第一章特殊平行四边形单元测试2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册特殊平行四边形单元卷，覆盖矩形、菱形、正方形性质与判定，通过基础辨析、计算推理及综合实践题，梯度培养几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|性质判定（如正方形与菱形性质差异）|基础概念辨析，结合图形识别| |填空题|5/15|边长计算、对角线关系（如矩形对角线夹角）|几何计算，强化空间观念| |解答题（一）|3/21|尺规作图、矩形周长计算|基础推理与操作，培养数学眼光| |解答题（二）|3/27|矩形判定、菱形面积、全等证明|综合性质应用，发展推理能力| |解答题（三）|2/27|旋转探究、折叠操作（如正方形折叠中点关系）|创新实践，体现数学思维与语言表达|

第一章特殊平行四边形单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2．菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 3．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相平分的四边形 4．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 6．如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 8．如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，则下列结论正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 9．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 10．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．菱形的周长为24，则它的边长为_______． 12．矩形两条对角线的一个夹角为60°，若对角线长为10，则矩形的较长边长为_______． 13．如图所示，在菱形中，对角线与交于点，且，，则菱形的边长为___． 14．如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ． 15．如图，正方形和正方形按照如图所示方式放置，连接、、，若，则线段的最小值为 ． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 17．如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 18．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若，，，求AC的长． 20．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 21．如图，在矩形中，点E在边上，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22. 正方形和等腰直角三角形共顶点，将绕点逆时针旋转一周． (1)如图①，当点与点重合时，若．求的长； (2)如图②，为中点．连接、探究的关系，并说明理由； 23．综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，则 （用等式表示，不写过程，直接写出结果） …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B D C B D B B 11．6 12．5 13． 14．60 15．5 16．(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 17．2 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，， ， 与的周长之差为2． 18．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 19．(1) 解：，分别为，的中点， 是的中位线． ． ， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明平行关系，再结合一组对边平行且相等证明平行四边形，最后根据直角证明矩形； （2）先利用等腰直角三角形性质求 ，结合矩形性质求，再通过三角形中位线和勾股定理求的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， 是等腰直角三角形，． ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， ． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用中位线定理推导平行和线段关系，结合勾股定理求解线段长度． 20．(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）证四边形是平行四边形，得，结合题意，得，即可求解； （2）根据题意可证得，则，再由矩形的性质得，则，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：，四边形是矩形， ∴， ∵， 设，则， ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．(1) 证明：四边形是矩形， ，． ． 又， ． ， ． ∴． (2)16 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．解题的关键是熟练运用矩形的性质推导角的关系，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用特殊角度的直角三角形性质求解边长． （1）利用矩形对边平行和四个角为直角的性质，得到角相等的条件，结合垂直的定义和已知边相等，通过证明三角形全等，进而得出线段相等； （2）根据全等三角形的性质得到对应边相等，结合已知角度求出相关角的度数，再利用含角的直角三角形中斜边是直角边两倍的性质计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ． 又， ． ． ． 22．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接，由正方形的性质和勾股定理可得，，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，，则可求出，据此利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，证明，得到，延长交于点，设交于T，证明，得到，则可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图①．连接， 四边形为正方形， ，， ∴； ， ，， ∴，， ． （2）解：．理由如下： 如图②，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 又∵，， ， ； 延长交于点，设交于T， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， 又∵， ∴． 23．(1)，等腰直角三角形 (2)证明：由（1）可得，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (3) 【分析】（1）由折叠的性质可得，，由正方形的性质可得，，，证明出，，从而可得，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果； （2）由（1）可得，，由正方形的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，即可推出四边形为平行四边形，再结合，即可得证； （3）由（1）可得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵将边和边对折后在上重合，得到折痕和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）略； （3）解：由（1）可得，， ∴， ∴． 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $