上海市高三2026-2027学年数学10月阶段检测预测卷（A卷）

**基本信息** 上海高三数学10月预测卷，覆盖集合、复数、向量等核心知识，解答题融合社区阅读调研情境与创新定义（如对数值域），体现数学思维与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合运算、复数模、向量夹角、二项式常数项|基础题梯度分布，如第7题等差数列与等比中项综合| |选择题|4题/18分|充要条件、幂函数性质、古典概型|第16题创新定义“对数值域”，考查数学抽象| |解答题|5题/78分|三角函数值域、立体几何体积、统计案例（独立性检验）、双曲线弦长、函数证明|第19题结合社区调研考数据估计与概率，第21题函数证明体现逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年上海高三数学10月阶段检测预测卷（A卷） 满分：150分　　考试时间：120分钟 考生注意： 1. 本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟。 1. 作答必须写在答题纸上，试卷上作答一律不得分。 1. 答卷前，务必在答题纸上填写姓名、班级。 姓名：__________　　班级：__________　　学号：__________ 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 ，，则 ________。 2. 集合 ，则实数 ________。 3. 复数 满足 ，则 ________。 4. 平面向量 ，，且 与 的夹角为 ，则实数 ________。 5. 的二项展开式中，常数项为 ________。 6. 已知 ，，且 ，则 的最大值为 ________。 7. 是等差数列，，公差 ，若前 项和 ，且 是 与 的等比中项，则满足条件的正整数 的最小值为 ________。 8. 已知抛物线 ， 为抛物线的焦点，点 在抛物线上，若点 到直线 的距离为 ，则 ________。 9. 在 中，，，，且 为锐角，则 ________。 10.在长方体 中，，点 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 __________． 11. 椭圆 的左、右焦点为 ，点 在椭圆上，满足 ，则 的面积为 ________。 12. 已知 ， 为相互垂直的单位向量，向量 满足 ，记 ，则 的取值范围为 ________。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知实数 ，命题 ：；命题 ：，则 是 的（　） A. 充分非必要条件　　　B. 必要非充分条件 C. 充要条件　　　　　　D. 既不充分也不必要条件 14. 下列关于幂函数的命题，正确的是（　） A. 在 上单调递减 B. 定义域为 C. 图像关于 轴对称 D. 的值域为 15. 袋中有3个红球、2个白球，除颜色外无差别，不放回依次取出两球，下列说法正确的是（　） A. 事件“第一次取红球”与“第二次取白球”互斥 B. 事件“第一次取红球”与“第二次取白球”相互独立 C. 第一次取到红球的概率为 D. 两次都取到红球的概率为 16. 定义：若对定义域 内任意 ，集合 ，称集合 为函数的对数值域。已知 ，，则集合 为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（本题满分14分） 已知函数 （）。 （1）若 的最小正周期为 ，求 的值，并求函数 在 上的值域； （2）若关于 的方程 在 内恰有两个不同实数解，求正实数 的取值范围。 18.（本题满分14分） 如图，在正三棱柱 中，，底面边长为 。 （1）（6分）求异面直线 与 所成角的大小； （2）（8分）求该三棱柱的体积。 19.（本题满分14分） 某社区开展居民阅读情况调研，随机抽取80位居民，采用分层抽样，样本每周阅读时长平均数 小时，样本方差 ；同时统计性别与是否经常阅读，完成独立性检验。 列联表： 经常阅读 不经常阅读 合计 男 12 28 40 女 20 20 40 合计 32 48 80 附： （1）依据样本，估计该社区居民每周阅读时长的总体平均数与方差； （2）计算 ，判断是否有95%的把握认为“经常阅读”与性别有关； （3）若再从样本中不经常阅读人群中随机抽取2人做访谈，求抽到至少一名男性的概率；结合调研，对社区开展全民阅读活动给出一条合理化建议。 20.（本题满分18分） 已知双曲线 ，左、右焦点为 。 （1）求双曲线 的离心率； （2）过点 的直线 斜率为1，与双曲线交于 两点，求弦长 ； （3）设点 在直线 上，是否存在实数 ，使得对任意过点 的直线 ，满足 与 垂直；若存在，求出 ；若不存在，说明理由。 21.（本题满分18分） 已知函数 ，。 （1）求证： 对任意 成立； （2）定义集合 ，求 ； （3）若函数 在 上可导，且 。记 求证：。 参考答案与评分细则 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.【答案】 解析： ，，。 2.【答案】 解析： 且 ，解集为 ，。 3.【答案】 解析： ，。 4.【答案】 解析： ，，，。 5.【答案】 解析： ，，常数项 。 6.【答案】 解析： ， 取等。 7.【答案】 解析： ，，，，。 8.【答案】 解析： ，准线 ，。 9.【答案】 解析： ，，。 10【答案】 解析：设 ，则 。建立空间直角坐标系：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 各点坐标： ，，，， ，，，。 为 中点，，，故 。 。 。 11.【答案】 解析： 。设 ，。。由余弦定理：，。，，。 12.【答案】 解析： ，，。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13.【答案】 C 解析： 。 14.【答案】 C 解析： 为偶函数，图像关于 轴对称。 15.【答案】 C 解析： 第一次取红球概率 。 16.【答案】 D 解析： ，，。 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（本题满分14分） （1）解： ，。......（2分） 。......（2分） ，，......（2分） ，。......（2分） （2）解： ， 或 。......（2分） 在 内恰有两个解，。......（4分） 18.（本题满分14分） （1）解： 正三棱柱中，，故异面直线 与 所成角即为 与 所成角，即 。......（2分） 在 中，，，且 （正三棱柱侧棱垂直于底面），......（2分） 故 因此 。......（2分） 故异面直线 与 所成角的大小为 （即 ）。 （2）解： 底面 是正三角形，边长为 ，......（2分） 其面积 ......（3分） 三棱柱体积 ......（3分） 故该三棱柱的体积为 。 19.（本题满分14分） （1）解： ，。......（4分） （2）解： 。......（4分） ，无95%把握。......（2分） （3）解： 。......（3分） 建议：面向男性群体开展多样化阅读推广活动。......（1分） 20.（本题满分18分） （1）解： ，，，。......（6分） （2）解： ，。......（2分） ，。......（2分） 。......（4分） （3）解： 设 ，与双曲线联立得 。......（2分） ，。......（2分） 由 化简得 。......（2分） 该结果与斜率 无关，故存在实数 。 21.（本题满分18分） （1）证明： 当 时，，故 。......（4分） （2）解： 。......（2分） 令 ，则 ，且 。......（2分） 对任意 ，存在 使 ；当 时不等式不成立。 。......（2分） （3）证明： 由 知 。......（2分） 。......（2分） 若存在 使 ，则 ，矛盾，故 。......（2分） 对任意 ，由 ，存在 使 ，得 ，故 。 又 ，。 综上，。......（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $