重点强化练五　指数、对数函数的图象与性质2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦指数、对数函数图象与性质，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一概念到综合应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数、对数函数基本性质（定义域、定点、反函数）|单选1-3题直接应用概念，强化抽象能力| |中档|函数图象识别、单调性比较、奇偶性判断|单选4-5题、多选7-8题、填空9-10题综合概念与运算，发展推理能力| |提升|数形结合、复杂不等式求解、单调性证明|单选6题、填空11题、解答12-13题融入几何直观与模型应用，培养创新意识|

重点强化练五　指数、对数函数的图象与性质 1.D　[解析] 因为函数f(x)=log2(x+a)的反函数的图象过点(0,-1),所以f(x)=log2(x+a)的图象过点(-1,0),所以f(-1)=log2(-1+a)=0,解得a=2.故选D. 2.C　[解析] 因为y=lox在(0,+∞)上单调递减,且lob<loa<loc,所以b>a>c>0,又y=2x在R上单调递增,所以2b>2a>2c.故选C. 3.A　[解析] 令x-1=1,得x=2,则f(2)=4,所以函数f(x)=2loga(x-1)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(2,4),设过点A的幂函数为y=xα,则4=2α,解得α=2,所以过点A的幂函数为y=x2,此幂函数的图象经过第一、二象限.故选A. 4.B　[解析] 由f(2)=2a=4,解得a=2.因为函数g(x)=log2|x+1|的图象关于直线x=-1对称,所以函数g(x)的图象如图所示.故选B. 5.B　[解析] 因为函数f(x)=3|x|+2的定义域为R,且f(-x)=3|-x|+2=3|x|+2=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=3x+2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.c=f=f=f(log23).因为0=log31<log32<log33=1<,所以f>f(log32),即a>b.因为=log2,且<3,所以log2<log23,即<log23,所以f<f(log23),即c>a.综上可得,c>a>b.故选B. 6.A　[解析] 由题得BC=2,又△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,所以AB=2.由A(m,n),得B(m+2,n),因为点A在函数g(x)=log2x+2的图象上,点B在函数f(x)=log2x的图象上,所以即可得m=.故选A. 7.BCD　[解析] 对于A,因为0<b<1,所以函数y=logbx在(0,+∞)上单调递减,又m>n>1,所以0<logbm<logbn,故A中不等式正确;对于B,由A可知,0<logbm<logbn,则>,即logmb>lognb,故B中不等式错误;对于C,因为函数y=xb在(0,+∞)上单调递增,m>n>1,所以mb>nb,故C中不等式错误;对于D,因为函数y=bx在(0,+∞)上单调递减,m>n>1,所以bm<bn,故D中不等式错误.故选BCD. 8.BC　[解析] 对于A,g(2)=22-1=3,g(3)=23-1=7,g(2+3)=g(5)=25-1=31>g(2)+g(3),故A错误;对于B,对于任意实数m,n∈(0,+∞),h(m)+h(n)=log2(1+m)+log2(1+n)=log2[(1+m)(1+n)]=log2(1+m+n+mn)>log2(1+m+n)=h(m+n),故B正确;对于C,若f(x)为“梓荫函数”,则f(2025)<f(1)+f(2024)<f(1)+f(1)+f(2023)=2f(1)+f(2023)<3f(1)+f(2022)<…<2023f(1)+f(2)<2025f(1),故C正确;对于D,f(x)=1是“梓荫函数”,但它在(0,+∞)上不是单调递增的,故D错误.故选BC. 9.(0,1)∪(1,2]　[解析] 由题知解得0<x<1或1<x≤2,则函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]. 10.　[解析] 函数f(x)=(2x+3x)ax的定义域为R.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即(2-x+3-x)a-x=(2x+3x)ax,即=(2x+3x)ax,则=(2x+3x)ax,因为2x+3x>0,所以=ax,即(6a2)x=1,所以6a2=1,即a2=,又a>0,所以a=. 11.x>1或x<-3　[解析] 由|x|-2>0,得x>2或x<-2,则f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),又f(-x)=lg(|x|-2)+e-x+ex=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>2时,易知y=lg (|x|-2)=lg (x-2)单调递增,y=ex+e-x也单调递增,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,则由f(x+1)<f(2x),可得解得x>1或x<-3. 12.解:(1)令t=2x,因为x∈[-3,2],所以t∈, 则y=t2-t+1=+,t∈, 所以当t=,即x=-1时,f(x)取得最小值,当t=4,即x=2时,f(x)取得最大值13. (2)函数f(x)=lo(-x2+2x+3)的定义域满足-x2+2x+3>0,即(x-3)(x+1)<0,所以f(x)的定义域为(-1,3),当x∈(-1,3)时,-x2+2x+3∈(0,4], 则lo(-x2+2x+3)∈[-2,+∞),所以函数f(x)=lo(-x2+2x+3)的值域为[-2,+∞). 13.解:(1)因为函数f(x)=log3(-ax)(a>0)是R上的奇函数, 所以f(x)+f(-x)=log3(-ax)+log3(+ax)=log3(x2+1-a2x2)=0, 所以x2+1-a2x2=1,即(1-a2)x2=0, 所以a2-1=0,即a2=1,又a>0,所以a=1. (2)函数y=f(x)是R上的减函数,证明如下: 因为y=f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,故只需证明f(x)在[0,+∞)上单调递减. 设0≤x1<x2,则f(x2)-f(x1)=log3(-x2)-log3(-x1)=log3= log3=log3. 因为0≤x1<x2,所以+1>+1≥1, 所以+x2>+x1>0, 所以0<<1, 所以f(x2)-f(x1)=log3<0, 即f(x2)<f(x1). 所以f(x)在[0,+∞)上单调递减, 所以函数y=f(x)是R上的减函数. (3)证明:由(2)知y=f(x)在上单调递减, 所以当x∈时,f(x)≤f= log3=log33=1①. 设g(x)=3|x|+x2,x∈R, 因为g(-x)=3|x|+x2=g(x),所以g(x)是R上的偶函数, 易知当x≥0时,g(x)=3x+x2单调递增,又g(x)为偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以g(b)≥g(0)=30+0=1②. 由①②可得f(x)≤1≤3|b|+b2, 故对任意x∈,任意b∈R,f(x)≤3|b|+b2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练五　指数、对数函数的图象与性质 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数的图象过点(0,-1),则a= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.5 B.4 C.3 D.2 2.[2026·兰州高一期末] 已知lob<loa<loc,则 (　 ) A.2a<2b<2c B.2a>2b>2c C.2b>2a>2c D.2c>2b>2a 3.已知函数f(x)=2loga(x-1)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则过点A的幂函数的图象经过 (　 ) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 4.已知函数f(x)=xa满足f(2)=4,那么函数g(x)=loga|x+1|的大致图象为 (　 ) A B C D 5.[2026·抚顺六校协作体高一期末] 已知函数f(x)=3|x|+2,记a=f,b=f(log32),c=f,则 (　 ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 6.[2026·莆田四中高一月考] 如图,平行于y轴的直线分别与函数f(x)=log2x及g(x)=log2x+2的图象交于点B,C,点A(m,n)为函数g(x)的图象上的一点.若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,则m= (　 ) A. B.1 C.2 D. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.已知m>n>1,且0<b<1,则下列不等式中错误的是 (　 ) A.logbm<logbn B.logmb<lognb C.mb<nb D.bm>bn 8.如果对于任意实数m,n∈(0,+∞),函数f(x)满足f(m+n)<f(m)+f(n),则称f(x)为“梓荫函数”,则下列结论中正确的是 (　 ) A.g(x)=2x-1,x∈(0,+∞)为“梓荫函数” B.h(x)=log2(1+x),x∈(0,+∞)为“梓荫函数” C.若f(x)为“梓荫函数”,则f(2025)<2025f(1) D.若f(x)为“梓荫函数”,则f(x)在(0,+∞)上单调递增 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.函数f(x)=的定义域是　　　　.  10.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=(2x+3x)ax是偶函数,则a=　　　　.  11.已知函数f(x)=lg(|x|-2)+ex+e-x,则满足不等式f(x+1)<f(2x)的x的取值范围为　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)求解下列各题. (1)已知x∈[-3,2],求f(x)=4x-2x+1的最大值与最小值. (2)求函数f(x)=lo(-x2+2x+3)的值域. 13.(15分)[2026·辽宁重点中学协作校高一期末] 已知函数f(x)=log3(-ax)(a>0)是R上的奇函数. (1)求实数a; (2)判断函数y=f(x)的单调性并证明; (3)对于任意x∈,任意b∈R,求证:f(x)≤3|b|+b2. 学科网（北京）股份有限公司 $