第一章特殊平行四边形单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学特殊平行四边形单元卷，通过菱形、矩形、正方形的性质应用与综合计算，考查几何直观、推理能力及模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形面积计算（1题）、矩形性质（3题）、正方形综合（5题）|基础性质与图形变换结合，如含中点正方形面积计算（5题）| |填空题|8/24|折叠问题（12题）、动点几何（11题）、数轴上矩形运动（14题）|融入生活情境，如折纸飞机尺寸计算（12题），体现模型意识| |解答题|7/66|全等证明（23题）、动点与全等判定（25题）、正方形综合计算（20题）|突出推理能力，如含动点的三角形全等分类讨论（25题）|

2026-2027学年九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题北师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（3分）如图，一个长方形恰被分成六个正方形，其中最小的正方形ABCD的面积是1cm2，则这个长方形面积是（　　） A．141cm2 B．142cm2 C．143cm2 D．144cm2 5．（3分）如图，已知正方形边长为2，P，Q，R，S分别为正方形边上的中点，点P′，R′在直线PR上，点Q′，S′在直线QS上，且PP′＝QQ′＝RR′＝SS′＝，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 6．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB、BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P、Q运动的时间是t秒．当点P与点Q重合时，t的值是（　　） A． B．4 C．5 D．6 7．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 8．（3分）如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，E，F分别在直角边AC，BC上，连接DE，DF，使DE⊥DF．若AE＝1，BF＝2，则EF的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 9．（3分）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），则顶点D的坐标为（　　） A．（﹣b，a+b） B．（a﹣b，﹣a） C．（﹣a，a﹣b） D．（b﹣a，﹣a） 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为（　　） A．3 B． C．9 D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）如图，长方形ABCD的长是14cm，宽是5cm，动点P从点A出发，沿边AD以每秒3cm的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边BC以每秒1.5cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发　 　 秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称． 12．（3分）李明同学用一张长为22cm的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图2所示，若AB为4cm，则图2中a的值为　 　 ． 13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB于点E，连接OE．若BD＝8，菱形ABCD的面积为16，则OE的长为　 　 ． 14．（3分）如图所示，在数轴上放置了两个完全相同的长方形ABCD、EFGH．现长方形ABCD、EFGH分别以每秒2个单位、3个单位的速度沿数轴正方向运动．则在运动过程中，两个长方形的重叠部分的面积最大时，持续时间是　 　 秒． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2，若S1＝31，S2＝15，则BC的长为 　 　 ． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，AB＝4，ED＝3，则△AOE的面积为 　 　 ． 17．（3分）如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，若AB＝6，PE＝2，则BP的长为　 　 ． 18．（3分）若将1～10这10个数分别填入图中的10个〇中，使得每个菱形的4个顶点数之和都等于定值k．则k的最大值与最小值之差是　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形，已知AE＝10cm，GC＝7cm，则长方形的周长是多少厘米？ 20．（10分）如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，求AB的长． 21．（8分）如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF和EC相交于点H，已知AB＝6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 22．（8分）长方形ABCD的面积是80平方厘米，E、F分别是长和宽的中点，求阴影部分的面积． 23．（10分）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD及其延长线上，BE∥CF，连接CE，BF． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形． 24．（12分）如图，长方形ABCD内两个相邻正方形的面积分别为6和9． （1）大正方形与小正方形的边长分别为 　 　 ； （2）求阴影部分的面积； （3）求长方形ABCD的周长． 25．（10分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点M从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点M的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△ABM≌△DCM？ （2）当点M从点B开始运动，同时，点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在a，使得△ABM与△MNC全等？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．解：在菱形ABCD中，AB＝6， ∴BC＝6， ∵AE垂直平分BC，垂足为E， ∴AB＝AC＝6，BE＝CE＝3，∠ABE＝90°， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ∴菱形ABCD的面积＝， 故选：C． 2．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3， ∴AB＝5， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH， ∴DH＝＝4.8． 故选：C． 3．解：∵四边形ABCD是矩形，点O是对角线的交点， ∴AD∥BC，OD＝OC，AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，∠ADC＝90°， ∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB， 在△ODE和△OBF中， ∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB，OD＝OC， ∴△ODE≌△OBF（AAS）， ∴S△ODE＝S△OBF， ∴图中阴影部分的面积＝△ACD的面积， ∵△ACD的面积为： AD•CD＝×6×2＝6， ∴图中阴影部分的面积为6． 故选：A． 4．解：设这6个正方形中最大的一个边长为xcm，∵图中最小正方形边长是1cm， ∴其余的正方形边长分别为（x﹣1）cm，（x﹣2）cm，（x﹣3）cm，（x﹣3）cm， ∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2， ∴x＝7， ∴长方形的长为x+x﹣1＝13（cm），宽为x+x﹣3＝11（cm），面积为13×11＝143（平方厘米）． 故选：C． 5．解：∵正方形边长为2，P，Q，R，S分别为正方形边上的中点， ∴AP＝BP＝BQ＝CQ＝CR＝DR＝AS＝DS＝1， ∴图中阴影部分的面积＝2×2﹣（+1）×1÷2×4＝4﹣×1÷2×4＝4﹣3＝1． 故选：C． 6．解：根据题意，两点重合时可列方程为：3t﹣t＝8， 解得：t＝4， 答：当点P与点Q重合时，t的值是4． 故选：B． 7．解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OD＝BD，S△AOD＝S△AOB， ∵AB＝3，AD＝4， ∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5， ∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OC＝， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝××PE+××PF＝（PE+PF）＝3， ∴PE+PF＝2.4． 故选：B． 8．解：延长FD至点G，使DG＝DF，连接AG，EG， 由条件可知AD＝BD， 在△ADG和△BDF中， ， ∴△ADG≌△BDF（SAS）， ∴AG＝BF＝2，∠GAD＝∠FBD， ∠CAB+∠DAG＝90°，即∠EAG＝90°， ∴在Rt△AEG中，． ∵DE⊥DF， ∴∠EDG＝∠EDF＝90°， 在△EDG和△EDF中， ， ∴△EDG≌△EDF（SAS）， ∴． 故选：D． 9．解：过D作DE⊥x轴于E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠AOB＝∠AED＝90°， ∴∠BAO+∠DAO＝∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠DAO， ∴△ABO≌△DAE（AAS）， ∴DE＝OA，AE＝OB， ∵点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b）， ∴OA＝a，OB＝b， ∴DE＝a，AE＝b， ∴OE＝b﹣a， ∴顶点D的坐标为（a﹣b，﹣a）， 故选：B． 10．解：在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．如图，连接AC交BD于点O，过点M作MG∥AC交AC于点G， ∵AC⊥BD，，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠FBN，∠AOD＝90°， ， ∵MG∥AC， ∴∠AMG＝∠ADB，∠AGM＝∠AOD＝90°，∠MGO+∠AOD＝180°， ∴∠MGO＝∠AOD＝90°，∠AMG＝∠NBF， ∵ME⊥BD， ∴ME＝OG， ∵NF⊥BD， ∴∠NFB＝90°， ∴∠NFB＝∠AGM， 在△AGM和△NFB中， ， ∴△AGM≌△NFB， ∴AG＝NF， ∴． 故选：D． 二．填空题 11．解：设运动时间为t秒，则AP＝3tcm，PD＝（14﹣3t）cm，BQ＝1.5 tcm， 当PD＝BQ时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称， 则14﹣3t＝1.5t，解得． 故答案为：． 12．解：由折叠的性质得：a＝（22﹣4）÷2+4＝13（cm）． 