精品解析：上海市回民中学2025-2026学年高三上学期12月份月考数学试题

上海市回民中学高三上学期12月份月考 数学 一、填空题：本题共12小题，共54分. 1. 直线为的一个法向量是__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】若直线，则此直线的一个法向量是，点都是直线的法向量，利用此公式求解即可. 【详解】直线的一个法向量是. 故答案为：（点都是直线的法向量）. 2. 直线的倾斜角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的斜率可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为， 由题意得，直线的斜率， 又因为，故. 故答案为：. 3. 已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】分别利用椭圆和双曲线的定义求出，的表达式，再由焦点相同，结合勾股定理计算即可得答案. 【详解】椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，， 由椭圆与双曲线的定义，得，解得， 因此，由椭圆、双曲线有相同焦点，得，， 即，则，即，， 所以是直角三角形. 故答案为：直角三角形 4. 若椭圆 内有圆该圆的切线与椭圆交于两点，且满足（其中为坐标原点），则的最小值是_________. 【答案】49 【解析】 【分析】设切线方程为，代入椭圆的方程可得，由可得，结合点到直线距离公式可得，则，利用基本不等式可得结果. 【详解】设切线方程为，代入椭圆的方程得 ， 设， 则， 因为 ， ， ，① 直线是圆的切线，，即， 代入①中，得到， ， ， ， ， 代入， 当且仅当， 取得最小值，故答案为49. 【点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的. 5. 若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设先计算截面圆的半径，结合勾股定理可求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】依题意，设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为，即，解得； 又球心到该截面的距离为，所以，所以球的表面积为. 故答案为：. 6. 已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用点差法即可求得答案. 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. 7. 已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为函数与有2个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】令，即，则， 当或时，，则， 此时函数在和上单调递增，， 且时，，时，； 当或时，，则， 此时函数在和上单调递减. 作出函数的图象： 由题意，函数有两个不同零点， 则函数与有2个交点， 由图可知，要使函数与有2个交点， 则或，即的取值范围为. 故答案为：. 8. 若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，讨论时，取得的最小值，确定的取值范围. 【详解】当时，，无最小值，所以需时，取得最小值. 当时，， 若，则在单调递减，， 则当时，在定义域内存在最小值； 若，则在上恒为，在定义域内存在最小值； 若，则在单调递增，，无最小值，则在定义域内也不存在最小值. 综上可知，若函数存在最小值，则实数的取值范围为. 故答案为： 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对平方求出值，并判断正负，最后求解. 【详解】对两边平方，得， 即， 又因为，所以，，即， 所以. 故答案为：. 10. 已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数单调性分别求出函数在上的最小值，在上的最小值，再由已知列式求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，则， 由任意的，都存在，使得，得，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 11. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可. 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需， 设， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为， 所以， 当时，即时， ，此时， 因此由，而， 所以； 当时，即当时， 此时，此时， 因此由，而， 所以， 若时，即时， 若，即当时， 显然此时， 由，显然， 若，即当时， 显然此时， 因此由，而， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论. 12. 定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，且， 则， 由于，，所以为和的加权平均数， 所以得取值范围是， 从而将问题转化为恒成立，即且，分类讨论的值即可求解. 【详解】设，则，且， 则， 由于，，所以为和的加权平均数， 所以的取值范围是， 若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，等价于且恒成立， 由于恒成立， 则等价于恒成立， 即且， 即，, 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，但不满足，舍去 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足， 综上，，则的取值范围为 故答案为： 二、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 13. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】讨论的范围，去绝对值，判断等式是否成立，进而根据充分条件、必要条件的定义判断结果. 【详解】因为，所以 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，由  解得  或 ， 均不符合 ，故此情况下原等式不成立； 综上，或. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 14. 已知函数的定义域为，且，若，有以下4个命题： ①是周期为4的周期函数； ②是奇函数； ③的图像关于点对称； ④， 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得函数的周期性，结合可判断对称性，进而结合选项即可逐一求解. 【详解】由可得， 故是以4为周期的周期函数，故①正确， 由可得， 故是的一条对称轴，故③错误， 由是的一条对称轴可得， 又，故，故是奇函数，故②正确， 在中令，则， 又 在中令，则， ， , 结合周期性，以此类推可得 ，故④正确， 故选：C 15. 设抛物线的焦点为，过的直线交于，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由抛物线的定义可判断；对于B，由特殊值（位置）法可判断；对于C，设出直线，联立直线与抛物线，运用抛物线的弦长公式，结合韦达定理，即可判断；对于D，利用三角形相似证得为直角三角形，再利用三角形相似证得，结合焦半径公式即可判断. 【详解】对于A：易知为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故，故A正确； 对于B：由题可知，，若弦垂直于轴，此时为通径，， 不妨设点，则，，故B错误； 对于C：易知直线的斜率不为0，故可设直线，， 因为都在直线上，故有， 联立直线与抛物线，有，得， 由韦达定理可得， ，故C正确； 对于D：过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，所以， 所以，同理可证， 又， 所以，则，故为直角三角形. 在与中，， 所以，则，即， 同理可得， 又 ， 由选项C可知，， 所以， 则，当时，等号成立，故D正确. 故选：B. 16. 定义在上的函数，集合，对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ） ①存在是偶函数； ②存在在处取到最小值； ③存在在上是减函数； ④存在在处取到最大值． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】先理解集合的意义，即右侧的函数值都不超过，且表示所有满足这个性质的构成的集合恰好是.对于①②④，分别构造满足题意的函数即可说明存在；对于③根据减函数性质可判断集合应为. 【详解】对于①，构造函数， 当时，，则； 当时，， 则； 当时，，则； 综上可知，任意，，故是偶函数； 如图，作函数的图象， 结合图象可知，当，任意，有； 当时，都存在，使得. 故存在是偶函数，满足题意，即①正确； 对于②，构造函数， 如图，作函数的图象， 如图可知，在处取到最小值为， 且， 故存在函数在处取到最小值，满足题意，即②正确； 对于③若在上是减函数，则对任意， ，， 故，这与矛盾， 故不存在上的减函数满足题意，③错误； 对于④，构造函数， 如图，作函数的图象， 如图可知，当取得最大值， 且， 故存在函数在处取到最大值，满足题意，④正确； 综上所述，①②④正确. 故选：D 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件先证明四边形为平行四边形，从而得出，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据已知条件先求出三棱锥的体积，然后利用等体积法即得三棱锥的体积； （3）由平面，可知两两互相垂直，因此以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应的点，得出相关的坐标，根据向量求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，四边形为矩形， 所以， 又分别是的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为点为的中点，，所以， 在矩形中，由分别是的中点， 所以， 在直三棱柱中， 由平面，则平面， 且平面，， 又，所以平面， 即平面，连接，如图所示： 所以为三棱锥的高， 因为，点为的中点，， 所以，所以， 所以， 又， 所以三棱锥的体积为：， 根据等体积法得：. 【小问3详解】 由（2）知平面，， 所以两两互相垂直， 因此以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知到原点和的距离之比为2的点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； （3）点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设出曲线上任意一点坐标，由给定关系列出方程并化简即可. （2）由，结合图形利用几何法求出原点到直线距离即可. （3）设切线方程，利用切线的性质求出k与t的关系，借助韦达定理求出的表达式，进而求出最小值. 【小问1详解】 设曲线上任意一点坐标为，依题意，，化简得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点作直线的垂线，为垂足，则直线的方程为， 由，解得，即点，，即点在圆内， 则线段与圆相交，令交点为，由点是曲线上任意一点，得， 因此，当且仅当与重合时取等号， 所以的最小值为. 【小问3详解】 设切线方程为，即，切线的斜率分别为， 因此，整理得，则，， 在切线方程中令，得，于是， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 19. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. （1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若的斜率存在，求证：为定值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的倾斜角可求得点坐标，再利用等边三角形性质可得； （2）求出双曲线方程和直线方程，联立后利用韦达定理即可求得的值. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得， 所以双曲线的渐近线方程： 【小问2详解】 当 时，双曲线方程为 ，焦点 . 设直线 ，不妨设，联立直线和双曲线方程， 消去 得 . 由韦达定理： ，计算可得 ， 代入韦达定理结果化简得： 因此： 即 为定值 . 20. 已知，椭圆． （1）若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； （2）设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由椭圆方程，得到，再利用三角形面积为2，列方程求出，则由，故可以写出椭圆方程和离心率； （2）设出，利用在椭圆上得到之间的关系，再表示出关于的表达式为，根据条件得到在当时有最小值得到，最后结合题目求解的取值范围 【小问1详解】 由椭圆方程，得 设焦点为,短轴顶点为,则，即，所以 ，所以椭圆方程为，离心率 【小问2详解】 设 则，即，； 令， 因为，所以，所以为开口朝上的抛物线，对称轴为； 因为为椭圆右顶点时，取到最小值，所以当时，有最小值； 所以，即， 因为，所以，解得， 又因为，所以，所以的取值范围是. 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1）6； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求焦半径； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【小问1详解】 点在抛物线上，代入得. 抛物线的焦点为，准线为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故. 【小问2详解】 抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. 【小问3详解】 设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，，则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市回民中学高三上学期12月份月考 数学 一、填空题：本题共12小题，共54分. 1. 直线为的一个法向量是__________. 2. 直线的倾斜角为__________. 3. 已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 4. 若椭圆 内有圆该圆的切线与椭圆交于两点，且满足（其中为坐标原点），则的最小值是_________. 5. 若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积为__________. 6. 已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 7. 已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为___________． 8. 若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________． 9. 已知，则___________． 10. 已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 11. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 12. 定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 二、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 13. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知函数的定义域为，且，若，有以下4个命题： ①是周期为4的周期函数； ②是奇函数； ③的图像关于点对称； ④， 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 设抛物线的焦点为，过的直线交于，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是（） A. B. C. D. 16. 定义在上的函数，集合，对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ） ①存在是偶函数； ②存在在处取到最小值； ③存在在上是减函数； ④存在在处取到最大值． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知到原点和的距离之比为2的点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； （3）点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 19. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. （1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若的斜率存在，求证：为定值. 20. 已知，椭圆． （1）若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； （2）设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $