精品解析：甘肃省环县第一中学2026-2027学年高一上学期知织能力测试数学试题

2026级高一知识能力测试试题 数学 本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意：考生作答时，请将答案在答题卡上，考试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星星，其中130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“∃x∈（1，+∞），x2≥x+1”的否定是（　　） A. ∀x∈（1，+∞），x2≥2x+1 B. ∀x∈（1，+∞），x2＜x+1 C. ∃x∈（1，+∞），x2＜x+1 D. ∃x∈（1，+∞），x2≥x+1 3. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚到一起称重．聚在一起的雀总重更重，聚在一起的燕总重更轻，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两），则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y，根据题意，列出的方程组可为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是非零整数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动，点A第2026次跳动至的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手骑行的路程y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 两人到达终点的时间相差5分钟 B. 比赛开始24分钟时两人第一次相遇 C. 本次比赛全程16千米 D. 第38分钟时第二次相遇 11. 通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，例如，下列选项正确的是（ ） A. 若是的小数部分，则的值为 B. 比较两个二次根式的大小： C. D. 若，，且，则正整数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的自变量x的取值范围是______． 13. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 14. 对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如，，，若实数x满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 16. 已知关于x的方程. （1）若，方程两根分别为，，求和的值； （2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围. 17. 求下列关于x的不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 18. 已知平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，且． （1）求直线的表达式； （2）点P在函数的图象上，连接并延长，交x轴于点C，且． ①求点C的坐标； ②点Q在函数的图象上，，交线段于点M，连接．如果与相似，求点Q的坐标． 19. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，，为二次函数的图象上的两点． （1）求直线BC对应的函数表达式； （2）试判断是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）已知P是二次函数的图象上一点（不与点M、N重合），且点P的横坐标为，作．若直线BC与线段MN、MP分别交于点D、E，且与的面积比为，请求出所有满足条件的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一知识能力测试试题 数学 本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意：考生作答时，请将答案在答题卡上，考试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星星，其中130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据科学记数法的定义，将130亿转化为满足，为整数的形式即可求解. 【详解】科学记数法的表示形式为，其中规定，为整数， 首先将130亿改写为阿拉伯数字：， 为使满足，取，此时原数的小数点向左移动了10位，因此，即； 对剩余选项逐一验证：选项A中，不符合科学记数法的格式要求； 选项B中亿，数值与130亿不符； 选项D中，不符合科学记数法的格式要求. 2. 命题“∃x∈（1，+∞），x2≥x+1”的否定是（　　） A. ∀x∈（1，+∞），x2≥2x+1 B. ∀x∈（1，+∞），x2＜x+1 C. ∃x∈（1，+∞），x2＜x+1 D. ∃x∈（1，+∞），x2≥x+1 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在命题的否定形式，即得解 【详解】根据存在命题的否定形式， 命题“∃x∈（1，+∞），x2≥x+1”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2＜x+1 故选：B 3. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A，算术平方根的运算结果为非负数，因此，而非. 选项B，根据幂的运算法则，. 选项C，根据完全平方差公式，，题干中等式右侧为完全平方和公式的展开式. 选项D，提取公因式，. 4. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集、交集定义运算即可. 【详解】由题意知，，则， 故选：B 5. 《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚到一起称重．聚在一起的雀总重更重，聚在一起的燕总重更轻，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两），则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y，根据题意，列出的方程组可为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，已知1斤=16两， ∴ 根据“5只雀和6只燕总重1斤”，可得. ∵ 1只雀和1只燕互换位置后两侧重量相等，互换后原放置雀的一侧剩余4只雀和1只燕，原放置燕的一侧剩余5只燕和1只雀，两侧重量相等， ∴ 可得等量关系：. 综上可列方程组为，对应选项A. 6. 已知，，是非零整数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质分类进行讨论． 【详解】因为，且，，是非零整数，则，，一正二负或者一负二正； 当，，一正二负时，不妨设，则 ； 当，，一负二正时，不妨设，则 ； 综上． 7. 如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动，点A第2026次跳动至的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半进行求解． 【详解】观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是，… 则第次跳动至点的坐标是， 故第2026次跳动至的坐标为． 8. 对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求两函数交点进行分段，确定各区间内较大的函数表达式，再分别求出各段的最小值并比较即可得出全局最小值. 【详解】令，解得或， 当或时，， 此时，当时取最小值， 当时，， 此时，因为，所以， ，则，即此时, 综上， 的最小值为1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 10. 在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手骑行的路程y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 两人到达终点的时间相差5分钟 B. 比赛开始24分钟时两人第一次相遇 C. 本次比赛全程16千米 D. 第38分钟时第二次相遇 【答案】ABD 【解析】 【详解】两人到达终点的时间相差分钟，故A正确； ，则直线的方程为， 令，得，故比赛开始24分钟时两人第一次相遇，故B正确； 因为，所以直线的方程为， 则本次比赛全程千米，故C错误； ，则直线的方程为， 联立，得，故第38分钟时第二次相遇，故D正确. 11. 通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，例如，下列选项正确的是（ ） A. 若是的小数部分，则的值为 B. 比较两个二次根式的大小： C. D. 若，，且，则正整数 【答案】BD 【解析】 【分析】分析可知，利用分母有理化计算出的值，可判断A选项；利用分母有理化结合不等式的基本性质可判断B选项；利用裂项相消法可判断C选项；化简、的表达式，结合可化简求得正整数的值. 【详解】对于A选项，因为是的小数部分，则， 所以，A错； 对于B选项，因为， ， 因为，，所以，即，B对； 对于C选项，对任意的正整数， ， 故 ，C错； 对于D选项，因为， ，故， 因为，即， 所以，所以， 即，因为为正整数，则，即，所以，解得，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】且（或写成） 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】要使函数有意义，需同时满足两类定义域约束： 对于二次根式，被开方数需满足非负要求，即，解该不等式得； 对于分式，分母不能为0，即. 综合上述两个约束条件，可得自变量的取值范围为且. 13. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 14. 对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如，，，若实数x满足，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，将原方程变形为用表示的形式，然后将其代入取整函数的定义不等式中解出整数，最后再反求出. 【详解】，且必是整数，设，则有， 由题意得，进而， ， ， 即，因为是整数，所以或， 当时，， 当时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】（1）原式. （2）， 当时，. 16. 已知关于x的方程. （1）若，方程两根分别为，，求和的值； （2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，，借助韦达定 理求解. （2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解. 【详解】（1）当时，即： 因此： （2） 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 17. 求下列关于x的不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）. （2）. （3）时解集为；时解集为； 时解集为； 【解析】 【小问1详解】 即为，故或， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 即为，故或， 所以或， 故不等式的解集为. 【小问3详解】 即为， 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 综上，不等式的解集为： 时解集为；时解集为； 时解集为； 18. 已知平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，且． （1）求直线的表达式； （2）点P在函数的图象上，连接并延长，交x轴于点C，且． ①求点C的坐标； ②点Q在函数的图象上，，交线段于点M，连接．如果与相似，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）首先确定点，利用比例式可得，即，然后利用待定系数法求解即可； （2）①如图：过点P作轴于点H，设点，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质解得x的值，即可确定点P坐标，进而可得，然后结合平行线分线段成比例定理解得，即可确定点C的坐标；②过点Q作轴，设，则，然后分和两种情况解答即可． 【小问1详解】 直线与轴交于点A， 令，可得，即，∴， ∵，∴， ∵直线与轴正半轴交于点，∴ 将点代入直线，可得，解得， ∴直线的表达式为． 【小问2详解】 ①如图：过点P作轴于点H， 设点，则， ∵，∴， ∵，， ∴，∴， ∴，即，解得：， ∴，∴， 又，解得∶， 又∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为； ②如图：过点作轴， 设， ∵交线段于点， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，不妨认为点与点对应， 当时，， ∵轴， ∴，∴， ∴点Q的横坐标为， ∵点Q在函数的图像上， ∴，即， ∴， ∵， ∴，整理可得∶，解得：或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． 当时，因为，则点在直线上， ，整理得， ，方程无解， ∴这种情况不存在． 综上，． 19. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，，为二次函数的图象上的两点． （1）求直线BC对应的函数表达式； （2）试判断是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）已知P是二次函数的图象上一点（不与点M、N重合），且点P的横坐标为，作．若直线BC与线段MN、MP分别交于点D、E，且与的面积比为，请求出所有满足条件的m的值． 【答案】（1） （2）不存在实数m使得， 理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3）或 【解析】 【分析】（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【小问1详解】 ∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为， 由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ，， ． ，． ． ，即． ． ， ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得，或（舍去，此时重合）， 所以或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $