. h＝1，k＝m＋2；顶点(1,m＋2)在第四象限 → m＋2<0 → m<－2。 5. (1) 表：3,0,－1,0,3。(2) x＝2 时最小，最小值 －1。(3) 2≤x≤5 时最大 8（x＝5）。(4) －2≤x≤3 时最小 －1，最大 15（x＝－2 时 y＝15）。 6. P(1,2)（作 C 关于对称轴 x＝1 的对称点 C'(2,3)，连 AC' 与对称轴交点即 P；直线 AC'：y＝2x＋2，x＝1 时 y＝2）。 五、学习小结 1. 左加右减、上加下减。 2. (h,k)；直线 x＝h。 3. 上；小；下；大。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $