3.2函数的基本性质（第四课时　奇偶性与单调性的综合应用） 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A、B组分层设计，A组夯实奇偶性与单调性基础，B组深化综合应用，梯度衔接合理，助力学生发展抽象能力与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|奇偶性定义、单调性判断、单一性质应用|基础题型（选择、填空），直接应用概念，如奇函数求值、单调性比较大小| |B组|奇偶性与单调性综合应用、解不等式、抽象函数性质分析|能力题型（多选、解答），需逻辑推理，如利用奇偶性与单调性解含参不等式|

3.2　函数的基本性质 第四课时　奇偶性与单调性的综合应用　·　课时作业 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　建议用时：25 分钟 A 组全体必做；B 组（★）优生班必做、普通班选做。解不等式的题必须写出"由 f(x) 在……上单调递增（递减）"这句依据，并检查是否需要补定义域条件。 A 组　基础巩固 1．已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时 f(x)＝x²－3x＋1，则 f(－3)＝（　　） 　A．19　　B．－19　　C．1　　D．－1 2．已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时 f(x)＝－x⁵－3x＋a－1，则 f(－a) 的值为（　　） 　A．1　　B．2　　C．3　　D．4 3．已知函数 f(x＋1) 是定义在 R 上的偶函数，且 f(x) 在区间 [1，＋∞) 上单调递增，则 f(－1)，f(1)，f(2) 的大小关系是（　　） 　A．f(－1)＜f(1)＜f(2)　　B．f(1)＜f(2)＜f(－1) 　C．f(1)＜f(－1)＜f(2)　　D．f(2)＜f(1)＜f(－1) 4．已知定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足：当 x≥2 时 f(x)＝2－x，当 0≤x＜2 时 f(x)＝x²＋1，则 f(f(－2)) 的值为（　　） 　A．1　　B．3　　C．－2　　D．－3 5．（多选）下列函数中为奇函数且在 (0，＋∞) 上单调递增的是（　　） 　A．f(x)＝－x　　B．f(x)＝－　　C．f(x)＝x｜x｜　　D．f(x)＝x＋ 6．（多选）已知定义在 R 上的函数 f(x) 是偶函数，在区间 [0，＋∞) 上单调递减，f(1)＝0，则（　　） 　A．f(3)＞f(4) 　B．若 f(m－1)＜f(2)，则 m＜－1 或 m＞3 　C．若 xf(x)＞0，则 x(－1，1) 　D．∀x₁，x₂(－∞，0)，当 x₁x₂ 时，＞0 7．填空：若 f(x) 为奇函数且在区间 [a，b]（a＜b）上单调递增，则 f(x) 在 [－b，－a] 上＿＿＿＿＿，即在对称区间上单调性＿＿＿＿＿（a，b 符号相同）。 8．已知 y＝f(x) 是定义在 R 上的奇函数，给出下列函数：①y＝f(｜x｜)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x。其中奇函数为＿＿＿＿＿，偶函数为＿＿＿＿＿。（填序号，并简要说明理由） B 组　能力提升（★） 9．已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)＝x²＋2x（x≥0），若 f(3－a²)＋f(－2a)＞0，则实数 a 的取值范围是＿＿＿＿＿。 10．（多选）已知定义在 R 上的函数 f(x) 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①f(x) 为偶函数；②f(x) 为 (－∞，0] 上的增函数；③f(－2)＝0。下列选项成立的是（　　） 　A．f(x) 的单调递减区间为 [0，＋∞) 　B．f(1)＞f(－3) 　C．若 f(x－2)＞f(1)，则 x(－∞，1)∪(3，＋∞) 　D．若 xf(x)＞0，则 x(－∞，－2)∪(0，2) 11．已知定义在 R 上的函数 y＝f(x) 满足以下条件：①函数 y＝f(x－2) 是偶函数；②对任意 x₁，x₂[－2，＋∞)，当 x₁x₂ 时，都有 (x₁－x₂)[f(x₁)－f(x₂)]＜0。则 f(－)，f(－1)，f(0) 的大小关系为（　　） 　A．f(－1)＞f(－)＞f(0)　　B．f(－1)＞f(0)＞f(－) 　C．f(－)＞f(－1)＞f(0)　　D．f(－)＞f(0)＞f(－1) 参考答案与详解 A 组 1．D。f(x) 是 R 上的奇函数，所以 f(－3)＝－f(3)。因为 3＞0，代入已知解析式得 f(3)＝9－9＋1＝1，所以 f(－3)＝－1。选 C 是漏了负号，选 A、B 是把 x²－3x＋1 在 x＝－3 处直接代入（用错了区间）。 2．D。f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0。 　把 x＝0 代入 x≥0 那一段：f(0)＝－0－0＋a－1＝a－1＝0，得 a＝1。 　于是 f(x)＝－x⁵－3x（x≥0），f(－a)＝f(－1)＝－f(1)＝－(－1－3)＝4。 　（本题的关键动作是先用 f(0)＝0 定出参数 a，再把 f(－1) 用奇性搬到 f(1)。） 3．B。f(x＋1) 是偶函数，说明 f(x) 的图象关于直线 x＝1 对称。 　三个自变量到对称轴的距离：｜－1－1｜＝2，｜1－1｜＝0，｜2－1｜＝1。 　f(x) 在 [1，＋∞) 上单调递增，即离对称轴越远函数值越大，所以 f(1)＜f(2)＜f(－1)。 　（也可以用对称性把 f(－1) 换成 f(3)，再在 [1，＋∞) 上按 1＜2＜3 排序，结果一样。注意对称轴是 x＝1 而不是 x＝－1，可用 f(x)＝(x－1)² 验证。） 4．A。先算内层：f(x) 是偶函数，f(－2)＝f(2)；因为 2≥2，用 f(x)＝2－x 这一段，得 f(2)＝0。 　再算外层：f(0)，因为 0[0，2)，用 f(x)＝x²＋1 这一段，得 f(0)＝1。 　所以 f(f(－2))＝1。（复合求值从里往外，每一步先用偶性把自变量搬到 x≥0，再看落在哪一段。） 5．BC。A 中 f(x)＝－x 是奇函数，但在 (0，＋∞) 上单调递减，不合； 　B 中 f(x)＝－ 的定义域为 {x｜x0}，f(－x)＝＝－f(x)，是奇函数；在 (0，＋∞) 上，随 x 增大 减小，故 － 增大，单调递增，合； 　C 中 f(x)＝x｜x｜ 的定义域为 R，f(－x)＝－x｜x｜＝－f(x)，是奇函数；当 x＞0 时 f(x)＝x²，单调递增，合； 　D 中 f(x)＝x＋ 是奇函数，但在 (0，1) 上递减、在 (1，＋∞) 上递增，在整个 (0，＋∞) 上不单调，不合。 6．ABD。A：f(x) 在 [0，＋∞) 上递减且 3＜4，所以 f(3)＞f(4)，成立。 　B：由 f(x)＝f(｜x｜) 及递减，f(m－1)＜f(2) ｜m－1｜＞2 m－1＞2 或 m－1＜－2，即 m＞3 或 m＜－1，成立。 　C：由 f(1)＝0 与递减，0≤x＜1 时 f(x)＞0，x＞1 时 f(x)＜0；由偶性，－1＜x≤0 时 f(x)＞0，x＜－1 时 f(x)＜0。xf(x)＞0 要求同号：x＞0 时得 0＜x＜1，x＜0 时得 x＜－1，解集为 (－∞，－1)∪(0，1)，不是 (－1，1)，C 不成立。 　D：偶函数在对称区间上单调性相反，f(x) 在 [0，＋∞) 上递减，所以在 (－∞，0) 上递增，差商为正，成立。 7．单调递增；一致（相同）。 8．奇函数为②④，偶函数为①③。 　①把 x 换成 －x：f(｜－x｜)＝f(｜x｜)，函数值不变，是偶函数； 　②y＝f(－x)＝－f(x)，把 x 换成 －x 得 －f(－x)＝f(x)，是原式的相反数，是奇函数； 　③(－x)f(－x)＝(－x)·(－f(x))＝xf(x)，函数值不变，是偶函数（奇×奇＝偶）； 　④f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]，是奇函数（奇＋奇＝奇）。 B 组 9．(－3，1)。先判断单调性：当 x≥0 时 f(x)＝x²＋2x＝(x＋1)²－1，对称轴 x＝－1 在区间左侧，所以 f(x) 在 [0，＋∞) 上单调递增； 　又 f(x) 是 R 上的奇函数，在对称区间上单调性相同，所以 f(x) 在 R 上单调递增。 　由 f(3－a²)＋f(－2a)＞0，得 f(3－a²)＞－f(－2a)＝f(2a)； 　由 f(x) 在 R 上单调递增，得 3－a²＞2a，即 a²＋2a－3＜0，(a＋3)(a－1)＜0， 　解得 －3＜a＜1。（本题定义域是 R，不必补自变量范围；若定义域是有限区间，脱 f 后必须补上并联立。） 10．ABD。由①②可知 f(x) 在 (－∞，0] 上递增，偶函数在对称区间上单调性相反，所以在 [0，＋∞) 上递减，A 成立。 　B：f(－3)＝f(3)，在 [0，＋∞) 上递减且 1＜3，所以 f(1)＞f(3)＝f(－3)，成立。 　C：f(x)＝f(｜x｜) 且在 [0，＋∞) 上递减，f(x－2)＞f(1) ｜x－2｜＜1 1＜x＜3，与选项给的 (－∞，1)∪(3，＋∞) 恰好相反，C 不成立。 　D：由 f(－2)＝0 及偶性得 f(2)＝0；在 [0，＋∞) 上递减，所以 0≤x＜2 时 f(x)＞0，x＞2 时 f(x)＜0；由偶性，－2＜x≤0 时 f(x)＞0，x＜－2 时 f(x)＜0。xf(x)＞0 要求同号：x＞0 时得 0＜x＜2，x＜0 时得 x＜－2，解集为 (－∞，－2)∪(0，2)，成立。 　（C 与 D 是同一套读图动作的两种问法：先由 f(±2)＝0 把数轴分成四段，标出 f(x) 的正负，再按要求取。） 11．A。由①，y＝f(x－2) 是偶函数，说明 f(x) 的图象关于直线 x＝－2 对称。 　由②，(x₁－x₂)[f(x₁)－f(x₂)]＜0 表示自变量与函数值的变化方向相反，即 f(x) 在 [－2，＋∞) 上单调递减。 　三个自变量到对称轴 x＝－2 的距离：｜－＋2｜＝，｜－1＋2｜＝1，｜0＋2｜＝2。 　递减意味着离对称轴越远函数值越小，距离由小到大是 1＜＜2，所以 f(－1)＞f(－)＞f(0)。 　（也可以把 f(－) 换成 f(－)——关于 x＝－2 对称的两点横坐标之和为 －4——再在 [－2，＋∞) 上按 －1＜－＜0 与递减排序，结果一样。条件②里的差积小于零，就是"递减"的另一种写法，第一课时讲过这个变形。） 学科网（北京）股份有限公司 $