故答案为：13． 13．解：∵BD＝8，菱形ABCD的面积为16， ∴＝16， ∴AC＝4， ∵CE⊥AB， ∴△AEC是直角三角形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点O是AC的中点， ∴OE是直角三角形AEC斜边上的中线， ∴OE＝＝2， 故答案为：2． 14．解：整个运动过程中，S的最大值是3×3＝9， 当点E与A重合时，﹣5+3t＝1+2t，解得：t＝6， 当点F与B重合时，﹣2+3t＝5+2t，解得：t＝7， ∴7﹣6＝1， ∴整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是1秒； 故答案为：1； 15．解：∵以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2，且S1＝31，S2＝15， ∴AB2＝31，AC2＝15， ∵∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝4， ∴BC的长为4， 故答案为：4． 16．解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，OA＝OC， 由勾股定理得CE＝， ∵OA＝OC，EF⊥AC， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE＝5， ∴， ∵OA＝OC， ∴＝5， 故答案为：5． 17．解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD＝45°，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵PE⊥AD于点E， ∴△APE为等腰直角三角形， ∴AE＝PE＝2， 如图，延长EP交BC于点F， 则四边形ABFE为矩形， ∴∠BFE＝90°，EF＝AB＝6， ∴PF＝EF﹣PE＝4， ∴． 故答案为：2． 18．解：设中间两个公共圆圈内的数分别为a，b，且a≠b，a，b属于1～10， ∵每个菱形的4个顶点数之和都等于定值k， ∴3个菱形的所有顶点数之和为3k， 又∵这3个菱形覆盖了图中所有的10个圆圈，且中间两个圆圈各被计算了2次，其余圆圈各被计算了1次， ∴3k＝（1+2+……+10）+a+b，即3k＝55+a+b， ∵k为整数， ∴55+a+b能被3整除， 让a+b尽可能大时，k的最大值符合条件的a+b＝17（如8+9），得：k＝72÷3＝24； 让a+b尽可能小时，k的最小值符合条件的a+b＝5（如1+4），得：k＝60÷3＝20； ∴k的最大值与最小值之差为：24﹣20＝4， 故答案为：4． 三．解答题 19．解：设正方形EFGH的边长为xcm， 由题知，AD＝EF＝xcm，AF＝AE﹣EF＝（10﹣x）cm， DC＝DG+GC＝AF+GC＝（17﹣x）cm， 长方形ABCD的周长等于2×（DC+AD）＝2×（17﹣x+x）＝34（cm）． 答：长方形ABCD的周长等于34cm． 20．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS） ∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝＝＝． 21．解：如图，连接DF，CF， ∵四边形ABCD、ECGF是正方形， ∴∠DBC＝45°，∠FCG＝45°，CE∥FG， ∴∠DBC＝∠FCG，S△DHF＝S△DHG， ∴BD∥CF， ∴S△BCD＝S△BDF， ∵阴影部分的面积＝S△DHB+S△DHG， ∴阴影部分的面积＝S△DHB+S△DHF＝S△BDF＝S△BCD， ∵AB＝6厘米， ∴S△BCD＝×6×6＝18平方厘米， ∴阴影部分的面积为18平方厘米． 22．解：∵E、F分别是长和宽的中点， ∴AE＝DE＝AD，FD＝CF＝CD， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∴△ABE的面积＝AE•AB＝AD•AB，△EDF的面积＝DE•DF＝AD•CD＝AD•AB，△BCF的面积＝FC•BC＝CD•BC＝AB•AD， ∵长方形ABCD的面积＝AD•AB＝80平方厘米， ∴阴影的面积＝长方形BCD的面积﹣△ABE的面积﹣△EDF的面积﹣△BCF的面积＝AD•AB﹣AD•AB﹣AD•AB﹣AD•AB＝AD•AB＝30平方厘米． 23．（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵BE∥CF， ∴∠BED＝∠CFD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，即EF⊥BC， 由（1）知△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF， 又∵BE∥CF， ∴四边形BFCE是平行四边形， ∵EF⊥BC， ∴四边形BFCE是菱形． 24．解：（1）∵图中两个相邻正方形的面积分别为6和9， ∴大正方形的边长为3，小正方形的边长为， 故答案为：3，； （2）如图所示： 由（1）得：CD＝CE＝3，BE＝， ∴BC＝BE+CE＝， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝3，四边形ABEF也是长方形， ∴长方形ABEF的面积为：AB•BE＝， ∵阴影部分的面积＝长方形ABEF面积﹣小正方形的面积， ∴阴影部分的面积为：； （3）∵BC＝，CD＝3， ∴长方形ABCD的周长为：2（BC+CD）＝＝． 25．解：（1）当△ABM≌△DCM时， 则， ∵BM＝2t，BC＝12， ∴2t＝6， 解得t＝3； （2）如图，当△ABM≌△NCM， 则， ∴2t＝6， 解得t＝3． ∴CN＝3a＝8， 解得a＝； 如图，当△ABM≌△MCN时， 则BM＝CN，AB＝MC＝8， ∴BM＝2t＝12﹣8＝4， 解得t＝2， ∴CN＝2a＝4， 解得a＝2； 综上可知，当a＝或2时，△ABM与△MNC全等． 学科网（北京）股份有限公司 $