三角函数滚动习题(九)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 三角函数同步练习通过基础选择、中档填空多选、提升解答的三层设计，覆盖图像变换、性质应用等核心知识点，从概念理解到实际建模，梯度清晰，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-7）|三角函数图像平移、周期计算等单一概念|直接考查定义与基本运算，如第2题血压周期关联心跳次数，培养数学眼光| |中档层（多选8-9、填空10-12）|图像变换综合、性质辨析、部分图像求解析式|需多步骤推理，如第8题图像变换步骤辨析，体现数学思维的逻辑性| |提升层（解答13-15）|解析式求解、实际情境建模（摩天轮）、方程解问题|结合现实情境构建函数模型，如第14题摩天轮高度函数，发展数学语言表达能力|

三角函数滚动习题(九) (时间:45分钟　分值:105分) 一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.要得到函数y=sin x的图象,只需将函数y=cos x的图象 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.向右平移个单位长度 B.向右平移π个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移π个单位长度 2.人的心脏跳动时,血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式p(t)=110+20sin(140πt),其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数为 (　 ) A.50 B.70 C.90 D.130 3.某简谐运动可以用函数f(x)=sin表示,把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的初相为 (　 ) A. B. C. D. 4.[2026·湖南师大附中高一期末] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　 ) A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=- C.ω=3,φ= D.ω=3,φ=- 5.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y(单位:mm)与时间t(单位:s)之间满足关系式y=20sin,t∈[0,+∞),则开始计时后,该振子第一次到达位移最小的点所用的时间为 (　 ) A.0.6 s B.0.5 s C.0.4 s D.0.3 s 6.将函数y=sin x-cos x的图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 (　 ) A. B. C. D. 7.把函数f(x)=sin-2cos的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若方程g(x)=a在内的两根分别为x1,x2,则tan(x1+x2)= (　 ) A.2 B.-2 C. D.- 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 8.为了得到函数f(x)=sin的图象,只需把正弦曲线y=sin x上所有的点 (　 ) A.向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 B.向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度 D.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度 9.在天文观测中,某恒星的亮度在某时刻随时间t(t∈R,单位:百年)的变化曲线可以用函数L(t)=sin(ωt+φ)+m(ω>0,φ,m∈R)来描述.观测发现在t=1和t=3时,该恒星的亮度均为m,而当t=0时,恒星处于最亮状态,则下列说法正确的有 (　 ) A.在区间[0,1]内,恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条 B.在区间[-1,1]内,恒星的亮度为m的次数一定是偶数 C.在区间[-1,3]内,恒星达到最暗的次数一定是奇数 D.在区间[-3,1]内,恒星达到最暗的次数一定是偶数 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 10.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为　　　　.  11.[2026·江苏常州一中高一调研] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=　　　　.  12.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f=1,f=0,且f(x)在上单调,则ω的最大值为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(13分)[2026·哈尔滨高一期末] 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示. (1)求f(x)的解析式与最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间与f(x)在区间上的取值范围. 14.(15分)如图,某摩天轮最高点距离地面高度为130 m,转盘直径为120 m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min后距离地面的高度为H m,求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式; (2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度; (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到0.1). 15.(15分)若函数f(x)=2sin(ωx+φ)的半个最小正周期为,且角φ的终边经过点P(1,-). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若方程3[f(x)]2-f(x)+m=0在内有两个不同的解,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数滚动习题(九) 1.A　[解析] ∵函数y=cos x=sin,∴要得到函数y=sin x的图象,只需将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度. 2.B　[解析] 由题意得,此人每分钟心跳的次数为=70.故选B. 3.C　[解析] 将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位后,得到函数g(x)=sin=sin的图象,所以函数g(x)的初相为.故选C. 4.C　[解析] 由题图知,=-=,所以T==,解得ω=3,则f(x)=Asin(3x+φ),点在f(x)的图象上,结合图象可得-+φ=2kπ,k∈Z,则φ=+2kπ,又0<|φ|<,所以φ=.故选C. 5.A　[解析] 由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期T==0.6(s),当t=0时,y=-20,所以开始计时时该振子的位移为-20 mm,则该振子第一次到达位移最小的点所用时间为0.6 s.故选A. 6.C　[解析] 令y=f(x)=sin x-cos x=2sin,将函数f(x)的图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)=2sin的图象.因为g(x)的图象关于y轴对称,所m-=+kπ,k∈Z,解得m=+kπ,k∈Z,又m>0,所以当k=0时,m取得最小值.故选C. 7.A　[解析] 由题知g(x)=f=sin-2cos=sin-2cos=cos 2x+2sin 2x=sin(2x+φ),其中φ为锐角,且tan φ=.当0≤x≤时,φ≤2x+φ≤π+φ,因为方程g(x)=a在内的两根分别为x1,x2,根据正弦函数的对称性可得(2x1+φ)+(2x2+φ)=π,所以x1+x2=-φ,所以tan(x1+x2)=tan==2.故选A. 8.AC　[解析] 正弦曲线y=sin x向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin的图象,故A正确,B错误;将正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin 2x的图象,再向右平移个单位长度,得到函数f(x)=sin的图象,故C正确,D错误.故选AC. 9.BC　[解析] 当ω=时,在区间[0,1]内恒星亮度变化曲线有2条对称轴,故A错误;当t=0时,恒星处于最亮状态,即函数L(t)取最大值,可得φ=+2kπ(k∈Z),则L(t)=sin+m=cos ωt+m,所以直线t=0是函数L(t)的图象的对称轴,区间[-1,1]关于t=0对称,故恒星的亮度为m的次数一定是偶数,故B正确;当t=1和t=3时,该恒星的亮度均为m,且t=0时恒星处于最亮状态,L(1)=cos ω+m=m,故cos ω=0,则L(2)=cos 2ω+m=2cos2ω-1+m=m-1,即t=2时,L(t)取最小值,在[-1,1]内,恒星达到最暗的次数一定是偶数,在[1,3]内,由于区间关于t=2对称,且t=2时,L(t)取最小值,故恒星达到最暗的次数一定是奇数,故在区间[-1,3]内,恒星达到最暗的次数一定是奇数,故C正确;当ω=时,=4,在区间[-3,1]内恒星达到最暗的次数是1,故D错误.故选BC. 10.0.02 s　[解析] 单摆来回摆动一次,即完成一个周期,因为s=6sin的最小正周期T===0.02,所以单摆来回摆动一次所需的时间为0.02 s. 11.2+2　[解析] 由题图知,A=2,=2,所以T=8=,所以ω=,所以f(x)=2sin,又f(2)=2,所以2=2sin,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ,k∈Z,所以f(x)=2sinx,所以f(1)=f(3)=2sin=,f(2)=2,f(4)=0,f(5)=f(7)=-,f(6)=-2,f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]+[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2+2. 12.　[解析] ∵f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f=1,f=0,∴-=+(n∈N),即T=(n∈N),∴ω==(n∈N).∵f(x)在上单调,∴-=≤=,即ω≤,∴当n=1时,ω取得最大值. 13.解:(1)由题图可得,f(x)的最小值为-,则-A=-,即A=. 由题图可得,f(x)的个最小正周期为-=, 则f(x)的最小正周期为π, 所以=π,解得|ω|=2. 由题图可得,f(0)=cos φ=1, 则cos φ=,又φ∈,所以φ=. 由题图可得,+=+2kπ,则ω=2+16k,k∈Z,结合|ω|=2,可得ω=2. 综上可得,f(x)=cos,最小正周期为π. (2)令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 因为x∈,所以2x+∈, 又y=cos x在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)≤cos 0=,f(x)≥min=cos=-1, 所以f(x)在区间上的取值范围为[-1,]. 14.解:(1)如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系, 设t=0 min时,游客甲位于点P(0,-60),以OP为终边的角为-. 根据摩天轮转一周大约需要30 min,可知座舱转动的角速度约为 rad/min, 由题意可得,H=60sin+70,0≤t≤30. (2)当t=5 min时,H=60sin+70=40, 所以游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为40 m. (3)设甲在乙前坐上座舱,如图,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示, 则经过t min后甲距离地面的高度为H1=60sin+70, ∠AOB==, 此时乙距离地面的高度为H2=60sin+70. 则甲、乙距离地面的高度差h=|H1-H2|=60. 因为sin θ+sin φ=2sincos, 所以h=120,0≤t≤30. 当t-=时,h取得最大值,hmax=120sin≈7.8, 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.8 m. 15.解:(1)因为角φ的终边经过点P(1,-),所以tan φ=-,又-<φ<0,所以φ=-. 因为函数f(x)的半个最小正周期为, 所以T=,即=, 则ω=3,故f(x)=2sin. (2)因为x∈,所以3x-∈(0,π),则0<sin≤1. 设f(x)=t,则问题等价于关于t的方程3t2-t+m=0在(0,2)上有且仅有一个根或有两个相等的根. 令-m=3t2-t,t∈(0,2),作出函数y=3t2-t,t∈(0,2)的图象与直线y=-m,如图. 当t=时,y=-;当t=2时,y=10. 由图知当-m=-或0≤-m<10时,直线y=-m与函数y=3t2-t,t∈(0,2)的图象有且只有一个公共点. 故实数m的取值范围是(-10,0]∪. 学科网（北京）股份有限公司 $