滚动习题(八)[范围：5.4～5.5]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 范围5.4~5.5，含选择（单选7题、多选2题）、填空3题、解答3题，45分钟105分。分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角函数值计算、函数周期奇偶性|直接应用公式，巩固基础运算能力| |进阶层|图像交点、恒等变换、值域求解|结合图像与推理，提升逻辑思维| |提升层|实际情境建模（扇形矩形面积）|情境化问题设计，培养模型意识与创新思维|

滚动习题(八)[范围:5.4~5.5] (时间:45分钟　分值:105分) 一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 75°cos 75°的值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.函数f(x)=sin 4x是 (　 ) A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 3.函数y=cos,x∈的值域是 (　 ) A. B. C. D. 4.[2026·辽宁葫芦岛高一期末] 已知sin α=2cos,则tan(α+π)= (　 ) A.-2 B.2 C.- D. 5.当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象所有交点横坐标之和为 (　 ) A.π B.2π C.3π D.4π 6.若=tan α,且α∈,则tan 2α= (　 ) A.- B.-7 C.- D.- 7.[2026·广州广雅中学高一期末] 已知sin(α-β)=3cos(α+β),tan(α-β)=,则tan αtan β=(　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 8.下列式子的值为的是 (　 ) A.sin 750° B.sin 75°cos(-75°) C. D.cos 82°cos 22°+cos 8°sin 22° 9.[2026·济南外国语学校高一月考] 已知f(x)=2cos2-2cossin-1,则下列说法正确的有 (　 ) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象的一条对称轴为直线x= C.f(x)的单调递增区间为,k∈Z D.若当x∈时,函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则k∈∪(0,1) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 10.已知sin α+cos α=,则sin 2α的值为　　　　.  11.如果函数y=cos(2x+φ)的图象关于点对称,那么|φ|的最小值为　　　　.  12.函数f(x)=cos 2x+2sin x-1的最大值为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(13分)已知0<α<,<β<π,cos α=,sin(α+β)=. (1)求cos β的值; (2)求β-α的值. 14.(15分)[2026·河南安阳一中高一检测] 已知函数f(x)=sincos φ+cossin φ(0<φ<π)的图象关于点对称. (1)求φ的值; (2)若x∈,求函数f(x)的最值及取最值时的x的值; (3)若0<α<π,且f=,求cos(α+φ)的值. 15.(15分)[教材P227例10变式] 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园,为了充分利用这块草坪,要求该矩形ABCD的四个顶点都落在边界上.经过测量,在扇形OMN中,OM=20 m,∠MON=,记∠MOD=α,共设计了两个方案: 方案一:如图①,点A,B在半径OM上,点C在半径ON上,D是扇形弧上的动点,此时矩形ABCD的面积记为S1; 方案二:如图②,点A,B分别在半径OM和ON上,点C,D在扇形弧上,AB∥MN,记此时矩形ABCD的面积为S2. (1)用α表示两个方案中矩形ABCD的面积S1,S2; (2)分别求出S1,S2的最大值,并比较二者最大值的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(八) 1.C　[解析] 原式=×2sin 75°cos 75°=sin 150°=×=.故选C. 2.A　[解析] 函数f(x)=sin 4x的定义域为R,由f(-x)=sin(-4x)=-sin 4x=-f(x),得f(x)为奇函数,其周期T==.故选A. 3.A　[解析] 因为x∈,所以x+∈,因为函数y=cos x在上单调递增,在上单调递减,且cos=,cos 0=1,cos=,所以cos∈,即所求值域为.故选A. 4.D　[解析] 因为sin α=2cos=cos α-sin α,所以2sin α=cos α,所以tan α=,所以tan(α+π)=tan α=.故选D. 5.A　[解析] 作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象,如图所示,由图知,函数f(x)=sin x的图象和g(x)=|cos x|的图象在(0,2π)上有两个交点.令sin x=cos x,x∈,得x=,令sin x=-cos x,x∈,得x=.故所有交点的横坐标之和为+=π.故选A. 6.D　[解析] 依题意得=tan α,解得tan α=1或tan α=3.因为α∈,所以tan α=3,所以tan 2α===-.故选D. 7.D　[解析] ∵sin(α-β)=3cos(α+β),∴sin αcos β-cos αsin β=3(cos αcos β-sin αsin β),∴=3×,即tan α-tan β=3(1-tan αtan β)①.由tan(α-β)==,得tan α-tan β=(1+tan αtan β)②.由①②可得tan αtan β=.故选D. 8.AD　[解析] sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=,故A正确;sin 75°cos(-75°)=sin 75°cos 75°=sin 150°=,故B错误;由半角公式可知=tan 40°≠,故C错误;cos 82°cos 22°+cos 8°sin 22°=cos 82°cos 22°+sin 82°sin 22°=cos(82°-22°)=cos 60°=,故D正确.故选AD. 9.ACD　[解析] f(x)=2cos2-2cossin-1=cos+2cossin=sin 2x-cos 2x+sin=sin 2x-cos 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin,则f(x)的最小正周期T==π,故A正确;令2x+=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,令=+,得k=∉Z,所以直线x=不是f(x)的图象的对称轴,故B错误;令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故C正确;若函数g(x)=f(x)-k在区间上有两个不同的零点,则y=sin的图象与直线y=k在区间上有且仅有两个交点,由x∈,得2x+∈,设t=2x+,则y=sin t,t∈,作出函数y=sin t,t∈的图象,如图所示,由图可知,k∈∪(0,1),故D正确.故选ACD. 10.　[解析] 因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,即1+sin 2α=,所以sin 2α=. 11.　[解析] 由y=cos(2x+φ)的图象关于点对称,可得+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,故|φ|的最小值为. 12.　[解析] f(x)=cos 2x+2sin x-1=1-2sin2x+2sin x-1=-2sin2x+2sin x=-2sin x-2+.∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=时,函数f(x)取得最大值,最大值为. 13.解:(1)由0<α<,<β<π,得<α+β<, 又cos α=,sin(α+β)=, 所以sin α===,cos(α+β)=-=-, 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-. (2)由(1)知cos β=-,又<β<π,所以sin β==, 所以cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-×+×=-,又0<β-α<π,所以β-α=. 14.解:(1)f(x)=sincos φ+cossin φ=sin, 因为函数f(x)的图象关于点对称, 所以2×++φ=kπ,解得φ=kπ-,k∈Z, 又0<φ<π,所以φ=. (2)由(1)知f(x)=sin,因为x∈,所以2x+∈, 所以当2x+=,即x=时,函数f(x)取得最大值,且最大值为1, 当2x+=,即x=时,函数f(x)取得最小值,且最小值为-. (3)f=,即sin=, 因为0<α<π,所以<α+<, 若<α+<,则<sin≤1, 但sin=<,所以<α+<π, 所以cos=-=-, 所以cos(α+φ)=cos=cos=coscos+sinsin=-×+×=. 15.解:(1)如图①,在Rt△OAD中,∠MOD=α,OD=20 m, 所以OA=20cos α m,AD=BC=20sin α m. 在Rt△OBC中,OB=BC=sin α m,则S1=BC·AB=20sin α,0<α<. 如图②,过点D作DE⊥OM于点E,过点O作CD的垂线,交于点P, 在Rt△ODE中,∠MOD=α,OD=20 m, 所以OE=20cos α m,DE=20sin α m. 由扇形和矩形的对称性可得,∠NOP=∠MOP=∠MON=, 则∠MAD=∠POM=,则AD=2DE=40sin α m,AE=DE=20sin α m,OA=AB=OE-AE=20cos α-20sin α m. 则S2=AD·AB=40sin α(20cos α-20sin α),0<α<. (2)S1=20sin α=400=sin-, 由0<α<,得<2α+<, 则当2α+=,即α=时,S1取得最大值,最大值为 m2. S2=40sin α(20cos α-20sin α)=400[sin 2α-(1-cos 2α)]=800sin-400, 由0<α<,得<2α+<π,则当2α+=,即α=时,S2取得最大值,最大值为(800-400)m2. 因为-(800-400)=>0, 所以S1的最大值大于S2的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $