重点强化练四　指数、对数的运算-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数对数运算，分层设计基础巩固、综合应用、拓展提升三阶训练，强化从概念到实际问题的思维进阶，培养数学运算与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|指数化简、对数方程等单一运算|直接考查定义应用，如单选1-3| |综合应用|运算性质辨析、指数式比较等多性质综合|多知识点交叉，如多选7-8| |拓展提升|新定义运算、实际问题建模|结合新情境，如单选6、解答13|

重点强化练四　指数、对数的运算 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.化简·的结果为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.- B.- C. D. 2.[2026·北京大兴区高一期末] 方程log2x2=1的解集为 (　 ) A.{1} B.{-1,1} C.{} D.{-,} 3.lg m-lg n=1,则有 (　 ) A.mn=10 B.m-n=10 C.10m=n D.m=10n 4.下列说法正确的是 (　 ) A.若a>0,则÷=a B.若a>0,则a2=a C.若a>0且a≠1,则loga3+loga=1 D.若log3(log4x)=0,则x=4 5.[2026·长春高一期中] 已知方程(ln x)2-2ln x-3=0的两个根是α,β,则logαβ+logβα= (　 ) A. B.- C.- D. 6.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法,它的意义来自乘法是重复的加法,幂是重复的乘法.定义a↑b==ab,a↑↑b=(从右往左计算).已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为1082,则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 2≈0.3) (　 ) A.102025 B.102055 C.102105 D.102125 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.[2026·福建莆田高一期中] 下列各式正确的是 (　 ) A.=π-3 B.lg 3+lg 7=1 C.= D.-= 8.已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则 (　 ) A.xz+2yz-2xy=0 B.5x<9y<15z C.xy<2z2 D.9x+2y<16z 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.已知a2x=3,则=　　　　.  10.已知log95=m,log97=n,则log359=　　　　(用m,n表示).  11.已知x+x-1=3,则=　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(1)计算:+10lg 2+lo+log516·log2; (2)计算:(log34+lo2)(log4+log163); (3)解方程:1+xlg x=20. 13.(15分)在通风一定的条件下,某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t(单位:min)的变化规律可以用函数模型c=c0+λ近似表达.在该通风的条件下测得当t=0,t=5,t=10时,此会议室内的二氧化碳浓度,如下表所示,用该模型推算当t=15时c的值. t 0 5 10 c 0.15% 0.09% 0.07% 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练四　指数、对数的运算 1.A　[解析] 由题意,可知a≥0,∴·=(-a·=-·=-=-=-.故选A. 2.D　[解析] 由log2x2=1,得log2x2=log22,则x2=2,解得x=±,所以方程log2x2=1的解集为{-,}.故选D. 3.D　[解析] 由lg m-lg n=1,得lg=1,解得=10,所以m=10n.故选D. 4.D　[解析] 对于A,÷==,故A错误;对于B,a2=,故B错误;对于C,若a>0且a≠1,则loga3+loga=loga1=0,故C错误;对于D,若log3(log4x)=0,则log4x=1,则x=4,故D正确.故选D. 5.C　[解析] 设t=ln x,则原方程化为t2-2t-3=0,即(t-3)(t+1)=0,解得t=3或t=-1,即ln α=3,ln β=-1,或ln α=-1,ln β=3,又logαβ+logβα=+=,所以logαβ+logβα==-或logαβ+logβα==-.故选C. 6.C　[解析] 由题得5↑↑3==53125,则lg≈lg=lg 53125-lg 1082=3125lg 5-82=3125(1-lg 2)-82≈3125×0.7-82=2105.5,所以≈102105.故选C. 7.AC　[解析] 对于A,=|3-π|=π-3,故A正确;对于B,lg 3+lg 7=lg 21>lg 10=1,故B错误;对于C,因为=,所以2=2×=,则=(=,则2=2·=,所以=(=,故C正确;对于D,因为=log648=lo23=log22=,=log464=log443=3,所以-=-3=-,故D错误.故选AC. 8.AB　[解析] 设5x=9y=15z=t,t>1,则x=log5t=,y=log9t=,z=log15t=.对于A,xz+2yz-2xy=xyz=xyz(2logt5+logt9-2logt15)=xyzlogt=0,故A正确;对于B,==lo95,因为<1,所以lo95<1,则5x<9y,===lo153,因为<1,所以lo153<1,则9y<15z,所以5x<9y<15z,故B正确;对于C,由A知,+-=0,可得z=,则xy-2z2=xy-2=xy·=>0,故C错误;对于D,因为9x+2y-16z=9x+2y-==>0,所以9x+2y>16z,故D错误.故选AB. 9.　[解析] 原式==a2x-1+a-2x=3-1+=. 10.　[解析] log359===. 11.　[解析] 由题得x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7,x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=3×(7-1)=18,则==. 12.解:(1)因为===,10lg 2=2,lo=lo=-,log516·log2=(4log52)·=2, 所以原式=+2-+2=. (2)原式=(log322+lo2)(lo+lo3)=(2log32-log32)=log32×log23=. (3)设lg x=t,则x=10t,则原方程可化为1+(10t)t=20,可得1=10,解得t=±1. 当t=1时,x=10,当t=-1时,x=,故原方程的解为10和. 13.解:当t=0时,c0+λ=0.15%①, 当t=5时,c0+λ=0.09%②, 当t=10时,c0+λ=0.07%③, 由①-②得λ(1-)=0.06%④, 由②-③得λ(1-)=0.02%⑤,由得=⑥,将⑥代入④得=0.06%,解得λ=0.09%, 所以当t=15时,c=c0+λ=c0+λ××=0.15%-0.09%+0.09%×≈0.063 3% 学科网（北京）股份有限公司 $