分层练12 指数与对数的运算同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层练12聚焦指数与对数运算，通过A级基础巩固与B级能力提升的梯度设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学运算与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础巩固|指数对数的基本概念、运算性质及简单应用|以选择填空为主，如定义域求解、基本公式直接应用，夯实运算能力| |B级能力提升|综合运算、跨学科实际情境问题解决|结合物理化学情境，如牛顿冷却定律、喊泉声强模型，发展模型意识与应用能力|

分层练12 指数与对数的运算 【A级 基础巩固】 1. 若代数式有意义，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和(此过程中与的值保持不变)，经计算，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(单位:)与时间(单位:)间的关系式为，其中，为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了，那么污染物减少到最初含量的还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：，)（ ） A.11h B.21h C.31h D.41h 8. 已知，，其中且，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. ________. 10. 计算：________. 11. 若，，则________. 12. 若，，则________，________. 【B级 能力提升】 13. 若，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时分钟，那么水温从降至，大约还需要(参考数据：，，)（ ） A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟 15. 已知，若，，则________. 16. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与参考声强(约为，单位:)之比的常用对数称作声强的声强级，记作(单位:贝尔)，即，取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度(单位:分贝)与喷出的泉水高度xdm满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50dm，若同学大喝一声的声强大约相当于个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为________. 参考答案 1. [由有意义， 得，解得. 所以，， 所以 .] 2. [， .] 3. [因为，，即， 所以.] 4. [由题意知，，， 则.] 5. [ ，，.] 6. [，，，， .] 7. [由已知得，方程两边同取自然对数得，所以.设污染物减少到最初含量的需要经过th，则，方程两边同取自然对数得，解得.所以还需要经过使污染物减少到最初含量的.] 8. [因为，所以，得，所以.即.因为，所以，解得.] 9. [原式.] 10. [原式 .] 11. [，，则，即，则.] 12.； [.，， .] 13. [根据题意，由， 得， 即， 则， 所以(负值舍去)，故选A.] 14. [由题意，，由一杯的热水降至大约用时分钟， 可得， 所以. 又水温从降至， 所以， 即， 所以， 所以，所以水温从降至，大约还需要分钟.] 15. [由，且， 所以，是方程的两根，解得或， 又，所以， 即，又， 从而，则，且， 则，，所以.] 16.45 [设同学的声强为，喷出泉水高度为xdm，则同学的声强为，喷出泉水高度为50dm， 由，得， ① ， ， ② ①②得， 解得， 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45dm.] 学科网（北京）股份有限公司 $